Matura MAT OR Prilagojena - Borovo

1. IZJAVNI RAČUN 1.1 Kaj je izjava? 1.2 Kaj je negacija dane izjave? Kdaj je negacija pravilna (resnična) in kdaj nepravilna (neresnična)? 1.3 Kaj je konjunkcija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za konjunkcijo. 1.4 Kaj je disjunkcija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za disjunkcijo.

1.1 ∙ Izjava je smiselna poved, za katero lahko določimo, ali je pravilna ali nepravilna. 1.2 ∙ Negacija dane izjave, je izjava, ki zanika dano izjavo. ∙ Je pravilna, če je dana izjava nepravilna in nepravilna, če je dana izjava pravilna. 1.3 ∙ Konjukcija izjav A in B je izjava, ki je pravilna, samo kadar sta pravilni obe delni izjavi (A in B hkrati). 1.4 ∙ Disjunkcija izjav A in B je izjava, ki je pravilna, samo kadar je pravilna vsaj ena od delnih izjav (ali A ali B ali obe hkrati).

10. DELJENJE NARAVNIH ŠTEVIL 10.1 Povejte osnovni izrek o deljenju naravnih števil. 10.2 Izberite različni naravni števili in predstavite osnovni izrek o deljenju na izbranih številih. 10.3 Izberite naravno število med 5 in 10 ter naštejte elemente množice vseh ostankov pri deljenju z izbranim naravnim številom.

10.1 ∙ a = kb + r; 0 ≤ r < b, k ≥ 0 10.2 ∙ 28 = 2 ∙ 13 + 2 10.3 ∙ a ∈ ℕ ∙ r = {0, 1, ... , a - 1}

100. VERJETNOSTNI RAČUN 100.1 Definirajte vsoto in produkt dogodkov. 100.2 Kdaj sta dva dogodka nezdružljiva in kdaj združljiva? Kako izračunamo verjetnost vsote dveh združljivih dogodkov? 100.3 Kaj je nasprotni dogodek danega dogodka in kako izračunamo njegovo verjetnost? 100.4 Povejte primer dveh nezdružljivih dogodkov in primer dogodka in njemu nasprotnega dogodka.

100.1 ∙ Vsota dogodkov A in B je nov dogodek, ki ga označimo z A ∪ B. Ta se zgodi, ko se zgodi vsaj eden od dogodkov A ali B, torej A ali B ali oba. Zapis A ∪ B preberemo A ali B. ∙ Produkt dogodkov A in B je nov dogodek, ki ga označimo A ∪ B. Ta dogodek se zgodi, ko se hkrati zgodita A in B. Zapis A ∩ B preberemo A in B. 100.2 ∙ Dogodek A je združljiv z dogodkom B natanko tedaj, ko se lahko zgodita hkrati. V nasprotnem primeru sta dogodka nezdružljiva. ∙ Verjetnost vsote nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti posameznih dogodkov. 100.3 ∙ Nasprotni dogodek dogodka A je nov dogodek, ki ga označimo z A′. Zgodi se natanko tedaj, ko se A ne zgodi. Zapis A′ preberemo ne A. ∙ P(A') = 1 − P(A) 100.4 ∙ Poskus: Enkrat vržemo pošteno igralno kocko. ∙ NEZDRUŽLJIVA DOGODKA N: pade liho in sodo število pik ∙ NASPROTNI DOGODEK A: Kocka pokaže več kot 2 piki. A′: Kocka pokaže 1 ali 2.

11. KRITERIJI DELJIVOSTI 11.1 Za vsako izmed števil 2, 3, 4, 6 in 8 navedite kriterij deljivosti s tem številom. 11.2 Poiščite primer štirimestnega naravnega števila, ki je deljivo s 6.

11.1 k = 2, če je zadnja števka števila deljiva z 2 k = 3, če je vsota vseh števk števila deljiva s 3 k = 4, če sta zadnji dve števki števila deljivi s 4 k = 5, če je zadnja števka enaka 0 ali 5 k = 6, če je število deljivo z 2 in s 3 k = 8, če sta zadnji dve števki števila deljivi z 8 k = 9, če je vsota vseh števk števila deljiva z 9 k = 10, če je zadnja števka 0 11.2 ∙ 2112

12. ULOMKI IN RACIONALNA ŠTEVILA 12.1 Kaj je ulomek? Kdaj dva ulomka predstavljata isto racionalno število? 12.2 Pojasnite, kako ulomke seštevamo, odštevamo, množimo in delimo.

12.1 ∙ Ulomek je izraz oblike a/b, kjer sta a in b celi števili in b ≠ 0. ∙ Dva ulomka predstavljata isto racionalo število, ko sta njuna okrajšana števca in imenovalca enaka. 12.2 ∙ Seštevanje in odštevanje: a/b +- d/e = (a +- d) / be ∙ Množenje: a/b ∙ d/e = ad / be ∙ Deljenje: a/b / d/e = ae / bd

13. ULOMKI IN DECIMALNI ZAPIS 13.1 Kako iz decimalnega zapisa števila prepoznamo, da lahko to število zapišemo z ulomkom? Kako poljubnemu ulomku priredimo njegov decimalni zapis? Kako iz zapisa ulomka ugotovimo, ali ima končen decimalni zapis? 13.2 Podajte primer ulomka, ki ima končen decimalni zapis, in primer ulomka, ki ima neskončen decimalni zapis. 13.3 Podajte primer periodičnega decimalnega števila s periodo reda (dolžine) vsaj 2 in ga zapišite kot ulomek.

13.1 ∙ Če ima neskončen periodičen decimalni zapis ali če je njegov decimalni zapis končen. ∙ Tako da zdelimo števec in imenovalec. ∙ Če ima v imenovalcu potenco števila 10. 13.2 ∙ Končen decimalni zapis: 1/2 ∙ Neskončen decimalni zapis: 1/3 13.3 ∙ 0,272727... , = 3/11

14. REALNA ŠTEVILA 14.1 Kdaj je realno število racionalno in kdaj iracionalno? Kako se razlikujeta njuna decimalna zapisa? 14.2 Naštejte vsaj tri primere racionalnih števil in vsaj tri primere iracionalnih števil. 14.3 Kako na številski premici predstavimo racionalno število? *

14.1 ∙ Realno število je racionalno natanko takrat, ko je njen decimalni zapis končen ali pa periodičen. ∙ Iracionálno števílo je vsako realno število, ki ga ni moč zapisati v obliki ulomka a/b, kjer sta a in b celi števili in b ≠ 0. 14.2 ∙ Racionalna števila 1/2, 2, 1/3 ∙ Iracionalna števila π, √2, e 14.3 Narišeš številsko premico, narediš Talesov izrek.

15. ABSOLUTNA VREDNOST 15.1 Definirajte absolutno vrednost realnega števila in razložite njen geometrijski pomen. 15.2 Naštejte vsaj štiri lastnosti absolutne vrednosti realnega števila in jih ponazorite s primeri.

15.1 |a| = { a; a ≥ 0 −a; a < 0 ∙ Geometrijski pomen: Na številski premici je |a| oddaljenost točke a od izhodišča koordinatnega sistema. Razdalja med točkama Razdalja med točkama a in b je enaka |b - a| 15.2 |a| ≥ 0 |a| = 0 ⇔ a = 0 |a| = |-a| |a / b| = |a| / |b| |a∙ b| = |a| ∙ |a| | -3 / 4 | = 3/4, |-3|/|4| = 3/4 |0| = 0 |-3| = |3| ...

16. KOMPLEKSNA ŠTEVILA * 16.1 Definirajte množico kompleksnih števil. Kako grafično upodobimo (predstavimo) kompleksna števila? 16.2 Definirajte seštevanje kompleksnih števil. 16.3 Navedite vsaj dve lastnosti seštevanja kompleksnih števil. 16.4 Opišite geometrijski pomen seštevanja kompleksnih števil.

16.1 ∙ Množica kompleksnih števil je razširitev realnih števil, v kateri so lahko tudi negativni koreni. ∙ Kompleksno število zapisujemo v obliki z = a + bi, kjer je a realni del b pa imaginarni in i = √-1. ∙ Kompleksna števila lahko grafično upodobimo na kompleksni ravnini, kjer števili a in b predstavljata vektor. 16.2 ∙ Kompleksna števila seštevamo tako, da seštejemo realni del z realnim in imaginarni del z imaginarnim. 16.3 ? 16.4 ∙ Kompleksna števila se geometrijsko seštevajo po paralelogramskem pravilu.

17. MNOŽENJE KOMPLEKSNIH ŠTEVIL * 17.1 Definirajte operacijo množenja v množici C. 17.2 Opišite geometrijski pomen množenja kompleksnega števila z -1 in geometrijski pomen množenja kompleksnega števila z realnim številom. 17.3 Naštejte vsaj tri lastnosti množenja kompleksnih števil. * 17.4 Naj bo n naravno število. Izračunajte i^n.

17.1 ∙ 2 kompleksni števili zmnožimo tako, da upoštevamo distributivnostni zakon (pomnožimo vsak člen prvega oklepaja z vsakim členom drugega oklepaja) in pravilo i^2 = −1. 17.2 ∙ Pri množenju z -1 vektor spremeni usmerjenost (kaže v nasprotno smer). Pri množenju z realnim številom, vektorju *a* priredimo tak vektor, da velja *a* = k×*a* (spremeni usmerjenost če množimo z negativnim številom) 17.3 ??? 17.4 ∙ i^1 = i, ∙ i^2 = -1 ∙ i^3 = -i ∙ i^4 = 1

18. ABSOLUTNA VREDNOST KOMPLEKSNEGA ŠTEVILA 18.1 Definirajte absolutno vrednost kompleksnega števila. 18.2 Na primeru pokažite izračun absolutne vrednosti kompleksnega števila. 18.3 Naštejte vsaj tri lastnosti absolutne vrednosti kompleksnega števila. 18.4 Koliko je absolutna vrednost kompleksnega števila z če je Im(z) = 0?

