ALG 11. 6. Елементи теорії ймовірностей

Формула складання ймовірностей

Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто P(A+B)=P(A)+P(B) Події є неспільними или несумісними якщо поява однієї з них виключає появу іншої.

Зауваження 1

Теорема, аналогічна першій теоремі, вірна для будь-якого конкретного числа подій, тобто P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An), где A1;A2;...;An — попарно несумісні події.

Зауваження 2

Якщо A1;A2;...;An — всі елементарні події деякого випробування, то їх сукупність називають полем подій. Очевидно, що ці події попарно несумісні і A1+A2+...+An=U, де U — достовірна подія. P(U)=P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)=1.

Події A і B називаються незалежними, якщо

поява однієї з них не змінює ймовірності появи іншого. Подія A називається залежною від події B якщо ймовірність події A змінюється в залежності від того, відбулася подія B або ні.

Подію називають вірогідною по відношенню до деякого випробування, якщо в ході цього випробування подія обов'язково відбудеться.

Наприклад, достовірною подією буде поява одного з шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одному киданні гральної кістки.

Подія, яка відбувається завжди, називається достовірною подією.

Наприклад, кидаючи монету, випаде герб або цифра (інших можливостей немає).

Подія, яка не може відбутися, називається неможливою подією.

Наприклад, кинувши звичайний ігровий кубик, випаде 14 пунктів.

Подію називають неможливою по відношенню до деякого випробування, якщо в ході цього випробування подія завідомо не відбудеться.

Наприклад, неможливою подією є випадання числа 7 при киданні звичайного грального кубика. В результаті деякого випробування обов'язково відбувається одне з взаємовиключних одна одну подій, причому кожна з них не поділяється на більш прості. Такі події називають елементарними подіями (або елементарними вихідними випробуваннями).

Будь-яке твердження про результат досліду, правильність якого можливо перевірити, називається подією.

Наприклад, події — це «випаде цифра» і «випаде герб». Події позначаються великими літерами. Наприклад, подія A — випаде цифра.

Подію називають випадковою по відношенню до деякого випробування (досліду), якщо в ході цього випробування воно може відбутися, а може і не відбутися.

Наприклад, якщо випробування складається в одному киданні грального кубика, то в ході цього випробування можливі наступні події (результати випробування): на верхній грані кістки виявиться число 1, число 2, ..., число 6. Випадкові події зазвичай позначаються початковими буквами латинського алфавіту A, B, C та ін..

Події A і B називають рівними (рівносильними) і пишуть A=B, якщо подія A відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія B.

Наприклад, якщо у випробуванні з одним киданням грального кубика подія A — випало число 6, а подія B — випало найбільше з можливих чисел, то A=B.

Часто про незалежність подій вдається судити на підставі того, як організований дослід, в якому вони відбуваються. Незалежні події з'являються тоді, коли дослід складається з декількох незалежних випробувань (як, наприклад, було у розглянутому досліді з киданням двох гральних кісток). Якщо незалежність випробувань не очевидна, то незалежність подій A і B перевіряється за допомогою формули:

Події A і B називають незалежними, якщо виконується рівність P(AB)=P(A)⋅P(B)

Схема Бернуллі

Розглядають n незалежних повторень одного і того ж випробування з двома можливими наслідками: «успіхом» і «невдачею». Ймовірність «успіху» дорівнює p, а ймовірність «невдачі» дорівнює q, p+q=1. Потрібно знайти ймовірність Pn(k) того, що в цих n повтореннях відбудеться рівно k «успіхів». При n незалежних повтореннях одного і того ж випробування з двома можливими наслідками більш коротко говорять, як про n випробуваннях Бернуллі. Точну відповідь на поставлене питання дасть наступна теорема.

При киданні монети існує дві елементарних події: поява орла і поява решки.

Розглянуті в останньому прикладі події несумісні (поява однієї з них виключає появу іншого), єдино можливі (обов'язково станеться одне з них) і рівноможливі (у кожного з них шанси з'явитися рівні).

Все, що відбувається або не відбувається в реальній дійсності, називають явищами або подіями.

Розділ математики, який називається теорією ймовірностей, займається дослідженням закономірностей у масових явищах.

Теорія імовірностей — це область математики, що вивчає випадкові події та загальні властивості подій, процесів.

У теорії ймовірностей експерименти називаються дослідами, а можливі результати — наслідками. Всі можливі результати разом створюють множину наслідків.