Mathematik Didaktik 2

(6) Sie können kombinatorische Aufgabenstellungen mit Methoden, die in der Primarschule verwendet werden, korrekt bearbeiten.

1. Begründungen einfordern: In der Aufforderung zur Begründung steckt die Chance, dass man zur Begründung und zur Übersicht die Tiere ordnen kann. Das sollte mit den SuS reflektiert werden und verschiedene Möglichkeiten der Ordnung angeschaut werden. Durch die Ordnung wird so wieder ein systematisches Vorgehen angebahnt, das die SuS bei weiteren Aufgaben nutzen können. 2. Ordnen lassen: Darin steckt die Chance, dass die Kinder selbst eine Systematik finden und diese erklären können. Verschiedene Systematiken und Ordnungsmöglichkeiten lernen die Kinder so kennen, diese sollten verglichen und reflektiert werden. Es kann z.B. auch versucht werden, dass alle eine Anordnung für ihre Strummitiere finden, anschliessend die Plätze wechseln und die vorgefundene Anordnung erklären. 3. Fortsetzen lassen: Es ist eine Ordnung oder Systematik vorgegeben zu Beginn. Die Kinder müssen versuchen, diese Ordnung zu verstehen und weiter fortzusetzen 4. Vertiefen lassen (MS): Bei der Bearbeitung und der freien Möglichkeit, ihre Überlegungen zu notieren, entstehen erste Ansätze von Baumdiagrammen. Diese sollten gemeinsam angeschaut und diskutiert und optimiert werden. 5. Reflexionen über das Vorgehen (MS) 6. Systematisches Vorgehen vertiefen (MS)

(1) Sie können die drei Arten statistischer Untersuchungen erläutern.

1. Durchführen von Befragungen 2. Beobachten von Vorgängen 3. Durchführen von Experimenten

(3) Definition dieser Begriffe erläutern: 1. Kleinster Wert 2. Grösster Wert 3. Mittelwert

1. Minimalwert: Der tiefste Wert, der erfasst wurde, ist der Minimalwert (1,2,3,4,6,9,9 à 1 ist der Minimalwert). 2. Maximalwert: Der grösste Wert, der erfasst wurde, ist der Maximalwert ((1,2,3,4,6,9,9 à 9 ist der Maximalwert). 3. arithmetisches Mittel: Der Mittelwert wird so bestimmt, dass alle Resultate addiert werden und dann durch die Anzahl Ereignisse geteilt werden. (1+2+3+4+6+9+9=34, 34/7 =4.86)

(3) Definition dieser Begriffe erläutern: 1. Häufigster Wert 2. Mitte 3. Spannweite

1. Modalwert: Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt in der Aufgabe (2+6+3+9+9+1) à Modalwert =9). 2. Median: Der Median einer Datenmenge gibt an, wo die Mitte einer der Grösse nach geordneten Datenmenge liegt. Das bedeutet, dass die Hälfte der Daten kleiner oder gleich und die Hälfte der Daten grösser oder gleich dem mittleren Wert sind. Ist die Datenmenge ungerade, kann die Mitte direkt abgelesen werden. Ist die Datenmenge ungerade, ist der Median dann das arithmetische Mittel aus den beiden in der Mitte liegenden Werten der geordneten Daten. (1,2,3,4,6,9,9 à 4) 3. Spannweite: Maximalwert - Minimalwert (9-1 =8)

(2) Sie können die Phasen einer statistischen Untersuchung erklären und mit Beispielen illustrieren, wie Schülerinnen und Schüler an statistisches Denken herangeführt werden können.

