Maths PCSI

Définition de suites adjacentes

(u_n) et (v_n) sont adjacentes lorsqu'elles sont monotones de sens contraire Et que lim en +∞ de u_n-v_n=0 Alors (u_n) et (v_n) convergent vers la même limite et ∀n∈N, u_n≤l≤v_n

Définition d'une suite (v_n)n extraite de (u_n)n

(v_n) est une suite extraite de (u_n) lorsqu'il existe une fonction δ: N --> N strictement croissante tel que ∀n∈N, v_n = u_(δ(n)) Si (u_n) converge vers l alors (v_n) converge aussi vers l

Technique pour calculer une primitive de exp(ax).cos(bx) ou exp(ax).sin(bx)

- On introduit g(x)=exp(ax)exp(ibx)=exp((a+ib)x) - On primitive - On identifie parties réelles et imaginaires

Méthode pour montrer que f est bijective

- On montre que f est injective et surjective - On fixe y∈F quelconque et on résout pour x, f(x)=y et on trouve une unique solution x∈E

Techniques pour primitiver les fonctions du type 1/(ax^2+bx+c)

- Si discriminant positif ou nul, factoriser en bas et faire une décomposition en éléments simples pour obtenir α/(x-a) + β/(x-b) et primitiver avec du ln - Si discriminant négatif on peut forcer l'apparition du carré et du arctan

Technique pour calculer une primitive de sin^p . cos^q

- Si p ou q est impair on transforme tout en sin ou cos en gardant un cos ou sin devant pour avoir une puissance de sin ou cos - Si les deux sont pairs on linéarise avec les formules d'Euler

Opérations sur les DL

- combinaisons linéaires pas de soucis - Produit de DL en tronquant au bon degré - g₀f en partant de l'intérieur - Quotient en se ramenant à la forme 1/(1-u(x)) où u->0

Méthode pour calculer le déterminant

- Éventuellement nettoyer un peu - Choisir une colonne ou une ligne comportant beaucoup de 0, l'encadrer - Trouver le signe en alternant - Multiplier par m_(i,j) - Rayer mentalement la colonne ou la ligne et trouver le mineur ∆i,j Sommer tous les résultats

Primitive de tan(x)

-ln(|cos(x)|)

Technique de linéarisation de cos^5(x) par exemple

Formule Euler puis binôme de Newton

Division euclidienne

Il existe un unique couple d'entiers tel que

Définition de la dimension Dimension des ev de référence

La dimension de E est le nombre commun d'éléments des bases de E

Déterminant d'une matrice triangulaire

Le déterminant est le produit des coefficients diagonaux

Définition de matrices semblables

M et N sont dites semblables lorsqu'il existe P matrice inversible, telle que M=P.N.P^_1

Matrice de g₀f de B dans B''

Mat(B,B")(g₀f)=Mat(B',B")(g) . Mat(B,B')(f)

Méthode pour trouver f^-1

On fixe y∈F. On résout pour x∈E, f(x)=y On exprime x en fonction de y Et de là on trouve l'application réciproque

Suite à récurrence linéaire homogène d'ordre 2 u_n+2=a u_n+1 + b u_n

On pose P=X^2-aX-b

Formule du binôme et de factorisation avec des matrices

On suppose que A et B commutent

Pivot d'une matrice, définition

Pivot = premier coefficient non nul de chaque ligne non nulle d'un système échelonné. Une inconnue est dite principale si un de ses coefficients est un pivot. Secondaire sinon.

Matrices symétriques / antisymétriques

Pour toute matrice carrée, il existe un unique couple (A,B)∈SxA, tel que C = A+B

DL de exp(x) en 0

Prendre la partie paire pour ch et l'impaire pour sh

Que vérifier pour montrer qu'une application est linéaire

Qu'on a bien f(0_E)=0_F

Qu'est ce que le rang d'une matrice ?

Rang d'une matrice = nombre de pivots de son unique matrice échelonnée réduite par lignes. Dans le cas où le système est compatible, le rang est le nombre de variables principales.

Définition problème de Cauchy d'ordre 2

Si (a,b)∈K^2 et f continue sur I, alors pour tout (t0,y0, y'0), il existe une unique solution au problème de Cauchy ci-dessus.

Définition problème de Cauchy d'ordre 1

Si a et b sont deux fonctions continues sur un intervalle I alors pour tout (t0,y0), il existe une unique solution au problème de Cauchy ci-dessus.

