Math - Formules et autres merdes

passer d'un vecteur directeur (a) (b) à un vecteur normal :

(-b) (a)

Sommet équation

(b/-2a ; -∆/4a)

équation paramétrique d'une droite

(x) = (a) + λ(d1) (y) = (b) + λ(d2)

équation du cercle

(x-c1)^2 + (y-c2)^2 = r^2

(e^-x)'

-e^-x

(k)' =

0

loga(1) =

0

x/∞ =

0

Techniques pour lever les indéterminations

0 x ∞ : transformer en ∞/∞ ou 0/0 /∞/∞ ou 0/0 : utiliser BH / ∞-∞ : multiplier par le conjugué

(x)' =

1

loga(a) =

1

étapes étude de fonction

1) Df 2) parité 3) limites 4) asymptotes 5) dérivée 6) tableau de signe 7) dérivée seconde 8) courbure et optimisation

Pour trouver l'équation du cercle à partir d'une équation du type x^2 - 2x + y^2 + 6y - 6 = 0

1) compléter les carrés 2) représenter les carrés 3) le centre est donné par C

Pour passer de l'équation paramétrique à la cartésienne :

1) multiplier par les vecteurs directeurs (pour égaliser les équations) / 2) soustraire les deux équations / 3) poser les variables -> ax + by + c

Trouver une fonction réciproque étapes

1) poser y =f(x) 2) isoler x (le mettre en évidence souvent) 3) échanger les variables (mettre les x à la place des y et inversement)

Marche à suivre optimisation

1) repérer dans l'énoncé ce que l'on cherche à optimiser 2) définir les variables et le domaine de cohérence en pratique 3) établir l'équation de liaison 4) chercher la fonction à optimiser avec une seule variable 5) dériver : chercher le maximum et le minimum voulu

Pour trouver une droite perpendiculaire à une autre passant par un point donné :

1) trouver la pente de d1 2) trouver m2 3) trouver n2 4) écrire l'équation 5) trouver C2 grâce aux coordonnées du point

Technique d'intégration primitives

1) écrire la fonction de base 2) rajoute 1 à la puissance 3) calculer la dérivée 4) compenser le facteur devant ne pas oublier + c

(loga[f(x)])' =

1/ln(a) x f'(x) / f(x)

(2x)' =

2

Asymptotes obliques

AO : y = mx+ h / trouver la pente m, trouver l'ordonnée à l'origine h, trouver l'équation de la droite, on reprend les plus grands exposants -> si en haut = en bas+1 -> AO

Equation vectorielle du cercle

CT x CM = r^2

∫ba f(x)dx = F(b) - F(a) =

F(x)|ba

projection orthogonale formule

IP = (x) = (P1 - I1) = (P1) - (I1) = OP - OI (y) = (P2 - I2) = (P2) - (I2) =

équation de la droite

ax + by + c = 0

Passer de l'équation cartésienne à l'équation cartésienne canonique

ax + by + c = 0 <-> by = -ax + c <-> y = -a/bx - c/b, poser -a/b = m et - c/b = h -> y = mx+h

Déterminer la projection orthogonale d'un vecteur sur un autre :

b' = b x a/ ||a||^2 x a = b1 x a1 + b2 x a2 / √a1^2 + a2^2 x a

[sin(f(x))]' =

cos(f(x)) x f'(x) -> [sin(2x)]' = 2cos(2x)

[sin(x)]' =

cos(x) et [cos(x)]' = -sin(x)

[f +- g]' =

f' +- g'

[f/g]' =

f' x g - f x g' / g^2

[f x g]'

f' x g = f' x g + f x g'

[f o g]' =

f'(g) x g'(x)

fonction impaire

f(-x) = -f(x)

fonction paire

f(-x) = f(x)

Aire géométrique sous une courbe

il faut couper la fonction en ses zéros et changer le signe de la fonction : ∫ba f(x)dx + ∫cb |f(x)|dx

Pour utiliser ax + by + c = 0

il faut trouver BC, puis faire le vecteur normal et enfin remplacer a et b par vecteur normal, puis pour trouver c, il faut remplacer a et b par des points de B ou C, isoler c et on le trouve

tableau de signe

indique si on commence à gauche, à droite pour l'AV ou en haut ou en bas pour l'AH / il faut tout factoriser avant de mettre les choses dans le tableau, si il y a un exposant -> valeur interdite

[k x f^n(x)]' =

k x n x f^n-1(x) x f'(x)

