aanvankelijk rekenen

een oefening op conservatie

Oefening waarbij de kinderen moeten zoeken naar: - langste touw - meeste knikkers - meeste blokken - meeste boeken

• Conserveren • Corresponderen • Classificeren • Seriëren

Wat zijn de 4 traditionele voorwaarden om te kunnen rekenen?

¥ Dit model sluit sterk aan bij de rekenhandelingen die kinderen spontaan uitvoeren. De situaties zijn dan ook heel herkenbaar. ¥ Deze situaties houden een activiteit in: naspelen, bewegen motiveert de kinderen. ¥ Optellen en aftrekken zijn tegengestelde veranderingen. ¥ Elk verhaal leidt slechts tot één bewerking. De wisseleigenschap van de optelling is niet onmiddellijk zichtbaar.

Wat zijn de eigenschappen van Veranderingssituaties - dynamische situaties - busmodel

- De delen en het geheel zijn in dit soort opgave onmiddellijk zichtbaar. - Deze situaties sluiten nauw aan bij het splitsen waarbij een geheel gesplitst werd in delen. - De wisseleigenschap van de optelling krijgt hier onmiddellijk betekenis. - De relatie tussen optellen en aftrekken komt duidelijk naar voor. - Eén combinatieopgave leidt spontaan tot 2 aftrekkingen en 2 optellingen (soms kwartet of klavertjevier genoemd). - Het splitsschema kan verder gebruikt worden om deze situaties schematisch voor te stellen.

Wat zijn de eigenschappen van combinatiesituaties - statische situaties - deel en geheel

symmetrisch

Wat zijn dubbelsommen steeds?

'dubbelsommen' (x + x) bijna- dubbelsommen' (de ene hoeveelheid is één meer dan de andere x + (x+1) of (x+1) + x ). Er zijn maar 6 dubbelsommen tot 10 (0 + 0; 1 + 1; 2 + 2; 3 + 3; 4 + 4; 5 + 5). De uitkomst ervan is direct waarneembaar op het rekenrek (dubbelsporig) of op de kwadraatbeelden

Wat zijn dubbelsommen? Welke dubbelsommen tot 10 zijn er? Hoe worden ze zichtbaar gemaakt?

kapstokken die samen met inzicht het memoriseren (als laatste stap van het automatiseren) vergemakkelijken

Wat zijn procedures?

De ... zijn gebaseerd op de vier traditionele voorwaarden, zoals die in de jaren zestig door Piaget zijn vorm gegeven. Dit zijn de kenmerken van het logisch leren denken, zoals dat doorgaans bij kleuters als vanzelfsprekend met het ouder worden tot ontwikkeling komt.

Wat zijn rekenvoorwaarden?

- wisseleigenschap - dubbelsommen - verdwijnsommen - eentje meer / eentje minder

4 hulpstrategieën die het aantal te onthouden bewerkingen sterk gereduceerd

Rekenverhalen nodigen in de eerste plaats uit tot rekenhandelingen: de kinderen manipuleren (samen met de leerkracht) materialen, spelen buschauffeur en passagier, ... en verruimen daarbij hun rekentaal. Door de verhalen te laten naspelen heb je als leerkracht onmiddellijk zicht op de taalvaardigheid van je leerlingen. Belangrijk is om veel aandacht te besteden aan het verwoorden: Wat weet je al? Hoeveel zijn er eerst? Wat gebeurt er? Wat moet je zoeken? Hoe kan je dat vinden? ... Ook krijgt de leerkracht zicht op welke mate van begrijpen een leerling zich situeert.

Leerlijn van bewerking: concreet

Dat is wat kinderen doen als ze een getalrij (al dan niet in de 'juiste' volgorde) opdreunen zonder de betekenis te bevatten of te gebruiken.

Wat is akoestisch tellen?

In deze opgaven gaat het om twee afzonderlijke hoeveelheden die vergeleken worden. Er wordt gezocht naar het verschil tussen beide. Dit soort vraagstukken zijn meestal statisch. Het gaat hier vaak over indirectie opgaven of stipsommen (zie verder). Dit type opgave is vaak moeilijker dan de twee andere door het gebruik van de uitdrukkingen 'meer' en 'minder'.

