MATRICES

Matriz Inversa

- se anota A-1 - 2 formas de hacerla: o multiplicando A.I= A-1 // A-1= 1/|A| .Adj A

matriz traspuesta

- se anota At - propiedades: • (At)t= A • (A+B)t = At+Bt • (A.B)t= Bt. At - en esta matriz las filas pasan a ser columnas

Propiedades ​

- si un escalar multiplica toda una línea de la matriz lo extraigo y lo sacó para afuera - |A.b|= |a|.|b|

formula cuadratica

-B+/- \/B^2-4.A.c / 2.A

multiplicación de una matriz

-el número de columnas de A debe considir con el número de filas de B - se multiplica fila de la matriz A por columna de la matriz B

Calculo de determinante 1, 2 y 3

-si es de 2x2 va cruzado -si es de 3x3: elijo una fila o columna, voy tapando y copio la parte de la matriz y luego hago cruzado para eliminar el 2x2 RECORDAR PONER EL (-1)°x donde x=número de fila+número de columna

Cosas que me pueden pasar en el sistema de ecuaciones

1) a= -b voy a tener que plantear dos soluciones en la que por ejemplo a=-1 y b= 1 y despues a=1 y b=-1 xq son opuestas 2) plantear resolvente o factor común

la matriz a y B son conmutables

A.B=B.A realizó las cuentas de ambos lados del igual si me da igual son conmutables sino no

Matriz Involutiva

A2= I

Igualdad de Matrices

Igualo componente a componente a12=b12 y creo la nueva matriz en relación a eso

Ecuación Matricial

X= (B+I). A-1

matriz nula

compuesta de 0

igualdad de matrices

cuando los elementos de las matrices ocupan identicas posiciones y son iguales

A.X-Bt = 3I (tengo A y tengo B)

doy vuelta un par de cosas y me queda X= A-1.(3I+Bt) hago Bt, luego det de A para ver si se puede invertir y luego la inversa . despues junto todo y halló x

matriz opuesta

es la misma matriz pero con los signos cambiados

matriz identidad

es la que esta compuesta por 1 y 0

(BC)^2

hago b.c . B.c

Regla de laplace

hago el det de la adjunta de la matriz y me tiene que dar igual al determinante que me daría normalmente detAdjA= detA

hallar los valores de x pertenecientes al conjunto de los reales para los cuales se verifica |A|= MATRIZ DET =0

hago el det igualando a 0 y resuelvo

hallar los valores de K para los cuales A+I es regular

hago la suma de A+I hago el det de ese resultado la ecuación que me de la pongo diferente a 0 porque si es regular debe admitir inversa

aij

i: filas j: columnas

hallar a b c y d

igualo la matriz abcd a la otra matriz y despues hago sistema de ecuaciones

si tengo por ejemplo 2x-5 (matriz) = 5x + (matriz)

multiplicó el -5 como escalar paso las x para el lado de 2 y la matriz restando el resultado de la resta lo divido por 2×-5×=-3× y el resultado de eso es la respuesta

Matriz adjunta

paso 1: agarrar elemento por elemento y hacer el determinante no pongo el elemento adelante solo el (-1)^fila+columna y despues cada elemento obtenido lo voy poniendo en la matriz

Calcular matriz inversa usando det

paso 1: calculo el det de la matriz y veo si es o no diferente a 0 paso 2: busco la matriz adjunta paso 3: aplicó la fórmula: A-1= 1/|A| . adj (A)

A.Bt=C

paso 1: calculo la transversa de B paso 2: lo multiplicó por A y lo igualó a C paso 3: hago sistema de ecuaciones para sacar las incognitas

me da una matriz con una incógnita y me dice calcular m tal que verifique 2A^2-A=I

paso 1: desarrollo el A^2= A.A paso 2: hago 2.(resultado de A^2)-A=I paso 3: resuelvo y hago sistema de ecuaciones

Rango de una Matriz por Gauss-Jordan

paso 1: elijo a un 1 de la matriz como pivote y completo la columna con 0 sin tocar ese pivote y la fila la dejo exactamente igual (no la toco) paso 2: agarro los demás elementos y aplicó la regla del rectángulo osea multiplicación cruzada y despues la resta para cada elemento paso 3: reiteró el mecanismo paso 4: el proceso finaliza cuando no hay mas 1 paso 5: el rango se calcula contando la cantidad de filas que no son nulas

hallar los valores de a y B para que la matriz sea involutiva

paso 1: recordamos que es involutiva cuando A^2=I paso 2: planteo A.A= I paso 3: sistema de ecuaciones

hallar los valores a A y B para que la matriz sea idempotente

paso 1: recuerdo que una matriz es idempotente cuando A^2=A paso 2: plante A.A=A paso 3: hago sistema de ecuaciones

dadas dos matrices hallar k tal que |A.b|=número

paso 1: saco det de a y de B por separado paso 2: multiplicó el resultado de ambos igualando a el número dado y halló k

hallar el valor de k para los cuales la matriz es regular

paso 1: una matriz es regular cuando acepta inversa osea ser diferente a 0 paso 2: calculo el det diferente de 0 paso 3: la ecuaciones que me da la pongo diferente a 0 y saco los resultados

adición y sustraccion de matriz

se suma y resta normal

hallar los valores de k para los cuales la matriz tiene rango diferente de un número ejemplo 3

si es de orden 3 el det debe ser distinto de 0 por lo tanto hago lo contrario paso 2: hago el det de la matriz y lo igualó a 0 paso 3: calculo k igualando a 0

Condición necesaria y suficiente para que exista la inversa de una matriz

|A| diferente a 0

Propiedades de los determinantes

• |A|= |At| • si la matriz tiene una fila de todos elementos 0 la matriz tiene det 0 • si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales ( osea 2 2 , 3 3) el det vale 0 • cuando hago la transversa del det cambia de signo el resultado • el det de A-1 se calcula como |A-1|= 1/|A|

Matriz Idempotente

•A.A= A2 (el resultado es la transversa de la matriz)

Matriz ortogonal

•Su inversa debe ser igual a la traspuesta •A.At=I