Funkcije

1.1.Definicija funkcije

Neka su A i B bilo koja 2 neprazna skupa. Funkcija sa skupa A u skup B je pridruživanje elemenata skupa A elementima skupa B, tako da je svakom elementu iz skupa A pridružen točno jedan element iz skupa B. Tada pišemo: f: A → B. Skup A nazivamo domenom od f, a skup B kodomenom od f. Skup svih vrijednosti funkcije nazivamo slika funkcije ili R(f), a skup svih uređenih parova zovemo graf funkcije Γ(f) Funkcije su jednake ako i samo ako su im jednake domene, kodomene i za svaki element iz domene funkcije vrše jednako preslikavanje. g je restrikcija od f ako je domena od g podskup domene od f

Teorem 1.4. Za f: A→B postoji inverzna funkcija f-:B→A ako i samo ako je f bijekcija

Po definiciji inverza i bijekciji

Teorem 1.10. Neka je [a,b] segment u R, tada je [a,b] neprebrojiv Korolar. R je neprebrojiv

Pretpostavimo suprotno Konstruirajmo funkciju f:N -->B, takvu da možemo iskoristiti cantorov aksiom i dobiti kontradikciju

1.14 Definicija ekvipotentnosti

Za A i B kažemo da imaju jednako elemenata, tj. da su ekvipotentni ako postoji bijekcija f: A→B, i pišemo A∼B ili k(A)=k(B) Ako postoji injekcija f:A→B, onda A ima manje ili jednako elemenata od B, tj k(A)≤k(B)

1.9.Definicija periodičke funkcije

Za f:A→B kažemo da je periodička perioda T>0 ako vrijedi: 1.∀x∈A, (x+T ∈ A) 2.∀x∈A, f(x+T)=f(x) T₀ je najmanji period koji zovemo temeljni period.

1.3.Definicija parnosti funkcija

Za funkciju f : <-a,a> → R kažemo da je: 1.parna ako: (∀x∈<-a,a>),f(x)=f(-x) 2.neparna ako: (∀x∈<-a,a>),f(x)=-f(-x)

1.2.Definicija monotonih funkcija

Za funkciju f : I → R kažemo da je: 1.strogo rastuća ako: (∀x,y∈I)(x<y)→(f(x)<f(y)) 2.strogo padajuća ako: (∀x,y∈I)(x<y)→(f(x)>f(y)) 3.rastuća ako: (∀x,y∈I)(x<y)→(f(x)≤f(y)) 4.padajuća ako: (∀x,y∈I)(x<y)→(f(x)≥f(y))

Propozicija 1.4. Neprazan podskup prebrojivog skupa je konačan ili prebrojiv.

a) B je konačan b) B je prebrojiv - pronađimo dvije injekcije

Teorem 1.3. Ako su f,g,h tri funkcije i ako su definirane funkcije g*f,h*g,h*(g*f),(h*g)*f, onda vrijedi: h*(g*f)=(h*g)*f

kada su funkcije jednake?

Propozicija 1.3. Skup Q je prebrojiv

...

Teorem 1.9. Cantor-Bernstein teorem Ako postoje injekcije f:A→B i g:B→A, onda su A i B ekvipotentni

...

Primjer 1.5 Q je gust u R

q'≤x-ε, q''≥x+ε, a(k)=k/n(q''-q')

Aksiomatika polja R.

1.asocijativnost zbrajanja 2.postoji neutralni element 3.svaki element iz R ima inverz za zbrajanje 4.komutativnost zbrajanja 5.asocijativnost množenja 6.postoji neutralni element za množenje 7.svaki element iz R osim 0 ima svoj inverz za množenje 8.komutativnost množenja 9.distributivnost množenja prema zbrajanju 10.linearnost uređaja (totalnost) 11.antisimetričnost uređaja 12.tranzitivnost uređaja 13.usklađenost zbrajanja i uređaja 14.usklađenost množenja i uređaja 15.svaki odozgo omeđen neprazan podskup u R ima supremum u R.

Primjer 1.4 Polje Q nije potpuno

2-q^2 > 0, 2q+1>0

Primjer 1.4 Polje Q nije potpuno

2-q^2 > 0, 2q+1>0 a^2 - 2 > 0, 2a>0

Teorem 1.2. Ako su a' i b' aproksimacije brojeva a,b∈R s točnosti ε' i ε'' > 0, tj |a-a'| < ε i |b-b'|<ε'' onda je: 1. |a+b-(a'+b'|<ε'+ε'' 2. |ab-a'b'|<ε''|a|+ε'|b| +ε'ε''

2. rastaviti ab-a'b' tako da dobijemo nejednakost

Teorem 1.8. Cantorov aksiom Ako za svaki n∈N imamo segmente [a(n),b(n)], takve da vrijedi [a(n+1),b(n+1)]⊂[a(n),b(n)]∀n∈N, tada postoji x∈R, takav da je x∈[a(n),b(n)]∀n∈N

A = {a(n);n iz N}, B = {b(n);n iz N}

1.11.Definicija omeđenosti skupa

Ako je S neprazan i pravi podskup od R, onda kažemo da je S omeđen odozgo ako postoji M iz R, takav da ∀x∈S M≥x, M zovemo gornja međa ili majoranta skupa S Ako je S neprazan i pravi podskup od R, onda kažemo da je S omeđen odozdo ako postoji m iz R, takav da ∀x∈S x≥m, m zovemo donja međa ili minoranta skupa S

1.12.Definicija supremuma skupa

Broj L iz R je najmanja majoranta nepraznog, odozgo omeđenog skupa S⊂R nazivamo supremum skupa S i pišemo L = supS. L ima svojstva: 1.∀x∈S, x≤L 2.∀ε>0,∃x∈S, L-ε≤x ako je supremum u skupu, onda ga zovemo maksimum.

1.10. Definicija elementarnih funkcija

Funkcije koje se dobiju pomoću konačno mnogo operacija zbrajanja, množenja, kompozicije iz potencije, eksponencijalne, hiperbolnih, trigonometrijskih i njihovih inverznih funkcija nazivamo elementarnim funkcijama.

Teorem 1.1. 1.Apsolutna vrijednost zbroja realnih brojeva je manja ili jednaka od zbroja apsolutnih vrijednosti pribrojnika tj. ∀a,b∈R, |a+b| ≤ |a|+|b| 2.Apsolutna vrijednost produkta realnih brojeva je jednaka produktu apsolutnih vrijednosti faktora. ∀a,b∈R, |ab| = |a||b| Korolar ||a|-|b||≤|a-b|

Iz definicije

1.6 Definicija injekcije

Kažemo da je f : A→B injekcija ako vrijedi: ∀x,y∈A (x≠y)→(f(x)≠f(y)) tj: ∀x,y∈A (f(x)=f(y)→(x=y))

1.8. Definicija bijekcije

Kažemo da je f: A→B bijekcije ili 1-1 preslikavanje ako je ona injekcija ili surjekcija tj. ∀y∈B, ∃!x∈A, (f(x)=y)

1.7. Definicija surjekcije

Kažemo da je f: A→B surjekcija, ako je slika funkcije jednaka kodomeni funkcije tj. R(f) = B, odnosno ∀y∈B, ∃x∈A, (f(x)=y)

1.5. Definicija inverzne funkcije

Neka je zadana f : A→B, kažemo da je g : B→A inverzna funkcija od funkcije f, ako je g*f = ida i f*g=idb