18.1 ∙ Absolutna vrednost kompleksnega števila nam pove oddaljenost števila z od koordinatnega izhodišča v kompleksni ravnini. ∙ Izračunamo jo kot koren produkta kompleksnega števila in konjugiranega števila tega števila. ∙ |z| = √(z*z) = √(a^2 + b^2) (* je oznaka za konjukcijo, ker pravilna ne obstaja v quizletu) 18.2 ∙ https://eucbeniki.sio.si/vega2/292/index1.html 18.3 ∙ Naj bosta: z = a + bi, w = c + di ∙ |z| ≥ 0 ∙ |z| = 0 ⇔ 𝘻 = 0 ∙ |zw| = |z| ∙ |w| ∙ |z + w| ≤ |z| + |w| (trikotniška neenakost) 18.4 ∙

19. KONJUGIRANA VREDNOST KOMPLEKSNEGA ŠTEVILA 19.1 Definirajte konjugirano vrednost kompleksnega števila in razložite njen geometrijski pomen. 19.2 Naštejte vsaj tri lastnosti konjugiranja kompleksnih števil. 19.3 Dokažite, da je konjugirana vrednost vsote dveh kompleksnih števil enaka vsoti njunih konjugiranih vrednosti.

19.1 ∙ Kompleksnemu številu 𝘻 = 𝘢 + 𝘣𝘪 spremenimo predznak pred imaginarno komponento v nasprotnega. ∙ Geometrijski pomen: zrcaljenje čez realno os. 19.2 ∙ * je oznaka za konjukcijo, ker pravilna ne obstaja v quizletu ∙ **z = z ∙ *(z + w) = *z + *w ∙ *(zw) = *z ∙ *w 19.3 ∙ z = a + bi, w = c + di ∙ *(z + w) = a + c + - bi - di ∙ *𝘻 = a - bi, *w = c - di ∙ *z + *w = a + c + - bi - di

2. IZJAVNI RAČUN 2.1 Kaj je tavtologija? 2.2 Kaj je implikacija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za implikacijo. 2.3 Kaj je ekvivalenca izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za ekvivalenco. 2.4 Povejte primer dveh izjav in ugotovite pravilnost (resničnost) njune ekvivalence.

2.1 ∙ Tavtologija je sestavljena izjava, ki je vedno pravilna. 2.2 ∙ Implikacija izjav A in B je izjava, ki je pravilna, samo kadar je pravilno sklepanje, da iz A sledi B (torej kadar je izjava A nepravilna ali pa izjava B pravilna). 2.3 ∙ Ekvivalenca izjav A in B je izjava, ki je pravilna, samo kadar sta izjavi A in B po vrednosti enaki (obe hkrati pravilni ali obe hkrati napačni). 2.4 ∙ A: Število 1 je praštevilo. 1 ∙ B: Število 2 je liho. 0 ∙ A ⇔ B = 0

20. ENAČBE 20.1 Kaj je enačba in kaj je rešitev enačbe? Kdaj sta dve enačbi ekvivalentni (enakovredni)? 20.2 Opišite postopke, ki dano enačbo prevedejo v ekvivalentno enačbo. 20.3 Podajte primer linearne enačbe in primer nelinearne enačbe ter ju rešite.

20.1 ∙ Enačba je zapis sestavljen iz dveh matematičnih izrazov, ki ju imenujemo leva in desna stran enačbe, in iz enačaja, ki stoji med njima. ∙ Rešitev enačbe je število, pri katerem je vrednost leve strani enačbe enaka kot vrednost desne strani. ∙ Dve enačbi sta enakovredni (ekvivalentni), če imata enaki množici rešitev. 20.2 ∙ Linearno enačbo z eno neznanko lahko preoblikujemo v ekvivalentno enačbo, če: ∙ levi in desni strani enačbe prištejemo ali odštejemo enako število ali člen, ∙ levo in desno stran enačbe množimo ali delimo z enakim številom, različnim od števila 0. 20.3 ∙ x^2 - 4 = 0 ⇒ (x - 2)(x + 2) ⇒ x1 = 2, x2 = -2 ∙ x + 2 = 10 ⇒ x = 10 - 2 = 8

21. POTENCE S CELIMI EKSPONENTI 21.1 Definirajte potenco z naravnim in potenco s celim eksponentom. 21.2 Naštejte vsaj tri pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti. 21.3 Na primerih potenc s celimi eksponenti pokažite uporabo vsaj dveh izmed zgornjih pravil.

21.1 ∙ a^n, n ∈ ℕ ∙ a^n, n ∈ ℤ; n ≥ 0, a^n; n < 0, 1 => / a^n 21.2 ∙ a^n ∙ a^m = a^(n + m) ∙ (a^n)^m = a^(nm) ∙ (ab)^m = a^m ∙ b^m 21.3 ∙ 2^3 * 2^5 = 2^8 ∙ (2^3)^2 = 2^6

22. KORENI 22.1 Za poljubno liho naravno število n in za poljubno realno število x definirajte n-ti koren števila x. 22.2 Za poljubno sodo naravno število n in za poljubno nenegativno realno število x definirajte n-ti koren števila x. 22.3 Za vsako realno število x velja √(𝘹^2) = |x|. Pojasnite. 22.4 Povejte vsaj tri pravila za računanje s koreni.

22.1 ∙a = (n)√x ⇔ a^n = x x ∈ ℝ 22.2 ∙ a = (n)√x ⇔ x = a^n; n = 2m, m ∈ ℕ x ∈ ℝ_0+ 22.3 ∙ Ne glede na predznak x bo pod korenom pozitivno število, torej je koren od x^2 absolutna vrednost x. 22.4 ∙ (n)√x ∙ (n)√𝘺 = (n)√(xy) ∙ (n)√x / (n)√y = (n)√(x/y) ∙ ((n)√x)^m = (n)√x^m

23. POTENCE Z RACIONALNIMI EKSPONENTI 23.1 Definirajte potenco s pozitivno osnovo in racionalnim eksponentom. 23.2 Povejte vsaj tri pravila za računanje s takimi potencami. 23.3 Podajte primera dveh potenc z enakima osnovama in različnima pozitivnima racionalnima eksponentoma (ki nista celi števili) in izračunajte njun produkt. Izrazite ti dve potenci še kot korena in izračunajte njun produkt.

23.1 ∙ x ^ (m/n) = (n)√x^m 23.2 ∙ x ^ (m/n) ∙ x ^ (o/p) = x ^ (m/n + o/p) ∙ x ^ (m/n) / x ^ (o/p) = x ^ (m/n - o/p) ∙ (𝘹 ^ (m/n))^ (o/p) = x ^ (mo/np) 23.3

24. PREMICE 24.1 Definirajte vzporednost premic v ravnini. 24.2 Naštejte vse možne medsebojne lege dveh premic v ravnini. 24.3 Naštejte vsaj dve lastnosti relacije vzporednosti premic v ravnini. 24.4 Povejte aksiom o vzporednici.

24.1 ∙ 2 premici sta vzporedni v ravnini, če nimata nobene skupne točke. 24.2 ∙ Se sekata ali pa sta vzporedni. 24.3 ∙ Refleksivnost: p || p ∙ Tranzitivnost: p || q ∧ q || r ⇒ p || r 24.4 ∙ Skozi poljubno točko T poteka točno ena vzporednica k dani premici p.

25. KOTI 25.1 Pojasnite pojme ničelni, pravi, iztegnjeni in polni kot. 25.2 Pojasnite pojme sosedna kota, sokota in sovršna kota. 25.3 Kdaj je dani kot oster in kdaj top?

25.1 ∙ Ničelni kot - kraka sovpadata, notranjost je prazna množica. ∙ Pravi kot je kot, ki je skladen s svojim sokotom. ∙ Iztegnjeni kot - kraka tvorita premico ∙ Polni kot - kraka sovpadata, predstavlja celotno ravnino. 25.2 ∙ Sosednja kota imata skupen vrh in en krak. ∙ Sokota - njuna unija predstavlja iztegnjeni kot. ∙ Sovršna kota - sta skladna, imata skupen vrh. njuna kraka se dopolnjujeta v premico. 25.3 ∙ Oster: < 90° ∙ Top: 90° < 𝛼 < 180°

26. KOTI 26.1 Definirajte skladnost kotov. 26.2 Kaj velja za kota, ki imata paroma vzporedne krake? Narišite skice in razložite. 26.3 Kaj velja za kota, ki imata paroma pravokotne krake? Narišite skice in razložite. 26.4 Notranji kot BAD enakokrakega trapeza ABCD, meri α. Koliko merijo ostali notranji koti tega trapeza?

26.1 ∙ Koti, ki se natanko prekrivajo, so skladni koti. Uporabljamo znak za skladnost ≅. 26.2 ∙ Kota s paroma vzporednima krakoma sta bodisi enaka bodisi suplementarna. 26.3 ∙ Kota s paroma pravokotnima krakoma sta bodisi enaka bodisi suplementarna. 26.4 ∙ 𝛽 = 𝛼, ∙ 𝛾 = 𝛿 = 360° - 𝛼 - 𝛽

27. TRIKOTNIK 27.1 Definirajte trikotnik. 27.2 Definirajte notranji in zunanji kot trikotnika. 27.3 Kolikšna je vsota notranjih kotov trikotnika? Trditev dokažite. 27.4 Kolikšna je vsota zunanjih kotov trikotnika?