Wat verstaan we onder vergelijkingsopgaven

Lineaire getalbeelden gebaseerd op een 5 structuur

Wat voor getalbeelden zijn kralenketting, dominostenen & wisse de rups?

De kinderen weten dus dat ze bij het tellen bij '1' moeten beginnen, ze weten dat alle voorwerpen slechts een keer geteld moeten worden (het principe van de 1-1 relatie) en dat het laatstgenoemde telwoord de totale hoeveelheid van het aantal voorwerpen aangeeft.

Wat weet een kind als het resultatief kan tellen?

verkort resultatief tellen

Wat zien we in het onderstaand voorbeeld? 1. Lander en Tessa gaan op schoolreis. Tessa vraagt aan Lander hoeveel snoepjes hij mee heeft genomen. Doordat Lander zijn mond vol heeft, kan hij niet praten. Hij steekt een aantal vingers in de lucht. 2. Tessa weet dat één hand vijf vingers heeft. Ze onthoudt de vijf vingers en telt vervolgens de andere vingers erbij. 'Vijf...zes...zeven...acht. Lander heeft acht snoepjes meegenomen.'

Akoestisch tellen

Wat zien we in het voorbeeld? Marieke is drie jaar. Ze loopt op het spoor dat een tractor in het zand heeft gemaakt. Dan begint ze zo maar te tellen. Of beter gezegd: getallen te noemen. "Vier, acht, twee, ...

De uitkomst van de bijna-dubbelsommen is dan één minder/meer dan die van de bijhorende dubbelsom.

Wat zijn bijna dubbelsommen?

- Kinderen denken dat grote voorwerpen altijd zwaar zijn en kleine voorwerpen altijd licht o Ze ervaren nog niet dat grootte en gewicht afzonderlijke aspecten zijn - Een gebrekkig conservatiebegrip

Welke denkfouten maken kinderen bij meten: (grootheden vergelijken en ordenen) ?

Kinderen die dit rangordeaspect niet doorzien kunnen misschien wel de getalrij reproduceren, maar zullen het belang van de volgorde van getallen niet goed begrijpen

.Inzicht in ordeningsprincipes wordt als een voorwaarde beschouwd voor het begrijpen van relaties in de getalrij zoals '5 ligt tussen 4 en 6; 3 is meer dan 2 en 1'. Leg uit waarom.

Het begrip 'getal' is wel een zelfstandig naamwoord, maar is wel zeer abstract. Het vraagt nog een groter abstractieniveau dan voor kleuren. Het krijgt maar betekenis door het veel en vaak te concretiseren. Een kind moet namelijk een gemeenschappelijk kenmerk herkennen in heel uiteenlopende verzamelingen

.Leg uit waarom het begrip getal zo abstract is voor jonge kinderen.

• te zwakke zelfsturing: het kind bepaalt te weinig het eigen handelen; • passiviteit: het kind neemt weinig tot geen initiatieven; • geringe wendbaarheid van het handelen: het kind heeft moeite met het herkennen van de kern van de handeling; er is weinig tot geen transfer naar andere situaties; • problemen bij het richten van de aandacht: het kind kan zich moeilijk concentreren op één enkel onderdeel van de taak; • beperkt taalgebruik: het kind beschikt over een kleine woordenschat en heeft een gebrekkige grammaticale beheersing; • zeer eenvoudig niveau van fantasie- en rollenspel: beide spelvormen blijven zeer eenvoudig en weinig creatief t.o.v. leeftijdsgenoten; • vermoeidheid: het kind heeft vaak last van vermoeidheid.

Algemeen kan men stellen dat volgende kenmerken van het kind invloed kunnen hebben op de wiskundige ontwikkeling (al dan niet in combinatie met problemen in andere leergebieden):

Jonge kinderen zien de lengte, de dikte, het gewicht, ... van de dingen nog als een zuivere kwaliteit, vergelijkbaar met bv. de kleur, de smaak of het materiaal waarvan ze gemaakt zijn. Ze zijn volop in de fase van kwalitatief vergelijken: lekkerder, viezer, langer, korter, mooier, even mooi, ... Geleidelijk leren ze grootheden meer als een hoeveelheid, een kwantiteit zien.