Définition de fonction k-lipchitzienne Condition suffisante pour être k-lipschitzienne

Si f est de classe C^1 alors f est k-lipchiptzienne (continue sur un segment, donc bornée puis appliquer le TAF)

Formule de Taylor Young

Si f est de classe C^n au voisinage d x_0, alors f admet un DL_n(x_0)

Condition nécessaire de convergence

Si la série converge, alors u_n tend vers 0

Lemme d'Euclide

Si p est premier et p divise ab, alors p divise a ou p divise b

Changement de base pour une application linéaire

Soit E et F deux ev ayant chacun deux bases (B,B') et (C,C') Matrice(B',C')(f)=P(C',C) . Mat(B,C)(f) . P(B,B') Pour un endormorphisme: Mat(B')(f)=P(B',B) . Mat(B)(f) . P(B,B')

Théorème clé qui permet de définir le déterminant (seulement pour matrice carrée)

Soit E un K-ev de dimension finie n≥2, et B=(e_1,..., e_n) une base de E. Alors il existe une unique forme n-linéaire antisymétrique f de E^n → K telle que f(e_1,..., e_n )=1

Théorème fondamental du calcul intégral

Soit I un intervalle de R, f continue de I dans K et x0∈I

Théorème de la bijection monotone

Soit I un intervalle et f continue sur I. Si f est strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur f(I)

Théorème du rang pour les matrices :

Soit M de dimension nxp p=rang(M)+dim(Ker(M))

Intégration par parties

Soit [a,b] un segment de R, u et v deux fonctions C1([a,b],K)

Polynôme scindé

Soit constant ou bien :

Calcul de l'inverse d'une matrice quelconque

Soit utiliser un système Ou pivot de Gauss: écrire A et I_n dans deux colonnes. Faire des opérations élémentaires Si on trouve un coefficient diagonal nul c'est que A n'est pas inversible.

Théorème d'Alembert-Gauss

Tout polynôme de C[X] est scindé

Fonction continue sur un segment

Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes

Théorème de la dimension

Toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension finie sont finies et ont même cardinal.

Définition de polynôme irréductible Quels sont les polynômes irréductibles dans C[X] et dans R[X] ?

Un polynôme P de est dit irréductible lorsque P n'est pas constant et les seuls diviseurs de P sont les polynômes constants non nuls et les polynômes λP où λ∈K*. Dans C[X] : les polynômes de degré 1 Dans R[X] : les polynômes de degré 1 et de degré 2 avec ∆<0

Qu'est-ce qu'un système linéaire incompatible ?

Un système linéaire n'admettant aucune solution. Un système linéaire homogène est toujours compatible (solution (0,...,0)

Rang d'une application linéaire

Une application linéaire f est de rang fini lorsque Im(f) est de dimension finie. Dans ce cas le rang de f est le nombre dim(Im(f))

Qu'est-ce qu'une matrice échelonnée réduite ?

Une matrice est échelonnée réduite par lignes si elle est nulle ou si elle est échelonnée et que tous ses pivots valent 1 et que chaque pivot est le seul coeff non nul de sa colonne. Tout matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée réduite.

Primitive de 1/sqrt(1-x^2)

arcsin(x) ou -arccos(x)

Primitive de 1/(1+x^2)

arctan(x)

Caractérisation de la borne sup

avec A partie non vide et majorée de R

Ensemble des solutions d'une équation différentielle homogène du 1er ordre y'+a(t)y=0

avec A une primitive de a sur I

Théorème du rang

avec E ev de dimension finie et f∈L(E,F) rg(f)+dim(Ker(f))=dim(E)

Équivalents de référence

avec u_n convergente de limite nulle

Inégalité triangulaire généralisée avec cas d'égalité

avec égalité si tous les a_k sont de même signe

Corollaire de l'algorithme d'Euclide

a∧b=b∧r

Des vecteurs d'affixes z_1 et z_2 sont colinéaires ssi : Des vecteurs d'affixes z_1 et z_2 sont colinéaires ssi :

coli ssi z1/z2 ∈ R othogonaux ssi z1/z2 ∈ iR

Théorème de la base extraite

de toute famille génératrice finie on peut extraire une base Donc tout espace vectoriel de dimension finie différent de admet une base finie. Dans un espace vectoriel engendré par vecteurs, toute famille de vecteurs est liée.