27.1 ∙ Trikotnik je geometrijski lik s tremi oglišči in s tremi stranicami. 27.2 ∙ Zunanji kot je sokot pripadajočega notranjega kota. Zunanji koti so konveksni. 27.3 ∙ 180° ∙ Osnovnici AB narišeš vzporednico skozi oglišče C. 27.4 ∙ 360°

28. ZNAMENITE TOČKE TRIKOTNIKA 28.1 Opišite konstrukcije simetrale daljice, simetrale kota in višine na stranico trikotnika. 28.2 Kako poiščemo središče trikotniku očrtanega kroga, središče trikotniku včrtanega kroga in višinsko točko trikotnika?

28.1 ∙ Ponovi v glavi, ker je res preveč za pisat. 28.2 ∙ Središče očrtanega kroga - presečišče simetral stranic. ∙ Središče včrtanega kroga - presečišče simetral kotov. ∙ Višinska točka - presečišče višin.

29. SKLADNOST LIKOV 29.1 Definirajte skladnost likov. 29.2 Povejte štiri izreke o skladnosti trikotnikov. 29.3 V paralelogramu narišemo obe diagonali. Koliko parov skladnih trikotnikov dobimo?

29.1 ∙ Lika sta skladna, če obstaja togi premik, ki enega preslika na drugega. 29.2 ∙ SSK - Trikotnika sta skladna, če imata skladni dve stranici in kot med njima. ∙ SKK - Trikotnika sta skladna, če imata skladno eno stranico in kota ob njej. ∙ SSS - Trikotnika sta skladna, če imata paroma skladne stranice. ∙ SsK - Trikotnika sta skladna, če imata skladni dve stranici in kot, ki je daljši od teh stranic nasproti. 29.3 2.

3. MNOŽICE 3.1 Kaj je prazna množica in kaj je univerzalna množica? 3.2 Kaj je razlika dveh množic? Kako označimo razliko dveh množic in kako jo grafično predstavimo? * 3.3 Kaj je komplement množice? Kako označimo komplement in kako ga grafično predstavimo?

3.1 ∙ Prazna množica, je množica, ki ne vsebuje nobenega elementa. 3.2 ∙ Razlika dveh množic je množica, ki vsebuje vse elemente množice A, ki niso elementi iz množice B. ∙ Označimo jo z -, \. ∙ Grafično ga predstavimo z Vennovim diagramom. 3.3 ∙ O komplementu A' govorimo takrat, kadar so vse množice, ki nas zanimajo podmnožice neke vnaprej določene univerzalne množice U. Komplement A' je v tem primeru razlika U \ A. ∙ Grafično ga predstavimo z Vennovim diagramom.

31. PARALELOGRAM 31.1 Definirajte paralelogram. 31.2 Navedite lastnosti kotov in stranic paralelograma. 31.3 Navedite posebne vrste paralelogramov in opišite njihove lastnosti. 31.4 Kaj velja za diagonali paralelograma?

31.1 ∙ Paralelogram je štirikotnik, ki ima 2 para vzporednih stranic. 31.2 ∙ Po dva nasprotna notranja kota sta skladna, po dva sosednja kota pa suplementarna. ∙ Nasprotni stranici sta vzporedni in enako dolgi. 31.3 ∙ Romb - paralelogram, ki ima vse 4 stranice enako dolge, diagonali se sekata pod pravim kotom. ∙ Pravokotnik - paralelogram, ki ima vse 4 notranje kote skladne. ∙ Kvadrat - paralelogram, ki ima vse 4 stranice in notranje kote skladne. 31.4 ∙ Da se razpolavljata in paralelogram razdelita na 2 para skladnih trikotnikov.

32. TRAPEZ 32.1 Definirajte trapez. 32.2 Navedite lastnosti kotov trapeza. 32.3 Kaj je srednjica trapeza in katere lastnosti ima? 32.4 Kaj je višina trapeza? 32.5 Pri katerih trapezih sta diagonali enako dolgi?

32.1 ∙ Trapez je štirikotnik z enim parom vzporednih stranic. Imenujemo ju osnovnici, drugi dve stranici pa kraka. 32.2 ∙ Vsota notranjih kotov je 360°. ∙ Notranja kota ob istem kraku sta suplementarna. 32.3 ∙ Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči obeh krakov. Njena dolžina je enaka polovici vsote dolžin osnovnic trapeza. 32.4 ∙ Pri enakokrakih trapezih.

33. PREMICE IN KROŽNICE 33.1 V kakšni medsebojni legi sta lahko premica in krožnica, ki ležita v isti ravnini? 33.2 Podrobno opišite konstrukcijo tangente na krožnico skozi dano točko zunaj krožnice.

33.1 ∙ Nimata skupnih točk. ∙ Imata 1 skupno točko. ∙ Imata 2 skupni točki. 33.2 ∙ Z ravnilom povežemo točki S in T. ∙ Konstruiramo razpolovišče daljice ST in ga označimo s točko A. ∙ V šestilo vzamemo polovično dolžino daljice ST. ∙ Šestilo zapičimo v točko A. ∙ S šestilom zarišemo krožnico. ∙ Presečišči krožnic označimo s točkama B in C. ∙ Z ravnilom narišemo premico skozi točki T in B in jo označimo s t. ∙ Z ravnilom narišemo premico skozi točki T in C in jo označimo z u.

34. SREDIŠČNI IN OBODNI KOT 34.1 Definirajte središčni in obodni kot v krogu. 34.2 V kakšni zvezi sta, če ležita nad istim lokom v krogu? 34.3 Povejte in dokažite Talesov izrek o kotu v polkrogu. 34.4 V enakostraničnem trikotniku ABC je S središče trikotniku očrtane krožnice. Koliko meri kot ASB?

34.1 ∙ Središčni kot - kot pod katerim vidimo krožni lok iz središča krožnice ∙ Naj točka C leži na krožnici, vendar ne na krožnem loku l = AB. Kot, ki ga oklepata tetivi CA in CB , tedaj imenujemo obodni kot nad krožnim lokom L. 34.2 ∙ Središčni kot je enak 2-kratniku obodnega kota. 34.3 ∙ Če vrh kota φ leži na polkrožnici, kraka pa potekata skozi krajišči premera, potem je φ pravi kot. ∙ Dokaz: http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2006/ura/Friedl/html/izrekikrog.htm 34.4 ∙ 120°

35. SINUSNI IN KOSINUSNI IZREK 35.1 Povejte kosinusni izrek. Na primeru opišite njegovo uporabo. 35.2 Povejte sinusni izrek. Na primeru opišite njegovo uporabo. 35.3 Kateri izrek dobimo, če v pravokotnem trikotniku uporabimo kosinusni izrek za izračun hipotenuze? Odgovor utemeljite.

35.1 ∙ c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos𝛾 ∙ Imamo trikotnik s podano dolžino stranice 𝘢, podanim kotom 𝛾 ter s podano dolžino stranice 𝘣. Izračunajmo dolžino stranice 𝘤... 35.2 ∙ a / sin𝛼 = b / sin𝛽 = c / sin𝛾 ∙ Imamo trikotnik s podano dolžino stranice a, podanim kotom 𝛼 ter s podano dolžino stranice b. Izračunajmo kot 𝛽. ∙ 𝛽 = arcsin(b ∙ sin𝛼 / a) ; nato lahko izračunamo še kot 𝛾 in dolžino stranice c. 35.3 ∙ Pitagorov, saj je cos 90° = 0

36. PLOŠČINE LIKOV 36.1 Navedite formulo za izračun ploščine trikotnika. 36.2 Navedite formulo za izračun ploščine paralelograma. 36.3 Navedite formulo za izračun ploščine deltoida in jo predstavite na primeru. 36.4 Navedite formulo za izračun ploščine trapeza in jo predstavite na primeru.

36.1 ∙ S = av / 2 36.2 ∙ S = av = bv = absin(alfa) 36.3 ∙ S = ef / 2 36.4 ∙ S = v(a + c) / 2

37. PLOŠČINE LIKOV 37.1 Navedite formuli za izračun ploščine kvadrata in ploščine pravokotnika. 37.2 Navedite formulo za izračun ploščine romba in jo dokažite. 37.3 Izpeljite formulo za izračun višine enakostraničnega trikotnika. 37.4 Navedite formuli za izračun ploščine enakostraničnega in ploščine pravokotnega trikotnika.

37.1 ∙ Kvadrat: S = aa ∙ Pravokotnik: S = ab 37.2 ∙ S = ef / 2 37.3 ∙ Pitagorov izrek - v^2 = a^2 - (a/2)^2 ... 37.4 ∙ Enakostranični: (a^2 ∙ √3) / 4 ∙ Pravokotni: ab/2 (a in b sta kateti).

38. KROG * 38.1 Navedite formuli za izračun ploščine in obsega kroga. 38.2 Navedite formuli za izračun dolžine krožnega loka in ploščine krožnega izseka.. 38.3 Kako z uporabo pravilnih večkotnikov izračunamo približno vrednost razmerja med obsegom in premerom kroga? *

38.1 ∙ S = 𝜋r^2 ∙ o = 2𝜋r 38.2 ∙ l = 𝜋r(alfa) / 180° ∙ S = 𝜋r^2(alfa) / 360° 38.3 ∙

39. PRIZMA 39.1 Definirajte prizmo. 39.2 Kdaj je prizma enakoroba. 39.3 Kdaj je prizma n-strana. 39.4 Kdaj je prizma pravilna. 39.5 Navedite formuli za izračun prostornine in površine pokončne prizme. 39.6 Izpeljite formulo za izračun prostornine pravilne enakorobe šeststrane prizme z robom a.