1. Problem bestimmen & Plan entwickeln 2. Daten sammeln (Objekte stellvertretend für andere Dinge) 3. Daten verarbeiten & abbilden 4. Daten interpretieren & diskutieren

(3) Definition dieser Begriffe erläutern: 1. Urliste 2. Strichliste 3. Tabelle

1. Urliste: In der Urliste ist genau für ein Merkmal (z.B. Körpergewicht) für jede Person (z.B. Bojan) einer Erhebung (Stichprobe=Klasse) der Zahlenwert der Ausprägung des Merkmals bekannt (z.B. 35kg). Die Liste dieser Werte nennt man Urliste. 2. Strichliste: Es wird eine Liste geführt mit den Personen zum Beispiel. Trifft das vorher besprochene Ereignis ein, so wird ein Strich gemacht. 3. Tabelle: Eine Tabelle ist eine listenförmige Zusammenstellung, Übersicht, Zahlentafel, aus der man Daten ablesen kann.

(13) Sie können die Aspekte zum Aufbau tragfähiger Grössenvorstellungen erläutern und können dazu unterrichtliche Aktivitäten beschreiben und analysieren. (Beispiel Länge)

1. direkte & indirekte Vergleiche von Köperlangen: ist der grösste Schüler auch der älteste 2. Körperlänge schätzen, Faden abschneiden und daneben legen 3. Zentimeter-Ausstellung: Dinge sammeln die 1cm oder 10cm lang sind und aufkleben / ausstellen 4. Einführung Messinstrumente: was misst man mit was? 5. Umgang mit Messinstrumenten

(3) Definition dieser Begriffe erläutern: Umstapeln und Ausgleichen zur Ermittlung des Mittelwertes

Die SuS merken nach dem Ausgleichen und Umstapeln meistens selbst, dass man auch alles zusammenlegen kann (z.B. die Haselnüsse) und anschliessend wieder gleichmässig auf die Personen zu verteilen.

Variation mit Wiederholung

Du hast Bauklötze in den Farben blau, rot und grün. Baue Türme aus jeweils drei Bauklötzen. Wie viele verschiedene Türme kannst du bauen, wenn du jede Farbe mehrfach benutzen darfst?

Permutation ohne Wiederholung

Du hast Bauklötze in den Farben blau, rot und grün. Baue Türme aus jeweils drei Bauklötzen. Wie viele verschiedene Türme kannst du bauen, wenn du jede Farbe nur einmal pro Turm verwenden darfst?

Variation ohne Wiederholung

Du hast Bauklötze in den Farben blau, rot und grün. Baue Türme aus jeweils zwei Bauklötzen. Wie viele verschiedene Türme kannst du bauen, wenn du jede Farbe nur einmal pro Turm verwenden darfst?

Kombination ohne Wiederholung

Du hast Bauklötze in den Farben blau, rot und grün. Zwei davon werden gleichzeitig in eine Schachtel geworfen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten, zwei Bauklötze zum Werfen auszuwählen hast du, wenn du jede Farbe nur genau einmal pro Wurf benutzen darfst?

Kombination mit Wiederholung

Du hast Bauklötze in den Farben blau, rot und grün. Zwei davon werden gleichzeitig in eine Schachtel geworfen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten, zwei Bauklötze zum Werfen auszuwählen hast du, wenn du jede Farbe pro Wurf mehrfach benutzen darfst?

Permutation mit Wiederholung

Du hast einen roten und zwei grüne Bauklötze. Baue Türme aus diesen drei Bauklötzen. Wie viele verschiedene Türme kannst du bauen?

(11) Grundstruktur eines jeden Mess-Systems

Grundstruktur eines Mess-Systems: 1. Auswahl einer geeigneten und passenden Einheit (normiert /nicht-normiert) 2. Vervielfachen von Einheiten bzw. Zerlegen in Einheiten (hintereinander Abtragen ohne Zwischenräume und Überlappungen; feinere Einheiten für präzise Messung nötig; Verständnis für Grenzen der Präzision): Wie messe ich, wenn ich die zu messende Distanz auf 2m-3m schätze und nur einen Meter(stab) zur Verfügung habe? 3. Zählen der Anzahl an Einheiten und Untereinheiten: Null als Startpunkt (nicht wie meistens beim Zählen die 1), ggf. Untergliederung der Einheit (Arbeiten mit Dezimalzahlen à Brüche), das Messergebnis ist unabhängig von der Person durch standardisierte Einheiten, systematische Beziehungen zur Basiseinheit

(16) Sie können erläutern, was Kinder beim Sachrechnen leisten müssen und selbst entsprechende Aufgaben bearbeiten und einordnen.