Beschrijf hoe bij het verkennen vergelijken en ordenen van grootheden de kinderen een proces doormaken van kwaliteit naar kwantiteit?

Het ligt voor de hand dat de optellingen van de vorm a + 1 = .../ a + 0 = ... en de aftrekkingen van de vorm a - 1 = .../ a - 0 = ... ook weinig problemen met zich meebrengen. Ook deze kunnen als kapstok fungeren voor moeilijkere bewerkingen. Vergeet vooral de sommen met nul niet. Nul is een speciaal getal (niets wordt iets). Hiermee rekenen is gemakkelijk op voorwaarde dat kinderen dit ook regelmatig gebruiken.

Brengen eentje meer / minder oefeningen problemen met zich mee? Wat met het getal nul?

eerst wordt met concreet materiaal gemanipuleerd, dan wordt dit manipuleren verkort door vaste voorstellingen (kaarten) totdat de getalbeelden tenslotte verinnerlijkt zijn.

Er bestaan verschillende soorten getalbeelden maar de manier waarop deze worden ingeschakeld verloopt doorgaans gelijk:

- Bewustwording eigen lichaam - onderscheiden van vormen

Fases in ontwikkeling van meetkunde

• Tellen via herkennen • Akoestisch tellen • Asynchroon tellen • Synchroon tellen • Structurerend of ordenend tellen • Resultatief tellen • Resultatief verkort tellen

Geef de fases van tellen

De verwoording (taal) van dit alles is hierbij zeer belangrijk. 'Er bij' is in bovenstaand voorbeeld de concrete taal voor de formele 'plus'. Voor het model kan dan 'erbij' naar 'en' vertaald worden als tussenstap. Dagelijks taal gebruikt in rekensituaties moet immers vertaald kunnen worden naar wiskundetaal en omgekeerd.

Geef een voorbeeld van hoe taal een brug kan vormen tussen concreet en formeel rekenen

Busboekje Abaco Kwadraatraam eierdozen losse blokjes ...

Geef enkele voorbeelden van materiaal dat kwadraat beelden kan ondersteunen

• vragen stellen van een hoger niveau; • meerdere oplossingen en oplossingswijzen laten gebruiken waar dat mogelijk is.

Goede rekenaars kan je uitdagen door

Splitsingen 6 is 1 en 5 6 is 2 en 4 ... én 6 is 4 minder dan 10 6 is het dubbel van 3 6 is 2 keer 3 6 is 1 meer dan 5 ... -> Herstructureren van getallen is dus ruimer dan enkel maar splitsen

Herstructureer het getal 6 zoals jonge kinderen dit leren. Wat kan je dus nog zeggen of herstructureren?

¥ De telhandeling wordt verinnerlijkt: een evolutie via manipuleren en aanwijzen zonder aanraken tot 'tellen met de ogen' (verinnerlijkt tellen). ¥ Het tellen wordt moeilijker door de aard (van gelijksoortig naar ongelijksoortig), de plaats (voorwerpen die je niet kunt aanraken) en de ordening (van gestructureerd naar ongestructureerd) van de voorwerpen. ¥ Er wordt doorgeteld; d.i. voortgaan met tellen vanaf een willekeurig getal (4,5,6,...). ¥ Er wordt teruggeteld; d.i. vanaf een willekeurig getal 'aftellen' (8,7, 6, ...). ¥ Er wordt geteld met sprongen. Er is aandacht voor handig tellen, o.a. door te turven en het ontdekken van patronen en structuren

Het resultatief synchroon tellen wordt in het eerste leerjaar verder uitgediept: leg uit hoe

Via uitspraken van anderen wordt het kind geleidelijk aan opmerkzaam op andere gezichtspunten. Vanuit die bewustwording leert hij zich te verplaatsen in een andere positie dan die van zichzelf. Belangrijk in dit proces is de taal: een goede invulling van plaatsbepalende begrippen als voor, over, onder, naast, overkant, ... is daarbij noodzakelijk.

Hoe kan je werken aan de fases in ontwikkeling van meetkunde: bewustwording eigen lichaam?