39.1 ∙ Prizma je oglato telo, omejeno s skladnima vzporednima večkotnikoma (osnovni ploskvi) in plaščem iz paralelogramov (stranske ploskve). 39.2 ∙ Prizma je enakoroba, če ima vse robove enako dolge. 39.3 ∙ Prizma je n-strana, če ima za osnovno ploskev n-kotnik. 39.4 ∙ Prizma je pravilna, če je pokončna in ima za osnovno ploskev pravilni večkotnik. 39.5 ∙ V = ov ∙ S = 2o + pl (n ∙ av) 39.6 ∙ V = ((a^2 ∙ √3) / 4) ∙ a ∙ S = 3(a^2 ∙ √3) + 6a^2

4. MNOŽICE 4.1 Kdaj je množica A podmnožica množice B? 4.2 Kdaj sta dve množici enaki? 4.3 Kaj je presek dveh množic? Kako označimo presek množic in kako ga grafično predstavimo? 4.4 Kaj je unija dveh množic? Kako označimo unijo množic in kako jo grafično predstavimo?

4.1 ∙ Kadar je vsak element množice A hkrati tudi element množice B. 4.2 ∙ Kadar obe vsebujeta enake elemente (A ⊆ B ∧ B ⊆ A). 4.3 ∙ Presek dveh množic je množica, ki vsebuje vse elemente, ki so v obeh množicah, v A in v B. 4.4 ∙ Unija dveh množic je množica, ki vsebuje vse elemente, ki so v množici A ali v množici B.

40. VALJ 40.1 Definirajte pokončni valj. 40.2 Skicirajte mrežo valja. 40.3 Kaj je osni presek valja? 40.4 Navedite formuli za izračun površine in prostornine pokončnega valja. 40.5 Izrazite prostornino enakostraničnega valja s polmerom osnovne ploskve r.

40.1 ∙ Valj je okroglo telo, ki ga omejujejo skladna vzporedna kroga (osnovni ploskvi) in plašč, ki ga opiše zveznica dveh točk na robu krogov. Zveznica teh dveh točk je vzporedna zveznici središč obeh krogov. ∙ Valj je pokončen, če je njegova os pravokotna na osnovno ploskev. Valj je poševen, če ni pokončen. 40.3 ∙ Osni presek valja je lik, ki ga dobimo, če valj presekamo z ravnino, ki vsebuje os valja. 40.4 ∙ V = 𝜋r^2 ∙ v ∙ P = 2 ∙ 𝜋r^2 + 2𝜋r ∙ v 40.5 ∙ V = 𝜋r^2 ∙ 2r

41. PIRAMIDA 41.1 Definirajte piramido. 41.2 Kdaj je piramida enakoroba. 41.3 Kdaj je piramida n-strana. 41.4 Kdaj je piramida pravilna. 41.5 Navedite formulo za izračun površine pravilne piramide. 41.6 Izrazite prostornino pravilne enakorobe štiristrane piramide z robom a.

41.1 ∙ Piramida je oglato geometrijsko telo, ki je omejeno z n-kotnikom (n ≥ 3) in n trikotniki. 41.2 ∙ Enakoroba piramida je piramida, ki ima vse robove enako dolge. 41.3 ∙ Piramida, ki ima za osnovno ploskev n-kotnik. 41.4 ∙ Pravilna piramida je pokončna piramida, ki ima za osnovno ploskev pravilni n-kotnik. 41.5 ∙ P = o + pl 41.6 ∙ V = (a^3 ∙ √3) / 6

42. STOŽEC 42.1 Definirajte pokončni stožec. 42.2 Skicirajte mrežo stožca. 42.3 Opišite presek stožca z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi. 42.4 Opišite presek stožca z ravnino, ki vsebuje os stožca. 42.5 Navedite formulo za izračun površine stožca. 42.6 Izrazite prostornino enakostraničnega stožca s polmerom r.

42.1 ∙ Pokončni stožec je okroglo geometrijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli ene od katet za 360°. 42.2 ∙ Osnovna ploskev je krog, plašč je krožni izsek. 42.3 ∙ Pokončni stožec: krog. 42.4 ∙ Osni presek pokončnega stožca je enakokraki trikotnik. ∙ Osni presek poševnega stožca je raznostranični trikotnik. ∙ Osni presek enakostraničnega stožca je enakostranični trikotnik. 42.5 ∙ P = 𝜋r^2 + 𝜋rs 42.6 ∙ V = √3/6 ∙ (𝜋r^3)

43. VEKTORJI 43.1 Kaj je vektor? 43.2 Definirajte seštevanje vektorjev. 43.3 Definirajte ničelni vektor in nasprotni vektor danega vektorja. 43.4 Definirajte odštevanje vektorjev. 43.5 Povejte vsaj dve lastnosti seštevanja vektorjev.

43.1 ∙ Vektorje"usmerjena daljica", ki je natanko določena s svojo začetno in končno točko. 43.2 ∙ Vektorja 𝘢 in 𝘣 seštejemo tako, da ju najprej vzporedno premaknemo v takšno lego, da je končna točka prvega vektorja hkrati začetna točka drugega, nato pa narišemo vsoto 𝘢 + 𝘣, ki poteka od začetne točke prvega do končne točke drugega vektorja. 43.3 ∙ Ničelni vektor - vektor, ki ima dolžino enako 0 in nima smeri. ∙ Nasprotni vektor danega vektorja je vektor, ki je enako dolg in vzporeden danemu vektorju, ima pa nasprotno orientacijo. 43.4 ∙ Odštevanje je vektorjev je prištevanje nasprotnega vektorja. ∙ a - b = a + (-b) 43.5 ∙ Komutativnost a + b = b + a ∙ Asociativnost a + (b + c) = (a + b) + c ∙ Zakon o nevralnem elementu a + 0 = a ∙ Zakon o inverznem elementu a + (-a) = 0

45. VEKTORJI 45.1 Opišite pravokotni koordinatni sistem v prostoru R3. 45.2 Definirajte standardno ortonormirano bazo v prostoru R3. 45.3 Definirajte krajevni vektor dane točke v prostoru R3. 45.4 Izrazite krajevni vektor r točke A(a1, a2, a3) kot linearno kombinacijo vektorjev standardne ortonormirane baze prostora R3. 45.5 Naj bosta A in B točki v prostoru R3. Izrazite vektor AB s koordinatama točk A in B in odgovor utemeljite.

45.1 ∙ Koordinatni sistem v prostoru tvorijo tri med seboj pravokotne premice, ki se sekajo v isti točki. Premice imenujemo abcisna (x), ordinatna (y) in aplikativna (z) os. Na vsaki osi si izberemo enoto. Vsaki točki prostora lahko tako enolično določimo urejeno trojico števil (x,y,z). 45.2 ∙ Standardna ortonormirana baza prostora R3 sestavljajo 3 enotski vektorji, ki so paroma pravokotni. 45.3 ∙ r = mi + nj + ok; m, n, k ∈ ℝ 45.4 ∙ r = a_1i + a_2j + a_3k 45.5 ∙ AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3)

46. SKALARNI PRODUKT 46.1 Kako izračunamo skalarni produkt dveh vektorjev, če poznamo njuni dolžini in kot med njima? 46.2 Naštejte vsaj tri lastnosti skalarnega produkta. 46.4 Kako s skalarnim produktom ugotovimo, ali sta dana vektorja pravokotna? Pokažite s primerom.

46.1 ∙ Kot produkt njunih dolžin in kosinusa kota med njima. 46.2 ∙ Komutativnost ∙ Homogenost a ∙ (mb) = (ma) ⋅ b = m ∙ (ab) ∙ Distirbutivnost a(b + c) = ab + ac 46.3 ∙ Če je skalarni produkt vektorjev enak 0 sta ta vektorja pravokotna.

47. SKALARNI PRODUKT V STANDARDNI OB 47.1 Kako izračunamo skalarni produkt dveh vektorjev v standardni ortonormirani bazi? Odgovor utemeljite. 47.2 Kako izračunamo dolžino vektorja v standardni ortonormirani bazi? Odgovor utemeljite. 47.3 Kako izračunamo kot med vektorjema v standardni ortonormirani bazi? 47.4 Ponazorite izračun kota med vektorjema s primerom.

47.1 ∙ Skalarni produkt: b1 ∙ a1 + b2 ∙ a2 + b3 ∙ a3 47.2 ∙ Dožina: |a| = √(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) 47.3 ∙ Kot = arccos(ab/|a||a|)

48. KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI 48.1 Definirajte pravokotni koordinatni sistem v ravnini R2. 48.2 Izpeljite formulo za računanje razdalje med dvema točkama. 48.3 Povejte koordinati razpolovišča daljice z danima krajiščema. . 48.4 Točko T(x, y) prezrcalite čez koordinatno izhodišče. Povejte koordinati tako dobljene točke. 48.5 Točko T(x, y) prezrcalite čez ordinatno os. Povejte koordinati tako dobljene točke.

48.1 ∙ Koordinatni sistem v ravnini je sestavljen iz dveh med seboj pravokotnih premic, ki ju imenujemo abscisna os (vodoravna os, koordinatna os x) in ordinatna os (navpična os, koordinatna os y). Točkam na koordinatnih oseh priredimo realna števila. 48.2 ∙ Narišeš 2 točki, narediš pitagorov izrek. 48.3 ∙ T(|x1- x2| / 2, |y1 - y2| / 2) 48.4 ∙ T(-x, -y) 48.5 ∙ T(-x, y)

49. FUNKCIJE 49.1 Definirajte pojem funkcije (preslikave) iz množice A v množico B. 49.2 Kdaj je funkcija injektivna, kdaj surjektivna in kdaj bijektivna? 49.3 Skicirajte graf ali povejte predpis funkcije, ki ni surjektivna. 49.4 Skicirajte graf ali povejte predpis funkcije, ki ni injektivna.