Kreislauf: 1. verstehen 2. mathematisieren 3. verarbeiten 4. interpretieren 5. validieren - Im Allgemeinen wird unter diesen Rechnungen das Verarbeiten von Aufgaben verstanden, die eine Situation des realen Lebens aus dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler beschreiben. Sie sollen sich beziehen auf den Lebensbereich der SuS. Es kann sein, dass nicht alle SuS genau diese Situationen bereits einmal erlebt haben, durch die Aufgaben kann sich dadurch aber auch der Horizont erweitern.

(5) Sie können erläutern, welche Veranschaulichungen für die Bearbeitung kombinatorischer Aufgabenstellungen geeignet sind.

Veranschaulichungsmöglichkeiten: - Verschiedenfarbige Legobausteine - Verschiedenfarbige Gummibärchen - Verschiedenfarbige Knöpfe - Anziehen von Puppen (Kombinationen von verschiedenen Kleidungsstücken) - Würfel

(5) Sie können die Bedeutung des Anbahnens eines systematischen Vorgehens erklären.

Vorgehen in Spiel einbauen (z.B Strummitiere)

(4) Variation ohne Wiederholung

· Reihenfolge der Elemente spielt eine Rolle · Die Elemente werden nicht angeordnet · Elemente dürfen sich nicht wiederholen

(4) Variation mit Wiederholung

· Reihenfolge der Elemente spielt eine Rolle · Die Elemente werden nicht angeordnet · Elemente dürfen sich wiederholen

(4) Permutation ohne Wiederholung

· Reihenfolge der Elemente spielt eine Rolle · Es werden alle Elemente angeordnet · Die Elemente dürfen sich nicht wiederholen

(4) Permutation mit Wiederholung

· Reihenfolge der Elemente spielt eine Rolle · Es werden alle Elemente angeordnet · Die Elemente dürfen sich wiederholen

(4) Kombination ohne Wiederholung

· Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle · Elemente können angeordnet oder nicht angeordnet werden · Elemente dürfen sich nicht wiederholen

(4) Kombination mit Wiederholung

· Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle · Elemente können angeordnet oder nicht angeordnet werden · Elemente dürfen sich wiederholen

(11) Repräsentant, Masszahl, Masseinheit

- Beispiele für Repräsentanten des Grössenbereichs Länge: Bleistift, Nudel, Büroklammer, Radiergummi, Blatt - Repräsentation nicht-normierter Einheiten: z.B. Elle, Handspanne, Stift, Heft - Repräsentation normierter Einheiten: z.B. Messrad, Geodreieck, Lineal, Doppelmeter Benennung einer Grösse, z.B. 6 cm: · Gibt das Ergebnis eines Messprozesses wieder · Setzt sich aus einer Masszahl (6) und einer Masseinheit (cm) zusammen · Die Masszahl einer Grösse ist nicht eindeutig: 6cm= 0.6 dm= 60 mm (entsprechend verändert sich die Masseinheit)

(8) Sie können die Begriffe Ereignis, Wahrscheinlichkeit (statistisch und klassisch) erläutern, gegeneinander abgrenzen und miteinander in Beziehung setzen.