Vanuit knutsel-, puzzel-, teken- en andere activiteiten worden de intuïtieve begrippen die de kinderen zich gevormd hebben verfijnd. De begrippen blijven wel intuïtief!

Hoe kan je werken aan de fases in ontwikkeling van meetkunde: onderscheiden van vormen?

Schematisch kunnen dit soort opgaven voorgesteld worden met een strokenmodel maar even goed door het splitsschema (beentjes of T)

Hoe kunnen combinatie situaties worden voorgesteld?

8-4=4 6-3=3

Hoe kunnen dubbelsommen onmiddellijk verbonden worden met aftrekkingen waarbij het aftrektal het dubbel is van de aftrekker?

Bijvoorbeeld via telversjes, in leeftijden, op de klok en de kalender, huisnummers, ... en vooral bij het tellen en herkennen van kleine hoeveelheden.

Hoe leren kinderen onbewust de verschillende functies van getallen?

Bij de opbouw van de getallenlijn wordt meestal gestart met een touw waaraan de cijferkaarten (of getalbeeld-kaarten) van minder naar meer worden gehangen. Het volgordeaspect van de getallen wordt erdoor gevisualiseerd.

Hoe wordt de opbouw van een getallenlijn meestal gestart? Wat wordt hierbij gevisualiseerd?

- Meten - Getallen - Ruimte (initiatie meetkunde)

In de kleuterschool werken ze met ontwikkelingsdoelen voor wiskunde rond:

• vragen stellen waarbij ze moeten nadenken, maar die ze met succes kunnen beantwoorden; • opdrachten geven die ze aankunnen; gerichte, stimulerende feedback geven; • doorvragen bij een oplossing zodat ook hun oplossingswijze duidelijk is • stimuleren om hun gedachtegang hardop te verwoorden.

Je kan de interactie met leerlingen die risico lopen op achterstand ondersteunen door

Na verloop van tijd verdwijnen de beelden en kunnen de kinderen (na veel oefening) de uitkomst van de bewerking vlot geven.

Leerlijn van bewerkingen: abstract

a) met rekenmateriaal b) zonder materiaal:

Leerlijn van bewerkingen: schematisch

Wanneer we van twee even lange rijen van vijf muntjes in één rij de muntjes uit elkaar schuiven en van het kind willen weten of het er nu nog steeds evenveel zijn, dan is de paarsgewijze overeenstemming (één-op-één-relatie, 1-1 relatie of 1-1 correspondentie of 1-1 verbinding) voor het kind een controle. -> De ene rij is langer, maar heeft toch niet meer muntjes. Kinderen gebruiken de correspondentie al voordat ze kunnen tellen

Leg uit hoe kinderen correspondentie kunnen gebruiken als controle

Sommige zien splitsen als voorwaarde om vlot te leren optellen en aftrekken tot 10 Volgens anderen is het splitsen echter moeilijker en abstracter dan optellen, waarmee de kinderen vanuit het tellen al enigszins vertrouwd zijn. Weer anderen zien het als een bijkomende visualisatie tijdens het optellen en aftrekken.

Leg uit waarom didactici het niet eens zijn over de functie van het splitsen bij het leren rekenen.

Wanneer iemand zes handdoeken heeft en er maar vier in de kast ziet liggen, weet hij dat er twee in gebruik zijn. Van belang is het inzicht dat de handdoeken in de kast een deel vormen van alle handdoeken die er zijn. De handdoeken maken deel uit van de klasse van handdoeken (het geheel van handdoeken)

Leg uit wat classificatie is a.d.h.v. handdoeken

kan door weg te schuiven, aan te raken, aan te wijzen (met een vinger of door te kijken); kan ook een overgang zijn van asynchroon naar synchroon tellen.

Manieren van ordenend tellen:

Materiaal: - Splitsfles, -doos, -molen - Rekenrek - Splitsgetalbeelden / afdekstroken Modellen en schema's - taart model - splitsmolen - splitshuisjes Tenslotte leiden al deze materialen en modellen naar een kale schematische voorstelling, nl. benenschema of een T-schema.

Met welke materialen, modellen en schema's wordt splitsen aangebracht?