49.1 ∙ Funkcija f : A → B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis, ki danemu podatku x ∈ A priredi funkcijsko vrednost f(x) ∈ B. 49.2 ∙ Funkcija je injektivna, če vsak par originalov preslika v različni sliki. ∙ Funkcija je surjektivna, če element Zf slika vsaj enega originala. ∙ Funkcija je bijektivna natanko takrat, ko je injektivna in surjektivna hkrati. 49.3 ∙ f(x) = x^(-1) 49.4 ∙ f(x) = x^2

5. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 5.1 Opišite množici N in Z in ju predstavite na številski premici. 5.2 Naštejte računske operacije v množici N. 5.3 Definirajte odštevanje v množici Z. 5.4 Opišite vsaj tri lastnosti računskih operacij v množicah N in Z.

5.1 ∙ Množica ℕ, je množica števil s katerimi štejemo (cela pozitivna števila ℕ = {1,2,3,4...}) ∙ Množica ℤ, je množica ℕ števil, ki ji dodamo 0 in nasprotne vrednosti vseh ℕ števil ℤ = {..-2, -1, 0, 1,2,3,4...} 5.2 ∙ Seštevanje, množenje. 5.3 ∙ Odštevanje v množici ℤ je definirano kot prištevanje nasprotne vrednosti danega števila. 5.4 komutativnost seštevanja; a + b = b + a asociativnost seštevanja; (a + b) + 𝘤 = a + (b + c) komutativnost množenja ab = ba asociativnost množenja (ab)c = a(bc) zakon o nevtralnem elementu pri množenju a * 1 = a zakon o nevtralnem elementu pri seštevanju a + 0 = a distributivnostni zakon a(b + c) = ab + bc

51. LASTNOSTI FUNKCIJ 51.1 Kdaj je funkcija f liha in kdaj soda? 51.2 Kako iz grafa funkcije f ugotovimo, ali je funkcija f soda oziroma liha? 51.3 Skicirajte graf ali povejte predpis lihe funkcije. 51.4 Skicirajte graf ali povejte predpis sode funkcije.

51.1 ∙ Liha: f(-x) = -f(x) ∙ Soda: f(-x) = f(x) 51.2 ∙ Liha: če je simetrična glede na koordinatno izhodišče. ∙ Soda: če je simetrična glede na ordinatno os 51.3 ∙ f(x) = x^3 51.4 ∙ f(x) = x^2

52. LINEARNA FUNKCIJA 52.1 Definirajte linearno funkcijo in povejte, kaj je njen graf. 52.2 V odvisnosti od diferenčnega količnika k preučite naraščanje in padanje linearne funkcije f. 52.3 Za koliko se spremeni vrednost funkcije f, če vrednost neodvisne spremenljivke povečamo za 2? 52.4 Kaj velja za grafa linearnih funkcij z enakima smernima koeficientoma?

52.1 ∙ Linearna funkcija je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f(x) = kx + n, kjer sta koeficienta k in n poljubni realni števili. 52.2 ∙ k < 0 - pada ∙ k > 0 - narašča ∙ k = 0 - konstantna 52.3 ∙ f(x) = k(x+2) + n, za 2k 52.4 ∙ Da sta vzporedna.

53. ENAČBA PREMICE 53.1 Kaj je eksplicitna oblika enačbe premice? Enačbe katerih premic lahko zapišemo v tej obliki? 53.2 Kaj je implicitna oblika enačbe premice? Enačbe katerih premic lahko zapišemo v tej obliki? 53.3 Kaj je odsekovna oblika enačbe premice? Enačbe katerih premic lahko zapišemo v tej obliki?

53.1 ∙ Eksplicitna oblika enačbe premice je enačba oblike y = kx + n. ∙ Z njo lahko zapišemo enačbe vseh premic, ki niso vzporedne ordinatni osi. 53.2 ∙ Implicitna oblika enačbe premice je enačba oblike 0 = ax + by + c. ∙ Z njo lahko zapišemo enačbo katerikoli premice. 53.3 ∙ Eksplicitna oblika enačbe premice je enačba oblike 1 = x/m + y/n ∙ Z njo lahko zapišemo enačbe vseh premic, ki niso vzporedne koordinatnima osema in ne potekajo skozi koordinatno izhodišče.

54. PREMICE V RAVNINI 54.1 Definirajte naklonski kot premice v ravnini ter razložite zvezo med naklonskim kotom in smernim koeficientom dane premice (če ta obstaja). 54.2 Kako izračunamo kot med premicama, če poznamo njuna smerna koeficienta? 54.3 Kaj velja za smerna koeficienta vzporednih premic? 54.4 Kaj velja za smerna koeficienta pravokotnih premic? 54.5 Kolikšen je smerni koeficient premice, ki je pravokotna na simetralo lihih kvadrantov?

54.1 ∙ Naklonski kot premice je tangens smernega koeficienta premice. 54.2 ∙ tga = |(k2 - k1) / (1 + k1 ∙ k2)| 54.3 ∙ k1 = k2 54.4 ∙ k1 = -1/k2 54.5 ∙ k = -1

55. LINEARNE NEENAČBE 55.1 Kaj je linearna neenačba z eno neznanko? 55.2 Na primeru opišite reševanje linearnih neenačb z eno neznanko. 55.3 Opišite vse možne množice rešitev poljubne linearne neenačbe z eno neznanko. *

55.1 ∙ Je neenačba oblike ax + b <(>...) = 0, kjer sta a in b elementa realnih števil in a ni enak 0. 55.2 ∙ x - 5 < 2 ∙ x - 5 + 5 < 2 + 5 enačbi na obeh straneh prištejemo 5 ∙ x < 7 55.3 ∙ Vsa realna števila ∙ Nima realnih rešitev ∙ Interval

56. POTENČNA FUNKCIJA 56.1 Definirajte potenčno funkcijo z naravnim eksponentom. 56.2 Narišite grafa potenčnih funkcij, ki imata eksponenta 2 in 3. 56.3 Navedite vsaj dve lastnosti potenčnih funkcij. * 56.4 Navedite osnovne razlike v lastnostih med potenčnimi funkcijami s sodim in potenčnimi funkcijami z lihim naravnim eksponentom.

56.1 ∙ Je funkcija oblike f(x) = x^n, n ∈ ℕ 56.3 ∙ Napišeš razpredelnico, potenčna z neg. in poz. sodim ter potenčna z neg. in poz. lihim eksponentom. 56.4 ∙ Potenčna funkcija s sodim naravnim eksponentom: - Df = ℝ - Zf = [0, ∞) - narašča na intervalu [0, ∞) - pada na intervalu (-∞, 0] - je soda ∙ Potenčna funkcija z lihim naravnim eksponentom: - Df = ℝ - Zf = ℝ - narašča na celotnem Df - je liha

57. KORENSKA FUNKCIJA 57.1 Za poljubno naravno število n definirajte korensko funkcijo f s predpisom f(x) = (n)√x. 57.2 Narišite grafa korenskih funkcij za n = 2 in n = 3. 57.3 Navedite definicijski območji in zalogi vrednosti korenskih funkcij za n = 2 in n = 3.

57.1 ∙ * 57.3 ∙ n = 2 - Df = [0, ∞) - Zf = [0, ∞) ∙ n = 3 - Df = ℝ - Zf = ℝ

58. KVADRATNA FUNKCIJA 58.1 Definirajte kvadratno funkcijo. 58.2 Naštejte vsaj štiri lastnosti kvadratne funkcije in jih razložite. * 58.3 Povejte primer navzgor omejene kvadratne funkcije, katere graf seka ordinatno os v točki N(0, 3).

58. 1 ∙ Je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f(x) = ax^2 + bx + c, kjer so a, b, c ∈ ℝ in a ≠ 0. 58.2 ∙ Njen graf je parabola. ∙ Df = ℝ Njena zaloga vrednosti je odvisna od ordinate temena in sicer: ∙ če je a > 0, je Zf = [q, ∞) ∙ če je a < 0, je Zf = (−∞, q] ∙ Ima nič, eno ali dve ničli ∙ Začetna vrednost je enaka prostemu členu c, ki določa presečišče grafa z osjo y ∙ Narišeš graf in razlagaš 58.3 ∙ f(x) = -x^2 + 3

59. TEME GRAFA KVADRATNE FUNKCIJE 59.1 Kaj je teme grafa kvadratne funkcije? Kako ga izračunamo? 59.2 Povejte temensko obliko predpisa kvadratne funkcije. Kako je njen graf odvisen od vodilnega koeficienta ter koordinat temena? 59.3 Povejte primer navzgor omejene kvadratne funkcije, katere graf ima teme v prvem kvadrantu.

59.1 ∙ Je presečišče parabole in njene simetrale. ∙ Teme: T(p, q) ∙ p = -b / 2a ∙ q = (4ac - b^2) / 4a 59.2 ∙ f(x) = a(x - p)^2 + q ∙ Če je a < 0 je funkcija omejena navzgor, če pa je a > 0 pa je omejena navzdol. ∙ Teme nam pove, kje se graf funkcije obrne. 59.3 ∙ f(x) = -(x - 2)^2 + 2

6. LIHA IN SODA ŠTEVILA 6.1 Definirajte soda in liha števila. 6.2 Pokažite, da je vsota dveh lihih števil sodo število. 6.3 Pokažite, da je kvadrat lihega števila liho število.

6.1 ∙ Soda števila so tista števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 0. ∙ Liha števila so tista števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 1. 6.2 Naj bo: a = 2m - 1; m ∈ ℕ b = 2n - 1; n ∈ ℕ a + b = 2m - 1 + 2n - 1 = 2(m + n) (večkratnik števila 2) 6.3 Naj bo a = 2m - 1; m ∈ ℕ a^2 = 2m^2 - 4m + 1 = 2(m^2 - 2m) + 1

60. NIČLE KVADRATNE FUNKCIJE 60.1 Definirajte ničlo funkcije. 60.2 Povejte ničelno obliko predpisa kvadratne funkcije. 60.3 Kaj je diskriminanta kvadratne funkcije? 60.4 Razložite pomen diskriminante kvadratne funkcije pri iskanju njenih ničel.