- Ergebnisraum: Die Menge aller bei einem Zufallsexperiment möglichen (zufälligen) Ergebnisse (z.B. beim Würfeln mit einem Würfel ist der Ergebnisraum: 1,2,3,4,5,6) - Ereignis: Jede Teilmenge des Ergebnisraums (unmögliches, mögliches, sicheres Ergebnis). (z.B. beim Glücksrad: das Drehen von Rot) - Statistische Wahrscheinlichkeit: 1. auch bei nicht gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen 2. Absolute Häufigkeit: wie oft ein Ereignis in einer Serie von Zufallsexperimenten vorkommt (wird 100x gewürfelt und dabei wird 23x mal die 6 gewürfelt, ist 23 die absolute Häufigkeit für die 6). 3. Relative Häufigkeit: Absolute Häufigkeit im Verhältnis zur Anzahl der insgesamt durchgeführten Versuche (wurde 100x gewürfelt und dabei 23x mal eine 6 gewürfelt, lautet die Rechnung: 23/100 =0.23) - Klassische Wahrscheinlichkeit: 1. Nach Laplace 2. Nur bei gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen (rechts im Glücksrad sind die Felder gleich gross) 3. Berechnung mit dem Beispiel Glücksrad: Anzahl mögliche Ergebnisse = 6, Anzahl der günstigen Ergebnisse für die Farbe Rot=2 à 2/6= 0.33

(18) Sie können erklären, was Fermi-Aufgaben und „Kann das stimmen"-Aufgaben sind und worauf bei deren Bearbeitungen didaktische Schwerpunkte gelegt werden können.

- Fermi-Aufgaben sind in gewisser Weise auf die Realität bezogen und sie sind offen. - Fermi-Aufgaben fördern durch diese Offenheit Kompetenzen wie das Erforschen, das Überschlagen, das Arbeiten mit grossen Zahlen, das Umrechnen von Grössen, das Nutzen von Alltagswissen, Argumentieren, Kommunizieren, Selbständigkeit, das Anwenden heuristischer Strategien. - Fermi-Aufgaben stellen zu Beginn ein unlösbares Problem dar. Fehlende Informationen werden subjektiv aus eigenen Erfahrungen, Schätzungen, Vermutungen, Alltagswissen, Überschlägen, Nachschlägen hinzugefügt. - Bei Fermi-Aufgaben gibt es nicht einen korrekten Lösungsweg und auch keine richtige oder falsche Lösung. Deshalb muss der Rechnungsweg aufgezeigt werden und die Lösung plausibel begründet sein. - Als LP muss man sich vorher überlegen, welche Informationen die SuS benötigen könnten und wie man diese ihnen zur Verfügung stellt. - Das Rechnen steht bei dieser Aufgabenart nicht im Vordergrund. Es muss zwar auch geleistet werden und kann im Ausnahmefall im Vordergrund stehen, jedoch geht es vorwiegend um die Schritte vor und nach dem Rechnen: das Übersetzen in die Sprache der Mathematik, das Finden verschiedener Wege und das Interpretieren und Bewerten der Lösungen. Bei diesen Aufgaben müssen die SuS Problemlösen und Modellieren.

(11) Sie können erklären, was eine Grösse ist, was man unter Messen versteht.

- Grössen sind objektiv messbare Eigenschaften von Dingen (z.B. Länge eines Stiftes, Gewicht eines Radiergummis, ...) - Man unterscheidet zwischen den Objekten, den Repräsentanten, und ihren messbaren Eigenschaften, den Grössen. - Alle Grössen einer Art bilden jeweils einen Grössenbereich. - Entsprechend bezeichnet man die Menge der konkreten Objekte, die die Grundlage für die Konstruktion einer Grösse bilden, als Repräsentantenbereich.

(8) Sie können die Begriffe sicher, möglich, unmöglich, wahrscheinlicher, unwahrscheinlicher erläutern, gegeneinander abgrenzen und miteinander in Beziehung setzen.

