matematikos pagringai savokos (57-87)

Baigtine aibe;

Aibe X vadinama baigtine, jei X ∼ In su kuriuo nors n ∈ N. Šiuo atveju n yra X aibes galia ir žymima |X| := n.

Nesuskaičiuojama aibe; (10.2 apibr˙ežtis)

Aibe X vadinama neskaičia, arba nesuskaičiuojama, jei ji yra begaline ir nera suskaičiuojama.

Suskaičiuojama aibe; (10.2 apibr˙ežtis)

Aibe X vadinama skaičia arba suskaičiuojama, jei X ∼ N.

Funkcinis sąryšis;

Aibiu˛ X ir Y Descarteso sandaugos poaibis S ⊂ X × Y vadinamas šiu˛ aibiu˛ funkciniu sąryšiu, jei kiekvienam x ∈ X egzistuoja vienintele sutvarkyta pora (x, y) ∈ S.

Vertikaliosios tieses požymis;

Aibiu˛ X ir Y funkcini sąryši S apibrežiančią savybę galima performuluoti kaip vertikaliosios tieses požymi˛: (1) kiekvienam x ∈ X egzistuoja toks y ∈ Y , kad teisinga (x, y) ∈ S; (2) jei x ∈ X ir y1, y2 ∈ Y yra tokie, kad (x, y1) ∈ S ir (x, y2) ∈ S, tai y1 = y2.

Begaline aibe;

Aib˙e X vadinama begaline, jei ji nera baigtine.

Funkcija

Funkcija iš aibės X į aibę Y vadinamas tam tikras savybes turintis aibių X ir Y sąryšis, kuris kiekvienam aibės X elementui priskiria ne daugiau kaip vieną aibės Y elementą.

Injekcija;

Sakoma, kad f yra injekcija, jei kiekvienam y ∈ Y yra ne daugiau kaip vienas x ∈ X, kuriam f(x) = y.

Funkciju lygybe;

Tarkime, kad X, Y , U, V yra aibės. Dvi funkcijos f : X → Y ir g : U → V yra lygios, rašoma f = g, jei X = U ir f(x) = g(x) kiekvienam x ∈ X.

Aibes vaizdas funkcijos atžvilgiu;

Tarkime, kad f yra funkcija iš aibės X į aibę Y , o A yra X poaibis. Aibė f[A] := {y ∈ Y : ∃x ∈ A: y = f(x)} = {f(x): x ∈ A}, vadinama aibės A vaizdu atžvilgiu funkcijos f.

Funkciju kompozicija;

Tegul f : X → Y ir g : U → V yra tokios dvi funkcijos, kurioms Y ⊂ U. Funkcija g◦f : X → V su reikšmėmis (g◦f)(x) := g(f(x)), x ∈ X, vadinama funkcijų g ir f kompozicija

Aibes pirmavaizdis funkcijos atžvilgiu;

Tegul f : X → Y yra funkcija ir B ⊂ Y . Aibė f −1 [B] := {x ∈ X : f(x) ∈ B}, vadinama aibės B pirmavaizdžiu atžvilgiu funkcijos f.

Siurjekcija;

Tegul f : X → Y yra funkcija. Sakoma, kad f yra siurjekcija, jei kiekvienam y ∈ Y yra bent vienas x ∈ X, kuriam f(x) = y

Apverčiama funkcija;

Tegul f yra funkcija iš aibes X i aibę Y . Sakoma, kad funkcija f yra apverčiama, jei egzistuoja tokia vienintele funkcija f ^−1 iš Y i X su kuria galioja lygybes f ^−1 (f(x)) = x ∀ x ∈ X ir f(f ^−1 (y)) = y ∀ y ∈ Y.

Atvirkštine funkcija;

Tegul f yra funkcija iš aibės X į aibę Y . Jei sąlygas tenkinanti funkcija g : Y → X egzistuoja, tai ją vadinsime atvirkštine funkcijai f ir žymėsime f −1 .

Tuščioji funkcija;

f : ∅ → Y yra tuščioji funkcija.

Skaičiu˛ seka;

jei N yra natūraliųjų skaičių aibė ir R yra realiųjų skaičių aibė, tai bet kuri funkcija f iš N į R vadinama skaičių seka ir žymima savo reikšmėmis: (xn) = (x0, x1, x2, . . . , xn, . . .) := (f(0), f(1), f(2), . . . , f(n), . . .).

Diverguojanti seka;;

jei realiojo skaičiaus, į kurį konverguoja seka (an), nėra, tai sakoma, kad ji diverguoja (nėra ribos į kurią jį konverguotų).

Konverguojančios sekos riba;

jei realiųjų skaičių seka (an) konverguoja į realųjį skaičių a, tai a vadinamas sekos (an) riba , o šis faktas išreiškiamas simboliu (an) = a arba (an) → a kai n → ∞.

Horizontaliosios tieses požymis;

kiekvienam y ∈ Y yra bent vienas x ∈ X, kuriam (x, y) ∈ F; ir kiekvienam y ∈ Y yra ne daugiau kaip vienas x ∈ X, kuriam (x, y) ∈ F.

Cauchy seka;

realiųjų skaičių seka (an) vadinama Cauchy seka, jei bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui ε, egzistuoja toks natūralusis skaičius N = Nε ∈ N, kad visiems n ∈ N ir k ∈ N galioja implikacija jei n ≥ N ir k ≥ N tai |(an) − (ak)| < ε.

Konverguojanti seka;

sakoma, kad (an) konverguoja, jei egzistuoja toks a ∈ R, kad (an) konverguoja į a.

Vienodos galios aibes;

sakoma, kad dvi aibės X ir Y yra vienodos galios arba, kad aibės X galia yra lygi aibės Y galiai, jei egzistuoja bijekcija f: X → Y.

Realiuju skaičiu˛ seka;

seka, žymima (a_n)_n∈I, yra funkcija iš aibės I į aibę R. Šios funkcijos argumentas n ∈ I vadinamas sekos indeksu, o šios funkcijos reikšmė a_n ∈ R vadinama sekos nariu. (I-i didzioji)

Skaičiu˛ sekos indeksas;

skaičių sekos (an) argumentas n.

Skaičiu sekos narys;

skaičių sekos reikšmė (an).

Skaičiu˛ seka (an) konverguoja i skaičiu a;

tarkime, kad (an) yra realiųjų skaičių seka ir a yra realusis skaičius. Sakoma, kad (an) konverguoja į a, jei kiekvienam realiajam skaičiui ε > 0 egzistuoja toks natūralusis skaičius N0 = Nε, kad kiekvienam n ∈ N teisinga implikacija jei n ≥ N0, tai |an −a| < ε.