60.1 ∙ Je tisto število x, ki reši enačbo f(x) = 0. 60.2 ∙ f(x) = a(x - x1)(x - x2) ∙ x1 in x2 sta ničli kvadratne funkcije 60.3 ∙ D = b^2 - 4ac in f(x) = ax^2 + bx + c 60.4 ∙ Diskriminanta kvadratne funkcije nam pove koliko ničel ima dana funkcija: - D = 0, funkcija ima dvojno ničlo (enaki ničli); graf se v ničli obrne (dotakne osi x, torej je ničla teme) - D < 0, funkcija nima realnih ničel; graf leži nad ali pod osjo x - D > 0, funkcija ima 2 različni realni ničli; graf seka os x v 2 različnih točkah

61. KVADRATNA ENAČBA * 61.1 Kaj je kvadratna enačba? 61.2 Kako izračunamo rešitve kvadratne enačbe? 61.3 Kako je z rešljivostjo kvadratne enačbe v množici realnih števil in kako v množici kompleksnih števil? 61.4 Povejte in rešite primer kvadratne enačbe, ki ima dve konjugirano kompleksni rešitvi. *

61.1 ∙ Kvadratna enačba je vsaka enačba, ki jo lahko zapišemo v obliki ax^2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna realna števila in je vodilni koeficient a različen od 0. 61.2 ∙ Uporabimo identične metode kot pri iskanju ničel kvadratne funkcije - ali enačbo razcepimo ali pa uporabimo formulo za izračun ničel: x_1,2 = (-b +- √(b^2 - 4ac)) / 2a 61.3 ∙ V kompleksnih številih je kvadratna enačba vedno rešljiva. V množici realnih števil pa le, če je determinanta ≥ 0. 61.4 ∙

62. KVADRATNA NEENAČBA ?? 62.1 Kaj je kvadratna neenačba? 62.2 Kako rešujemo kvadratno neenačbo? 62.3 Kaj je množica rešitev poljubne kvadratne neenačbe? Povejte vse možnosti. 62.4 Povejte primer kvadratne neenačbe, katere množica rešitev je interval [1, 2]

62.1 ∙ Kvadratna neenačba je vsaka neenačba, ki jo lahko zapišemo v obliki ax^2 + bx + c > 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna realna števila in je vodilni koeficient a različen od 0. ∙ Namesto znaka > lahko nastopa tudi katerikoli od ostalih znakov neenakosti: <, ≤ ali ≥. 62.2 ∙ 62.3 ∙ Vsa realna števila ∙ Nima realnih rešitev ∙ Interval 62.4 ∙ (x - 1)(x - 2) ≤ 0

63. EKSPONENTNA FUNKCIJA 63.1 Naj bo a > 1. Skicirajte graf funkcije s predpisom f(x) = a^x. 63.2 Naj bo 0 < a < 1. Skicirajte graf funkcije s predpisom f(x) = a^x. 63.3 Povejte vsaj štiri lastnosti eksponentne funkcije.

63.3 ∙ Df = ℝ ∙ Zf = ℝ+ ∙ Ima vodoravno asimptoto y = 0 ∙ Če je 0 < a < 1, pada na celotnem Df. ∙ Če je a > 1, narašča na celotnem Df. ∙ Začetna vrednost je enaka 1. ∙ Nima ničel.

64. LOGARITEMSKA FUNKCIJA 64.1 Naj bo a pozitivno realno število, a ≠ 1. Definirajte logaritemsko funkcijo z osnovo a. 64.2 Naj bo a > 1. Skicirajte graf logaritemske funkcije z osnovo a. 64.3 Naj bo 0 < a < 1. Skicirajte graf logaritemske funkcije z osnovo a. 64.4 Povejte vsaj 2 lastnosti logaritemske funkcije.

64.1 ∙ f(x) = loga(x) ∙ loga(x) = y ⇔ a^x = y 64.4 ∙ Df = ℝ+ ∙ Zf = ℝ ∙ Ima navpično asimptoto x = 0 ∙ Če je 0 < a < 1, pada na celotnem Df. ∙ Če je a > 1, narašča na celotnem Df. ∙ Ima ničlo pri x = 1.

65. RAČUNANJE Z LOGARITMI 65.1 Povejte vsaj dve pravili za računanje z logaritmi. 65.2 Povejte vsaj dve lastnosti logaritma. 65.3 Koliko je e^(lnx) in log(10^x)?

65.1 ∙ loga(ax) = x ∙ loga(xy) = loga(x) + loga(y) ∙ loga(x/y) = loga(x) - loga(y) ∙ loga(x^n) = n ∙ loga(x) ∙ loga((n)√x) = 1/n ∙ loga(x) 65.2 ∙ Logaritem je definirana samo za pozitivne x. ∙ loga(1) = 0 ∙ loga(a) = 1 65.3 ∙ e^(lnx) = x ∙ log(10^x) = x

66. POLINOMI 66.1 Definirajte polinom (polinomsko funkcijo). Kaj so stopnja, vodilni koeficient in prosti člen polinoma? 66.2 Kako množimo polinome? Kakšna je stopnja produkta dveh polinomov? 66.3 Povejte osnovni izrek o deljenju polinomov.

66.1 ∙ Polinom je funkcija oblike a_n ∙ x^n + a_(n-1) ∙ x^(n-1) + ... + a_1 ∙ x + a_0 ∙ Koeficienti a_n... a_1, a_0 so poljublja realna števila, koeficient a_n pa more biti različen od 0. ∙ Vodilni koeficient polinoma je število a_n (koeficient pri najvišji potenci, ki nastopa v polinomu) ∙ Prosti člen polinoma je koeficient a_0 ∙ Stopnja polinoma je eksponent najvišje potence, ki nastopa v polinomu. 66.2 ∙ Polinome množimo tako, da vsak člen pomnožimo z vsakim. ∙ Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih faktorjev. 66.3 ∙ p(x) = k(x) ∙ q(x) + r(x) ∙ st(r(x)) < st(q(x)) ∙ q(x) je poljuben neničelen polinom

67. NIČLE POLINOMOV 67.1 Koliko realnih ničel ima lahko polinom stopnje n? 67.2 Polinom p stopnje n naj ima n paroma različnih ničel. Kako lahko zapišemo predpis polinoma p, da bodo iz njega razvidne vse njegove ničle? 67.3 Koliko realnih ničel ima lahko polinom tretje stopnje? Navedite vse možnosti. 67.4 Povejte primer polinoma četrte stopnje z realnimi koeficienti, ki ima natanko dve različni realni ničli.

67.1 ∙ Polinom stopnje n ima n realnih ničel. 67.2 ∙ V ničelni obliki: p(x) = A(x - a_1)(x - a_2)∙∙∙(x - a_n) ∙ kjer je A vodilni člen polinoma in so števila a_1, a_2, ... , a_n ničle polinoma 67.3 ∙ 3 realne ničle ali ∙ 1 realna ničla in 2 kompleksni ničli

68. RACIONALNA FUNKCIJA 68.1 Kako poiščemo ničle in pole racionalne funkcije? 68.2 Naj bo x_0 ničla racionalne funkcije f. Razložite obnašanje funkcije f v dovolj majhni okolici ničle x_0. Navedite vse možnosti. 68.3 Naj bo x_0 pol racionalne funkcije f. Razložite obnašanje funkcije f v dovolj majhni okolici pola x_0. Navedite vse možnosti.

68.1 ∙ Ničle racionalne funkcije poiščemo tako, da poiščemo ničle polinoma v števcu funkcije. ∙ Pole racionalne funkcije poiščemo tako, da poiščemo ničle polinoma v imenovalcu funkcije. 68.2 ∙ Če je x_0 ničla sode stopnje, se bo graf funkcije zgolj dotaknil osi x in spremenil smer (če je naraščal na intervalu (x_0 - a, x_0) potem na intervalu (x_0, x_0 + a) pada in obratno). ∙ Če je x_0 ničla lihe stopnje, graf funkcije spremeni predznak (če je bil negativen na intervalu (x_0 - a, x_0) je potem na intervalu (x_0, x_0 + a) pozitiven in obratno). 68.3 ∙ Graf funkcije se v okolici pola približuje navpični asimptoti. ∙ Če je x_0 ničla sode stopnje se predznak ohrani. ∙ Če je x_0 ničla lihe stopnje se predznak spremeni.

7. PRAŠTEVILA 7.1 Definirajte praštevilo in sestavljeno število. Naštejte tri praštevila in tri sestavljena števila. 7.2 Kaj je razcep naravnega števila na prafaktorje? Ali je razcep na prafaktorje enoličen? 7.3 Opišite enega izmed postopkov za preverjanje, ali je dano število praštevilo.

7.1 ∙ Praštevilo je število, ki ima natanko 2 delitelja - 1 in samega sebe, najmanjše praštevilo je 2. ∙ Sestavljeno število, je število, ki ima najmanj 3 delitelje. 1 ni ne praštevilo, ne sestavljeno število. 7.2 ∙ Razcep ℕ števila na prafaktorje je enoličen zapis števila, kot produkt potenc praštevil. 7.3 Opišeš razcep na prafaktorje.

70. FUNKCIJA SINUS ?? 70.1 Definirajte funkcijo sinus. 70.2 Koliko je osnovna perioda funkcije sinus? Povejte vse ničle funkcije sinus. 70.3 V katerih točkah ima funkcija sinus maksimum in v katerih minimum? 70.4 Narišite graf funkcije sinus.