- Sicher: Ein sicheres Ereignis enthält alle möglichen Ergebnisse des Ergebnisraums. (z.B. das Drehen der Farben gelb oder rot in einem Glücksrad mit gelben und roten Feldern). - Möglich: Ein mögliches Ereignis ist ein Teil, der aus dem Ergebnisraum stammt (z.B. das Drehen von rot in einem Glücksrad mit gelben und roten Feldern). - Unmöglich: Ein unmögliches Ereignis tritt ein, wenn das Ergebnis nicht Teil des Ergebnisraums ist. (z.B. Drehen der Farbe Grün in einem Glücksrad das nur gelbe und rote Felder hat). - Wahrscheinlicher: Die Felder sind zwar gleich gross, jedoch ist es wahrscheinlicher, dass ein gelbes Feld getroffen wird, weil es mehr gelbe als rote Felder hat. - Unwahrscheinlicher: Die Felder sind zwar gleich gross, jedoch ist es unwahrscheinlicher, dass ein rotes Feld getroffen wird, weil es weniger rote als gelbe Felder hat.

(16) Sie können erläutern, was unter Modellieren und Problemlösen im Sachrechnen zu verstehen ist.

- Spannungsfeld des Sachrechnens: Besteht aus drei Teilkomponenten. 1. Mathematik: Es soll eine Sache berechnet werden. 2. Individuum: Soll/Möchte etwas berechnen. 3. Sache/Welt: den Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler Modellierungsprozess: 1. reales Modell bilden 2. mathematisches Modell bilden 3. mathematisches Resultat bestimmen 4. mathematisches Resultat überprüfen

(8) Sie können die Begriffe Zufall, Zufallsexperiment, Zufallsgenerator erläutern, gegeneinander abgrenzen und miteinander in Beziehung setzen.

- Zufall: Von Zufall spricht man, wenn für ein einzelnes Ereignis oder das Zusammentreffen mehrerer Ereignisse keine kausale Erklärung gefunden werden kann. - Zufallsexperiment: 1. Das Experiment ist (zumindest theoretisch) beliebig oft unter den gleichen Bedingungen durchführbar. 2. Die möglichen Ausgänge (Ergebnisse) stehen eindeutig fest. 3. Es ist nicht vorhersagbar, welcher Ausgang des Experiments eintritt. 4. z.B.: Murmeln aus Urne ziehen, Münzen werfen, Würfeln, Glücksrad - Zufallsgenerator: Geräte für das Zufallsexperiment 1. symmetrisch: mögliche Versuchsausgänge sind gleichwahrscheinlich 2. asymmetrisch: mögliche Versuchsausgänge sind nicht gleichwahrscheinlich 3. z.B. für symmetrisch: ideale Münze, idealer Würfel, Glücksrad mit gleich grossen Feldern, Urne mit gleich grossen Kugeln 4. z.B. für asymmetrisch: Quader als Würfel, Reisnagel als Würfel, gezinkter Würfel, Glücksräder mit ungleich grossen Feldern, Urne mit unterschiedlich grossen Murmeln

(12) Sie können die wesentlichen Elemente der verschiedenen für die Primarschule relevanten Grössenbereiche mit ihren jeweiligen Besonderheiten erklären und selbst Aktivitäten dazu bearbeiten.

Längen: · Sind Kindern vertrauter als andere Grössen · Bilden wesentliche Grundlage für das Zahlverständnis; auch Zeitspannen werden in Längen gedacht. · Grundlage für Skalierungen aller Messgeräte · Vielfalt von Bezeichnungen für die Äquivalenz und Ordnung im Alltag Gewichte: · Gewicht kann nicht visuell wahrgenommen werden; Problematik entsteht, wenn Volumen und Gewicht gleichgesetzt werden · Nur in einem kleinen Spektrum durch Anheben oder Tragen wahrnehmbar · Grosse Umwandlungszahl (1000): Sichere Umwandlungen erst im 4. Schuljahr möglich Zeit(spannen) · Unterscheidung zwischen Zeitspannen und Zeitpunkten: Zeitspannen sind Grössen, Zeitpunkte sind Skalenwerte auf einem Messgerät · Einheiten sind nicht dekadisch aufgebaut: Umwandlungszahl 60 zwischen s, min und h ist regelmässig; Umwandlungen von Tag zu Stunde (24) zu Woche (7) unterschiedlich, aber regelmässig; Umwandlungen von Monat zu Woche, Monat zu Tag oder Jahr zu Tag nicht regelmässig Geldwerte · Geldeinheiten können nicht beliebig klein gewählt werden. Keine standardisierten Masseinheiten, sondern verschiedene Währungen • Preis eine Ware ist von vielen Faktoren abhängig, kann sich verändern und wird subjektiv unterschiedlich erlebt

