ODJ usmeni

dovoljni uvjeti uz koje postoji laplaceova pretvorba

ako je f: :[0,∞) -R fja eksponencijalnog rasta i po dijelovima neprekidna na ograničenim segmentima tada postoji laplacova pretvorba

lipschitz neprekidna po 2 varijabli

ako postoji M > 0 t.d. za svaki (x,y1), (x,y2) iz S⊆Ω vrijedi |f(x,y1)-f(x,y2)| < M|y1-y2|

Lipshitz neprekidna fja

fja f lipshitzova ako vrijedi da postoji L >0 t.d. za svaki x,y |f(x)-f(y)| < L|x-y|

kada kažemo da je funkcija homogena reda k kada je obična dif. jednadžba reda 0

fja f: R^2 -> R je homogena reda k ako za svaki (x,y) iz R^2 i svaki l iz R da je f(tx,ty)= t^k f(x,y) - odj y' = f(x,y) je homogena ako je f homogena fja reda 0

fja ima slabiji rast od eksponencijalnog

kažemo da fja ima eksponencijalni rast ako postoje M, a, R > 0 tako da je |f(t)| < M* e^(at) za sve t >R

picardove iteracije

neka je dana zadaća {y' = f(x,y) , y(x0) = y0 , Definiramo niz picardovih iteracija yo(x) = y(x0), ...., yk = yo + intg(x0-x)f(t,yk-1(t)) dt. Uz pretpostavke picardovog tm, niz fja (yk)k uniformno konvergira prema y na Itilda poskup od I, koji zadovoljav zadaći i ima slj oblik y(x) = yo + intg(x0-x)f(t,yk-1(t)) dt

lisps po drugoj avrijabli i omeđenost derivacije po y

neka je Ω ⊆ R^2 otvoren i neka je f derivabilna po drugoj varijabli na P. Tada: f je lipshitzova po 2 varijabli <=> je |∂f/∂y| omeđena na P i vrojedi je sup|∂f/∂y|

tm o separabilnim jednadžbama

neka su g i h neprekidne funkcije na okolini oko zadane točke tj. g ∊C((x0-a1, x0+b1), R) i h∊C((y0-a2, y0+b2), R) , i h je strogo pozitivna/ negativna na tom području. Tada postoji okolina t.d. separabilna jednadžba { y' = g(x)h(x), y(x0) =yo ima rješenja na intervalu od g

što je separabilna jednadžba

odj oblika u' = g(x)h(x), gi h realne funkcije

peanov tm

- daje dovoljne uvjete uz koje postoje rjesenja cauchy/poćetne zadaće (rjesenje ne mora biti jedinstveno) neka je Ω ⊆ R^2 otvoren skup, (x0,y0) elem iz Ω i f neprekidna na Ω, Tada y' = f(x,y) y(x0) = y0 ima rješenja na otvorenom intervalu koji sadrži x0

picardov tm.

- daje lokalno rješenje Neka je Ω ⊆ R^2 , f neprekidna funkcija i neka su δ,η > 0 takvi da za pravokutnik (x0-δ, x0+δ)x(y0-η, yo+η) vrijedi da je zatvarač P- ⊂Ω i neka je f lispschitz neprekidna po 2 varijabli na P-. Onda postoji Δ ∊(0,δ] tako da Cuchyjev problem ima jedinstveno rješenje na intervalu I = (x0-Δ, x0+Δ)

def. laplaceova transformacija fje f

to je preslikavanje def. F(s) = 0∫∞ e^(-st)*f(s)ds , gdje f:[0,∞) -R i da nepravi integral konvergira

kako možemo zapisati jednadžbu n-tog reda u^(n)= f(t,u,u'......,u^(n-1)) možemo zapisati kao sustav prvog reda

u1 = u, u2= u' ,.... u(n) = u^(n-1) = > u1' = u' = u2 u2' = u'' = u3 ... un' = f ==> dU/dt = f(t,U)

što je egzaktna odj

za jednadžbu F(x,y) + G(x,y)*y' = 0 kažemo da je egzaktna ako postoji funkcija f tako da je F = ∂f1/∂x i G = ∂f2/∂y. Ako je jednadžba egzaktna i y(t) njeno rješenje onda je ∇f= (∂f1/∂x,∂f2/∂y) = F(x,y) + G(x,y)*y' = 0