70.1 ∙ Sinus kota je ordinata točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico. 70.2 ∙ Osnova perioda: 2π. ∙ Ničle: x = kπ; k ∈ ℤ 70.3 ∙ Maksimumi: M(π/2 + 2kπ, 1); k ∈ ℤ ∙ Minimumi: m(-π/2 − + 2kπ, −1); k ∈ ℤ

71. FUNKCIJA KOSINUS 71.1 Definirajte funkcijo kosinus. 71.2 Koliko je osnovna perioda funkcije kosinus? Povejte vse ničle funkcije sinus. 71.3 V katerih točkah ima funkcija kosinus maksimum in v katerih minimum? 71.4 Narišite graf funkcije kosinus.

71.1 ∙ Sinus kota je abcisa točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico. 71.2 ∙ Osnova perioda: 2π. ∙ Ničle: x = π/2 + kπ; k ∈ ℤ 71.3 ∙ Maksimumi: M(2kπ, 1); k ∈ ℤ ∙ Minimumi: m(π + 2kπ, −1); k ∈ ℤ

72. FUNKCIJA TANGENS 72.1 Definirajte funkcijo tangens. 72.2 Povejte definicijsko območje funkcije tangens. 72.3 Koliko je osnovna perioda funkcije tangens? Povejte vse ničle funkcije tangens. 72.4 Narišite graf funkcije tangens.

72.1 ∙ Tangens kota je kvocient sinusa in kosinusa tega kota. 72.2 ∙ Df = ℝ - {π/2 + kπ; k ∈ ℤ} 72.3 ∙ Osnova perioda: π. ∙ Ničle: x = kπ; k ∈ ℤ

74. KOTNE FUNKCIJE V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU 74.1 Naj bo α ostri kot v danem pravokotnem trikotniku. Definirajte sinus, kosinus, tangens in kotangens kota α. 74.2 Naj bo α poljuben kot, 0 < α < π/2. Povejte osnovno zvezo med sinα in cosα ter jo dokažite. 74.3 Povejte še vsaj štiri zveze med kotnimi funkcijami v pravokotnem trikotniku.

74.1 ∙ Naj bosta a in b kateti ter c hipotenuza pravokotnega trikotnika. ∙ sin(α) = a / c ∙ cos(α) = b / c ∙ tg(α) = a / b ∙ ctg(α) = b / a 74.2 ∙ sin^2(α) + cos^2(α) = 1 ∙ a^2 / c^2 + b^2 / c^2 = 1 ∙ a^2 + b^2 = c^2 74.3 ∙ tg^2(x) = 1 / cos^2(x) ∙ ctg^2(x) = 1 / sin^2(x)

75. KOTNE FUNKCIJE * 75.1 Povejte adicijska izreka za funkciji sinus in kosinus. 75.2 Izrazite sin(2x) in cos(2x) s sinx in cosx. Eno od formul dokažite. 75.3 Povejte primer enačbe s kotnimi funkcijami, ki vsebuje sin(2x) ali cos(2x). Razložite potek reševanja.

75.1 ∙ sin(x + y) = sin(x) ∙ cos(y) + cos(x) ∙ sin(y) ∙ cos(x + y) = cos(x) ∙ cos(y) − sin(x) ∙ sin(y) 75.2 ∙ sin(2x) = sin(x + x) = sin(x) ∙ cos(x) + cos(x) ∙ sin(x) = 2 ∙ sin(x) ∙ cos(x) ∙ cos(2x) = cos(x + x) = cos(x) ∙ cos(x) − sin(x) ∙ sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x) 75.3

76. KOTNE FUNKCIJE 76.1 V isti koordinatni sistem narišite grafa funkcij sinus in kosinus. 76.2 Povejte vsaj dve lastnosti funkcij, ki sta skupni funkcijama sinus in kosinus. 76.3 Povejte vsaj dve lastnosti funkcij, v katerih se funkciji sinus in kosinus razlikujeta. 76.4 Izračunajte vsa presečišča grafov funkcij sinus in kosinus.

76.2 ∙ Omejenost: m = -1, M = 1. ∙ Osnova perioda: 2π. ∙ Definicijsko območje: ℝ. 76.3 ∙ Lihost, sodost: funkcija sinus je liha, medtem ko je funkcija kosinus soda ∙ Začetna vrednost: sin(0) = 0, cos(0) = 1 ∙ Ničle: - sinus x = kπ; k ∈ ℤ - kosinus x = π/2 + kπ; k ∈ ℤ 76.4 ∙ Deliš s cos(x), da dobiš tg(x) = 1... ∙ x = 5π/4+ kπ; k ∈ ℤ ∙ x = π/4+ kπ; k ∈ ℤ

77. KROŽNICA 77.1 Povejte geometrijsko definicijo krožnice. 77.2 Povejte in izpeljite enačbo krožnice s polmerom r in s središčem v koordinatnem izhodišču. 77.3 Povejte enačbo krožnice s polmerom r in s središčem v točki S(p,q). 77.4 Naj bodo A, D, E in F realna števila in naj bo A ≠ 0. Povejte, katere množice točk v ravnini lahko predstavlja enačba Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0.

77.1 ∙ Je množica točk, ki so za natanko r oddaljene od točke S (središča). 77.2 ∙ x^2 + y^2 = r^2 ∙ Točka A(x, y) leži na krožnici s premerom r, ki ima središče v koodinatnem izhodišču natanko takrat, ko velja za njeno oddaljenost od (0, 0) r = √(x^2 + y^2), ker sta obe strani pozitvni je to enakovredno enačbi x^2 + y^2 = r^2. 77.3 ∙ (x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2 77.4 ∙ Krožnico ali elipso.

78. ELIPSA 78.1 Povejte geometrijsko definicijo elipse. 78.2 Povejte enačbo elipse s središčem v koordinatnem izhodišču in enačbo elipse s središčem v točki S(p, q). V obeh primerih naj bosta osi elipse vzporedni koordinatnima osema. 78.3 Povejte primer enačbe elipse s središčem v koordinatnem izhodišču in jo narišite. Izračunajte tudi njeni gorišči.

78.1 ∙ Množica vseh točk, za katere je vsota razdalj od dveh fiksnih točk F1 in F2 konstantna je elipsa. 78.2 ∙ x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ∙ (x - p)^2 / a^2 + (y - q)^2 / b^2 = 1 78.3 ∙

8. DELJIVOST 8.1 Kdaj je naravno število a večkratnik naravnega števila b? 8.2 Definirajte relacijo deljivosti v množici N. 8.3 Opišite vsaj 3 lastnosti relacije deljivosti. 8.4 Vsaj dve izmed naštetih lastnosti prikažite na primerih.

8.1 ∙ Ko je ostanek pri deljenju števila a z b enak 0. 8.2 ∙ Število a deli število b natanko takrat, ko obstaja tako naravno število k, da velja b = k ∙ a 8.3 ∙ Refleksivnost: a | a, velja ker a ∙ 1 = a ∙ Tranzitivnost: (a | b) ∧ (b | c) ⇒ a | c ∙ Če a deli b in c, potem deli tudi njuno vsoto in razliko. (a | b) ∧ (a | c) ⇒ a | (b + c) ∧ a ∣ (b − c) Posledica: Če a deli vsoto b + c in enega od členov, deli tudi drugega. a ∣ (b + c) ∧ (a ∣ b) ⇒ (a ∣ b) ∙ Antisimetričnost: (a | b ) ∧ (b | a) ⇒ a = b 8.4 ∙ 2 | 6 in 6 | 12 torej 2 | 12, seveda ker 12 = 2^2 ∙ 3 ∙

81. ZAPOREDJA 81.1 Definirajte zaporedje. Kaj je graf zaporedja? 81.2 Kdaj je zaporedje naraščajoče? 81.3 Predstavite primer padajočega zaporedja. 81.4 Kdaj je zaporedje omejeno? 81.5 Predstavite primer zaporedja, ki je navzgor omejeno, navzdol pa neomejeno.

81.1 ∙ Zaporedje je funkcija, ki slika iz množice naravnih števil v množico realnih števil. ∙ Graf zaporedja je množica diskretnih točk. ∙ Graf zaporedja f s splošnim členom a_n = f(n) je množica vseh urejenih parov (n, a_n), kjer je n naravno število: G={(n, a_n); n ∈ N} 81.2 ∙ Zaporedje je strogo naraščajoče, če je vsak člen zaporedja, razen prvega, večji od svojega predhodnika: a_(n+1) > a_n ∀ n ∈ N ∙ Zaporedje je naraščajoče, če je vsak člen zaporedja, razen prvega, enak ali večji od svojega predhodnika: a_(n+1) ≥ a_n ∀ n ∈ N 81.3 ∙ a_n = -n 81.4 ∙ Zaporedje a_n je omejeno, če je omejeno navzdol in navzgor. Zaporedje an je omejeno, če obstajata realni števili m in M, da velja m≤an≤M za vsako naravno število n.Zaporedje an je omejeno, če obstajata realni števili m in M, da velja m ≤ a_n ≤ M za vsako naravno število n. 81.5 ∙ a_n = - n^-1

82. ARITMETIČNO ZAPOREDJE 82.1 Definirajte aritmetično zaporedje in povejte njegov splošni člen. 82.2 Predstavite primer padajočega aritmetičnega zaporedja. 82.3 Kako izračunamo vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja, če poznamo prvi člen in diferenco? 82.4 Pokažite, da je v aritmetičnem zaporedju aritmetična sredina členov a_n in a_(n+2) enaka a_(n+1).