(5) Sie können Möglichkeiten und Grenzen des Baumdiagramms erklären.

Möglichkeiten - mit farbigen Punkten dargestellt werden - Elemente in jedem Ast können wiederholt werden, sie können aber auch nur in einem Ast vorkommen und anschliessend werden die weiteren Möglichkeiten aufgelistet - Benennung der Entscheidungsstufen Grenzen - Bei wenigen Kombinationen und einzelnen Elementen ist das Baumdiagramm noch übersichtlich, es kann jedoch sehr schnell chaotisch wirken. - Baumdiagramme haben eine Reihenfolge

(19) Sie können typische Schwierigkeiten, die beim Modellieren und Problemlösen auftreten können, erläutern und Kinderbearbeitungen dahingehend analysieren.

Orientierung an Oberflächenmerkmalen - Orientierung an den Zahlen und dem vermuteten Rechenaufwand - Orientierung an Signalwörtern - Orientierung am unterrichtlichen Kontext Probleme beim Modellieren (Mathematisieren der Situation) - Fehler beim Bilden des realen Modells - Fehler beim Bilden des mathematischen Modells - Fehler beim Bestimmen des mathematischen Resultats - Fehler bei der Überprüfung des mathematischen Resultats und der Validierung der mathematischen Ergebnisse Probleme in Abhängigkeit vom unterrichtlichen Kontext - Unterrichtskultur - Umgang mit Irritierendem - Unterrichtskultur - Lösungsstrategien

(9) Sie können erklären, mit welchen Schwierigkeiten Sie im Bereich Zufall & Wahrscheinlichkeit im Unterricht konfrontiert sind und wie Sie damit umgehen können.

Schwierigkeiten: 1. Diskrepanz zwischen Fachsprache und Alltagssprache z.B. „Dein Tattoo sieht unmöglich aus!", „Er wird das sicher(lich) machen!", "Es ist unwahrscheinlich, dass ich heute noch ins Kino gehe." 2. Subjektive Einschätzungen von Wahrscheinlichkeiten (siehe SOL Kompetenz 5) Umgang mit Schwierigkeiten: 1. Lernumgebungen mit Zufallsexperimenten für SuS erfahrbar machen (Einschätzung vorher und hinterher mit Reflexion) 2. Bewusstes thematisieren der subjektiven und mathematischen Sicht 3. Begriffsklärung sicher, wahrscheinlich, unmöglich

(2) Sie können die zwei Diagrammformen (Streifen- & Kreisdiagramm) erläutern.

Streifendiagramm: je höher der Streifen desto stärker gewichtet, Überschrift, Achsen sinnvoll skaliert, Beschriftung Kreisdiagramm: je grösser Kreisstück desto stärker gewichtet, alle Stücke zusammen ergeben 100%

(20) Sie können Bearbeitungshilfen zum Lösen von Sachaufgaben erklären, können diese anwenden und kritisch hinterfragen.

Tabellen sind geeignet für... - Strukturierung des systematischen Probierens - Sammlung und übersichtliche Darstellung von Daten - Erstellung von Rechnungen - Darstellung funktionaler Beziehungen Skizzen