Dérivée de l'application réciproque d'une fonction bijective

f bijective et dérivable sur D

TVI

f continue sur [a,b] segment, f(a) et f(b) de signes opposés, alors il existe c tel que f(c)=0 Pareil pour tout y dans [f(a),f(b)] ... f(c)=y

Définitinon de la continuité

f est continue en a ssi f admet une limite en a

Soit f∈L(E,F) et dim(E)=dim(F) f est un isomorphisme ↔ ? (réponse avec les matrices)

f est un isomorphisme ↔ Mat(B,B')(f) est inversible

(g₀f)^-1 = ?

f^-1 ₀ g^-1

Soit f∈L(E,F), comment appelle-t-on f si : - E=K - E=F - f est bijective - E=F et f bijective

forme linéaire endomorphisme isomorphisme automorphisme

Primitive de 1/(x-a)

ln(|x-a|)

Primitive de 1/x

ln(|x|)

(x_1, ..., x_n) est une famille génératrice de E lorsque ... ET ssi ...

lorsque E=Vect({x_1, ..., x_n})

Négligeabilité de référence

n! >e^(nα) > n^β > ln^γ(n) Si 0<α<β, n^α=o(n^β) Si lal<lbl, alors a^n=o(b^n)

Définir : n-ième somme partielle Série numérique de terme général (u_n) Somme de la série n-ième reste de la série

n-ième somme partielle : S_n = somme de n_0 à n des u_k Série numérique de terme général (u_n) : Suite des sommes partielles S_n Somme de la série : Limite de (S_n)n si la série converge n-ième reste de la série : Rn=somme de la série - nème somme partielle

Quelles sont les caractéristiques d'une relation d'ordre ? Un exemple ?

réflexive, transitive, antisymétrique Exemple: ≤ ou ≥

Choix du changement de variables :

sqrt(1-t^2) --> t=sin(x) sqrt(1+x^2) --> t=sh(x) Fonction rationnelle en e^t ou sqrt(t) encourage à poser x=e^t ou x=sqrt(t) si f est impaire, utiliser x = cos t » si f est telle que f(π - t) = -f(t), utiliser x = sin(t) Dans les autres cas, x=tan(t/2) marche souvent

Série télescopique : convergente ssi ? Somme de la série dans ce cas

série de u_(n+1)-u_n converge ssi (un)n converge Dans ce cas la somme vaut lim(un)-u_n0

Série géométrique : convergente ssi ? Somme de la série dans ce cas

série des x^n converge ssi lxl<1 Alors la somme vaut x^n0/(1-x)

Primitive de 1+tan^2(x)=1/cos^2(x)

tan(x)

Primitive de ln(x)

xln(x)-x

Règles de calcul de déterminant

1) Lorsqu'on échange deux colonnes de M, on multiplie le déterminant par -1 2) Si deux colonnes sont égales, le déterminant est nul 3) Si une colonne de la matrice est nulle, le déterminant est nul 4) Si on multiplie une colonne de M par λ , on multiplie le déterminant par λ 5) det(λM)=λ^ndet(M) 6) Rajouter à une colonne une C.L. des autres colonnes ne modifie pas la valeur du déterminant 7) Si les colonnes sont liées, le déterminant est nul 8) det(transposée de M)=det(M) det(MN)=det(M)det(N)

Cas général pour primitiver une fonction quotient de fonctions polynomiales a(x)/b(x)

1. Division euclidienne de a par b pour que la fonction du numérateur ait un degré inférieur à celle du dénominateur. On obtient a/b=q+r/b 2. q se primitive facilement, elle est polynomiale 3. r/b avec deg(r)<deg(b). Décomposition en éléments simples

1+tan^2(a) = ?

1/cos^2(a)

cos(2a) = ? sin(2a) = 2

2 cos^2(a) - 1 = 1 - 2 sin^2(a) 2sin(a)cos(a)

Deux évènements sont indépendants lorsque ?

A et B indépendants ↔ A et Bbarre indépendants

Définition de borne sup/inf

Borne sup (resp. inf) : minimum (resp. maximum) de l'ensemble des majorants (resp. minorants) Toute partie non vide et majorée de R admet une borne sup

Méthode de variation de la constante avec I un intervalle, a et b deux fonctions continues de I dans R et A une primitive de a sur I. EDL1 : y'+a(t)y=b(t)

Cette EDL1 admet au moins une solution de la forme : t -->λ(t).exp(-A(t)) où λ est une fonction dérivable sur I.

Matrice de passage de B à B' Relation entre coodonnées X dans l'ancienne base et X' dans la nouvelle

Colonne formée des vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne base P_(B,B')=Mat(B',B)(id_E) P(B,B') est inversible d'inverse P_(B',B) X=P(B,B')X' (contre-intuitif)

Définition et caractérisation espaces vectoriels isomorphes

Deux espaces vectoriels sont isomorphes lorsqu'il existe un isomorphisme f entre E et F. E et F sont isomorphes ↔ dim(E)=dim(F)

Astuce pour trouver tan(a+b) et tan(a-b)

Développer et simplifier par cos(a)cos(b) en haut et en bas (possible qu'avec les bonnes valeurs de a et b)

A, B, C d'affixes za,zb,zc sont alignés ssi Et alignés dans cet ordre ssi ...

Et dans cet ordre si ce quotient ∈ [0,1]