82.1 ∙ Aritmetično zaporedje je zaporedje, v katerem je razlika dveh zaporednih členov konstantna. 82.2 ∙ -18, 14, 10, 6,... d = -4 82.3 ∙ s = n/2(a_1 + a_n) 82.4 ∙ Uporabiš formulo za splošni člen...

83. GEOMETRIJSKO ZAPOREDJE 83.1 Definirajte geometrijsko zaporedje in povejte njegov splošni člen. 83.2 Predstavite primer padajočega geometrijskega zaporedja. 83.3 Kako izračunamo vsoto prvih n členov geometrijskega zaporedja, če poznamo prvi člen in količnik? Kako izračunamo to vsoto, če je količnik enak 1? 83.4 Pokažite, da je v geometrijskem zaporedju s pozitivnimi členi geometrijska sredina členov a_n in a_(n+2) enaka a_(n+1).

83.1 ∙ Geometrijsko zaporedje je zaporedje, v katerem je kvocient dveh zaporednih členov konstanten. ∙ a_n = a_1 ∙ k^(n - 1) 83.2 ∙ 4 ∙ (1/2)^n 83.3 ∙ s_n = a_1 ∙ (k_n - 1) / (k - 1) ∙ s_n = a_1 ∙ n 83.4 ∙ Izračunaš produkt a_n in a_(n+2) in dobiš a_(n+1)^2

86. ODVOD 86.1 Definirajte odvod funkcije v dani točki in opišite njegov geometrijski pomen. 86.2 Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x_0. Kako izračunamo enačbo tangente na graf funkcije f v točki x_0? 86.3 Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x_0 in naj bo f'(x) ≠ 0. Kako izračunamo enačbo normale na graf funkcije f v točki x_0?

86.1 ∙ Naj bo funkcija f definirana v okolici točke x_0. Če obstaja limia ko gre h kadarkoli proti 0, pravimo, da je funkcija odvedljiva v točki x_0, njena vrednost pa je odvod funkcije v točki x_0. ∙ lim(h -> 0) ((f(x_0 + h) - f(x_0)) / h ∙ Geometrijski pomen: odvod funkcije f v točki x_0 je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije f v točki z absciso x_0 oziroma tangensu naklonskega kokta tangente v tej točki. 86.2 ∙ Izračunamo najprej odvod funkcije f, uporabimo formulo: y - y_0 = k ∙ (x - x_0), kjer je k enak odvodu funkcije f v točki x_0, y_0 pa je enak vrednosti funkcije f v točki x_0. 86.3 ∙ Izračunamo najprej odvod funkcije f, uporabimo formulo: y - y_0 = k ∙ (x - x_0), kjer je k enak - 1 / f'(x_0), y_0 pa je enak vrednosti funkcije f v točki x_0.

9. VEČKRATNIKI IN DELITELJI 9.1 Definirajte največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil. Razložite vsaj eno metodo za izračun najmanjšega skupnega večkratnika dveh naravnih števil. Kdaj sta si 2 naravni števili tuji? 9.2 Definirajte najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil. Razložite vsaj eno metodo za izračun najmanjšega skupnega večkratnika dveh naravnih števil. 9.3 Izberite različni naravni števili med 20 in 50. Določite njun največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik.

9.1 ∙ Največji skupni delitelj danih številje največje število, ki deli vsa dana števila. ∙ Izračunamo ju lahko s pomočjo razcepa na praštevila. ∙ 2 naravni števili sta si tuji, ko je njun največji skupni delitelj 1. 9.2 ∙ Najmanjši skupni večkratnik danih števil je najmanjše število, ki je deljivo z vsemi danimi števili. ∙ Praštevili razcepimo na prafaktorje, in zmnožimo vse prafaktorje z najvišjo stopnjo potence.

94. KOMBINATORIKA 94.1 Povejte osnovni izrek kombinatorike. 94.2 Uporabo osnovnega izreka kombinatorike razložite na primeru. 94.3 Povejte pravilo vsote. 94.4 Uporabo pravila vsote razložite na primeru. 94.5 Kaj je kombinatorično drevo? 94.6 Prikažite primer kombinatoričnega drevesa.

94.1 ∙ Če imamo na voljo m možnosti iz prve skupine in n možnosti iz druge skupine, izbrati pa želimo eno možnost iz prve in hkrati eno iz druge skupine, potem imamo na izbiro skupno m n možnosti. - PRAVILO PRODUKTA 94.2 ∙ Na voljo imamo 3 različne majice in 2 različne hlače, koliko različnih kombinacij oblačil imamo na voljo? ∙ O: 3 ∙ 2 = 6, torej imamo na voljo 6 različnih kombinacij. 94.3 ∙ Če imamo na voljo m možnosti iz prve skupine in n možnosti iz druge skupine, izbrati pa želimo točno eno možnost iz prve ali iz druge skupine, potem imamo na izbiro skupno m + n možnosti. 94.4 ∙ Za kosilo imamo na voljo 3 juhe in 6 glavnih jedi, koliko različnih kombinacij imamo na voljo za kosilo, če pojemo le en hod? ∙ O: 3 + 6 = 9, torej imamo 9 načinov, da pojemo en hod. 94.5 ∙ Kombinatorično drevo je slikovni prikaz vseh možnosti v dani situaciji.

95. PERMUTACIJE 95.1 Kaj so permutacije brez ponavljanja in koliko jih je? 95.2 Povejte primer permutacije brez ponavljanja. 95.3 Kaj so permutacije s ponavljanjem in koliko jih je? 95.4 Povejte primer permutacije s ponavljanjem.

95.1 ∙ Permutacije brez ponavljanja so razvrstitve n različnih elementov na n mest. ∙ n!. 95.2 ∙ Koliko različnih 3-mestnih števil lahko sestavimo iz števk 1, 2 in 3? ∙ Na prvo mesto lahko postavimo 3 števke, na 2. 2 in na zadnje 1, torej lahko sestavimo 6 (3!) različnih števil. 95.3 ∙ Permutacije s ponavljanjem so razvrstitve elementov, pri čemer za vsak element vemo, kolikokrat se ponovi. ∙ n! / (k_1! ∙∙∙ k_n!) 95.4 ∙ Koliko različnih permutacij lahko tvorimo iz besede matematika? ∙ 10! / (2! ∙ 2! ∙ 3!) = 151 200

96. VARIACIJE * 96.1 Kaj so variacije brez ponavljanja in koliko jih je? 96.2 Povejte primer variacije brez ponavljanja. 96.3 Kaj so variacije s ponavljanjem in koliko jih je? 96.4 Povejte primer variacije s ponavljanjem.

96.1 ∙ Variacije brez ponavljanja so razporeditve n različnih elementov na r mest. ∙ n! / (n - r)! 96.2 ∙ Iz števk {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sestavimo vsa možna štirimestna števila brez ponavljanja števk. Koliko jih je? ∙ 7! / 3! = 840 96.3 ∙ Variacije s ponavljanjem so razporeditve, pri katerih poskušamo na r mest razporediti elemente n različnih vrst. Pri tem se lahko element določene vrste v razporeditvi pojavi poljubno mnogokrat. ∙ n^r 96.4 ∙

97. KOMBINACIJE 97.1 Kaj je binomski simbol in kako izračunamo njegovo vrednost? 97.2 Opišite vsaj tri lastnosti računanja z binomskimi simboli. 97.3 Kaj so kombinacije brez ponavljanja in koliko jih je? 97.4 Povejte primer kombinacije brez ponavljanja.

97.1 ∙ Binomski simbol (n r) nam označuje število izborov r elementov izmed n elementov, različnih med seboj. ∙ (n r) = n! / ((n - r)! ∙ r!) 97.2 ∙ (n 0) = 1 ∙ (n 1) = n ∙ (n n) = 1 ∙ (n n-r) = (n r) 97.3 ∙ Kombinacije brez ponavljanja so izbire r (različnih) elementov izmed n različnih elementov, ki so na voljo. ∙ rCn = (n r) = n! / ((n - r)! ∙ r!) 97.4 ∙ Trener izbira peterko izmed 7 igralcev, koliko je vseh možnih ekip? ∙ 7! / (2! ∙ 5!) = 21

99. VERJETNOSTNI RAČUN 99.1 Pojasnite osnovne pojme verjetnostnega računa: - poskus, - dogodek (slučajni dogodki, nemogoči in gotovi dogodki, elementarni dogodki, sestavljeni dogodki), - vzorčni prostor. 99.2 Povejte primer poskusa in navedite nekaj dogodkov v tem poskusu. Kateri med njimi so nemogoči, gotovi, elementarni in kateri sestavljeni dogodki?

99.1 ∙ Poskus je aktivnost, ki jo izvedemo vedno na enak način in pri enakih pogojih. V večini primerov je izid poskusa naključen. ∙ Dogodek je pojav, ki se pri danem poskusu zgodi ali pa ne. - Gotov dogodek je dogodek, ki se v vsaki ponovitvi poskusa gotovo zgodi. - Nemogoč dogodek je dogodek, ki se v nobeni ponovitvi poskusa ne more zgoditi. - Slučajni dogodek je dogodek, ki se v nekaterih ponovitvah poskusa zgodi, v nekaterih pa ne. - Elementarni dogodek je dogodek, ki ni sestavljen. - Sestavljeni dogodek, je dogodek, ki ga lahko izrazimo kot vsoto vsaj dveh med seboj nezdružljivih dogodkov od katerih noben ni nemogoč dogodek. ∙ Vzorčni prostor je množica vseh elementarnih dogodkov poskusa. 99.2 ∙ Mečemo pošteno igralno kocko. ∙ Elementarni dogodki: pade 1 ali 2 ali 3 ali ... pik ∙ Nemogoči dogodek: pade več kot 6 pik ∙ Gotovi dogodek: pade manj kot 7 pik ∙ Sestavljeni dogodek: pade liho število pik