Matte 5: Kap 2

Ett heltal är delbart med...

* 2 om talet är jämnt, dvs sista siffran delbar med 2 * 3 om talets siffersumma är delbar med 3 * 4 om talets två sista siffror är delbara med 4 * 5 om sista siffran i talet är 0 eller 5 * 9 om siffersumman är delbar med 9

Induktionsbevis

1. Visa att formeln är sann för n=1 2. Anta att formeln gäller då n=k 3. Visa att formeln gäller då n=k+1 4. Genom induktionsbevis har formeln bevisats

Största gemensamma delare (SGD)

Används vid förkortning av bråk t.ex Ex: 12 och 8. 8 har de positiva delarna 1, 2, 4, 8 coh 12 har 1, 2, 3, 4, 6, 12. Det största talet som är delare till båda är 4 --> SGD(12,8) = 4 Finns en algoritm för att räkna ut SGD för större tal, Euklides algoritm: Ex: Bestäm SGD(8316, 2940) Dividera det större med det mindre, då får du en kvot och en rest. Ta sedan det mindre talet och dividera den med resten, du får en ny kvot och ny rest osv tills du kommer till noll. SGD = resten i det näst sista ledet.

Aritmetisk Talföljd

Definition: En talföljd där differensen mellan två på varandra följande element är konstant kallas aritmetisk. I en aritmetisk talföljd med första elementet a1 och differensen d ges elementet a'n av a'n = a1 + d(n-1) (explicit/sluten formel!) Stats: Summan av en aritmetisk talföljd Finns i formelblad

Geometriska talföljder

Definition: En talföljd där kvoten mellan två på varandra följande element är konstant kallas geometrisk och det n:te ralet i talföljden är a'n = a1 * k^(n-1) (explicit/sluten formel!) Sats: Summan av en geometrisk talföljd Finns i formelboken

Kongruens

Definition: Kongruens Om heltalen a och b har samma rest vid divison med heltalet c sägs a och b vara kongruenta modula c. a ≡ b (mod c) T.ex Står klockan på samma sak efter 79 timmar och 19 timmar? 79 = 12*6 + 7 19 = 12*1 + 7 Vid division med 12 har 79 och 19 samma rest --> 79 och 19 är kongruenta modulo 12 --> 79 ≡ 19 (mod 12) --> de kommer stå på samma sätt

Rekursiva talföljder

Det är ingen talföljd i sig som är rekursiv utan det är ett annat sätt att beskriva en talföljd på Definition: En talföjd är rekursiv om nästa tal i talföljden följer från tidigare tal enligt en bestämd regel. Tal som behövs för att sätta igång följden kallas startvärden

Primtal

Ett primtal är ett heltal som bara är delbart med 1 och sig självt De sex minsta: 2, 3, 5, 7, 11 och 13

Delbarhet

Ex: 48 är delbart med 8 / 8 är en faktor i talet 48 (medför 8|48, 8 delar 48, 48 är delbart med 8) Definition: Delbarhet Om ett heltal a kan skrivas a = b*c, där b och c är heltal, säger vi att a är delbart med b och c. Talen b och c är faktorer i talet a b|a (b delar a) och c|a (c delar a) Sats: Delbarhet Om a och b båda är delbara med k så är x*a + y*b också delbart med k (talen x och y är heltal) Om a är delbart med k, så är x*a också delbart med k Om a och b båda är delbara med k så är a+b också delbart med k

Restklass

Ex: Finns många tal som är kongruenta med 17 modulo 5 Alla tal som får samma rest (2) vid division av 5 ingår i samma restklass. Restklasserna modulo 5 = [0]5, [1]5, [2]5, [3]5 och [4]5 Kan ej ha samma rest som kvoten [1]5 är de tal som ger resten 1 vid division med 5 Definition: Restklass En restklass är mngden av de tal som ger samma rest vid division med c. Dessa tal är kongruenta modulo c. Det finns c stycken restklasser modulo c (0, 1, 2 osv, noll ingår och ej siffran kvoten är)

Kvot och Rest

När ett tal inte är delbart med ett annat uppstår en rest Ex: Talet 47 (a) ger vid divison med 9 (b) heltalskvoten k=5 och resten r=2 Sats: Kvot och Rest För heltalen a och b finns heltalen k och r så att a = k*b + r, där 0</ r <b Om r = 0 är a delbart med b, b delar a

Relativt prima

Om den SGD till två positiva heltal är 1 innebär det att de båda talen inte har någon gemensam faktor större än 1, t.ex bråket 1755/2618 kan ej förkortas, talen 1755 och 2618 är alltså relativt prima Definition: Relativt Prima Tal Om SGD till två tal är 1 sägs talen vara relativt prima

Minsta gemensamma multipel (MGM)

Samma som minsta gemensamma nämnare. Om man har två bråk som ska adderas, ska man göra så att det står på samma bråkstreck med den minsta möjliga nämnaren som är gemensam Definition: MGM MGM för vå naturliga tal a och b är det minsta naturliga talet där både a och b är faktorer, MGM(a,b) Ta reda på MGM för ett stort tal: SGD för a och b och MGM för a och b --> SGD(a,b) * MGM(a,b) = a*b --> MGM = (a*b)/SGD