Aire algébrique sous une courbe

l'aire en dessus de l'axe des abscisses est positive et l'aire en dessous est négative

si des courbes sont tangentes elles ont

la même dérivée

tableau de signe nous montre

la variation de la fonction par rapport à x

il faut trouver les zéros de la fonction, ils indique

les bornes de l'intégrale : ∫ba

formule de Bernoulli-l'Hospital

limx->a f(x) / g(x) => lim x->a f(x)' / g(x)' ... ainsi de suite

(a^f(x))' =

ln(a) x f'(x) x a^f(x)

(e^x)'

ln(e) x (x)' x e^x = 1 x 1 x e^x = e^x

équation de la pente m

m = - a/b

Dérivée seconde sert à

montrer si f(x) est concave ( ou convexe )

la dérivée sert à

montrer si f(x) est croissante (>0), constante (=0) ou décroissante (< 0)

technique par substitution

on fait un changement de variable !

colinéaire signifie

parallèle et cela implique une multiplicité

Pour les ensembles de définition

poser dénominateur = 0, résoudre -> valeurs interdites / poser √f(x) = 0, valeurs ou f(x)<0 -> interdites / argument d'un logarithme doit être >0. si log(f(x)), poser f(x) = 0, résoudre enlever les valeurs pour lesquelles f(x)< ou = 0

trouver les zéros

poser numérateur = 0, résoudre : ces points coupent l'axe des x

Pour trouver les maximum et minimum, il faut

remplacer x= les zéros de la fonction dans f(x), les numéros sont alors les maximum et minimum

si deux droites sont sécantes, il y a

rien à voir

la norme d'un vecteur c'est

sa longueur

Asymptotes verticales

selon l'ensemble de définition -> mettre lim x -> valeur interdite, si on tombe sur ∞ il y une AV, sinon non

courbes

si a<0 : (, si a>0 : U, si a = 0 : -

pour trouver si f(x) est symétrique à a

si f(a-x) = f(a+x) il y a une symétrie

Pour les courbes

si ∆>0, la courbe coupe l'axe des x 2 fois, si ∆=0, la courbe coupe l'axe des x en son sommet, si ∆<0, la courbe est strictement en dessous

trouver l'intersection entre deux droites

système de deux équations à deux inconnues : a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0

pour trouver ⍺

tan^-1 |f'(x0) - g'(x0) / 1+f'(x0) x g'(x0)| -> pour trouver x0, il faut égaliser g(x) et f(x) et résoudre

Formule pour trouver l'angle entre deux vecteurs

u x v = ||u|| x ||v|| x cos(α)

si deux droites sont parallèles, il y a

une multiplicité entre x et y

si deux droites sont confondues, il y a

une multiplicité entre x, y et c

vecteur unitaire c'est

v / ||v||

Produit scalaire de deux vecteurs :

v x w = v1 x w1 + v2 x w2

formule projection orthogonale de v sur u

v' = u x v/ ||u|| x u/||v||

Asymptotes horizontales

x -> ∞, si la fonction est polynomiale du genre : x^2 + 3 / x^3 + 3, alors x -> ∞ = x -> - ∞, l'AH traverse généralement toute la fonction, quand la fonction est logarithmique ou exponentielle, il arrive que x->∞ ≠ x-> -∞, donc il y deux demies AH, si lim x -> +-∞, il n'y a pas d'AH, si f(x) = anx^2 +.... / bmx^m+..., on prend le plus grand exposant de chaque -> si en haut > en bas -> ∞, si en haut < en bas -> 0

√x =

x^1/2

rayon du cercle

||CM|| -> C est le centre (c1 ; c2) et M(m1:m2) un point du cercle

Deux vecteurs orthogonaux, lorsqu'ils sont multipliés sont

égaux à 0 -> u x w = 0

Intersection deux cercles

équation cercle 1 équation cercle 2 Si 0 solution, ils ne se coupent pas Si 1 solution, ils se touchent Si 2 solutions, ils se coupen

Intersection droite-cercle

équation droite d équation cercle Si ∆ < 0, d ne coupe pas le cercle Si ∆=0, d est tangente au cercle Si ∆>0, d coupe le cercle

Déterminer l'équation de la tangente au cercle au point T du cercle

équation dédoublée : (x+2)^2 + (y-4)^2 = 25 (x+2)(x+2) + (y-4)(y-4) = 25 (1+2)(x+2) + (8-4)(y-4) = 25 3x+6+4y-16-25 = 0 3x+4y-35=0

aire d'un parallélogramme avec des vecteurs

√||b^2|| x ||a^2|| - ( b x a )^2

x/0 =

∞

0 x ∞ =

∞/∞

formes indéterminations

∞/∞, 0/0, ∞-∞, 0 x ∞

technique d'intégration par partie

∫u x v' = u x v - ∫u' x v