1. Combinatiesituaties - statische situaties - deel en geheel 2. Veranderingssituaties - dynamische situaties - busmodel 3. Vergelijkingsopgaven 4. Directe en indirecte opgaven: stip- of vlekopgaven

Uit onze verhalen vinden we 3 belangrijke types opgaven die verschillen in het verband tussen de gegevens (semantische structuur).

Om een getal te kunnen gebruiken als rangordegetal (eerste, tweede, ...) is seriatie een belangrijke voorwaarde.

Voor wat is seriatie een belangrijke voorwaarde?

Het is duidelijk dat het begrijpen en toepassen van deze eigenschap niet alleen het aantal 'van buiten' te leren optellingen sterk reduceert. Bovendien worden 'moeilijke' opgaven als 2 + 7 gemakkelijker door de getallen van plaats te verwisselen. Het is immers gemakkelijker om vanaf het grootste getal te starten.

Waarom wordt de wisseleigenschap gebruikt bij optellingen?

Als kinderen inzien dat het laatst getelde getal de hoeveelheid aangeeft en geldt voor de verzameling voorwerpen wordt tellen resultatief.

Wanneer beschouwen we tellen als resultatief?

Stilaan krijgen de kinderen het één voor één tellen, één object per telwoord, synchroon aanwijzen onder de knie. Dan kunnen we spreken van synchroon tellen.

Wanneer spreken van we synchroon tellen

• discrimineren, inzicht krijgen/hebben in het belang van detailverschillen en impulsiviteit afremmen • shifting (kunnen variëren tussen verschillende oplossingsmogelijkheden/strategieën) • updating (opslag van tijdelijke gegevens en het herzien van deze gegevens als er nieuwe gegevens komen)

Wat blijkt een belangrijke rol te spelen in de ontwikkeling van getalbegrip en daarmee ook het tellen? (wat moet een kind kunnen?)

In deze fase is er voor het eerst sprake van echt tellen: de kinderen gaan een aantal voorwerpen tellen. Wanneer echter bepaalde vaardigheden, zoals het aanwijzen van voorwerpen, nog niet geautomatiseerd zijn, verlopen denken en handelen niet simultaan. Het kind wijst dan bv. meerdere voorwerpen aan of slaat een voorwerp over.

Wat is asynchroon tellen?

Wanneer de hoeveelheden geteld worden en ze voorgesteld worden door een getal, krijgen de symbolen een ruimere betekenis: < (is kleiner dan), > (is groter dan), = (is gelijk aan), ≠ (is niet gelijk aan). Hiermee kunnen nu (abstracte) getallen vergeleken worden. Wanneer meerdere hoeveelheden worden vergeleken, kunnen ze geordend worden naar aantal

Wat is een eerste stap in het opbouwen van de getallenlijn?

Aan de rangorde van afzonderlijke voorwerpen of gebeurtenissen kan men een getalnaam geven ('dit is de eerste, dat de tweede'). Dit noemen we een rangordegetal. Een rangordegetal verwijst enkel naar de positie van een element ten opzichte van de andere elementen in de getalrij, niet meer naar andere eigenschappen.

Wat is een rangordegetal? Wat is de functie van een rangordegetal?

Het is cruciaal dat kinderen veel concrete rekenervaringen blijven opdoen en dat ze tijdens het uitvoeren van rekenactiviteiten en /of -opdrachten begrijpen wat ze doen en waarom ze dat doen.

Wat is er cruciaal om tot het niveau van kaal / formeel aanvankelijk rekenen te komen?

Het verhoudingsaspect van de getallen (bv. 6 is het dubbel van 3) is op een getallenlijn echter niet aanwezig. Om het getalbegrip van de kinderen te verruimen is het belangrijk om ook dat aspect uit te diepen. Daarvoor is een getallenas nodig.

Wat is niet zichtbaar op een getallenlijn? Wat moet je dan gebruiken om datgene uit te diepen?

Bij grotere hoeveelheden gaan kinderen voorwerpen ordenen voor of tijdens het tellen door de voorwerpen één voor één te verschuiven of door ze tijdens het tellen gewoon weg te schuiven. Zo kan het bv. de getelde voorwerpen wegschuiven of ze in rijtjes leggen. Door geordend te tellen worden vergissingen voorkomen.

Wat is structurerend of ordenend tellen?

Subiteren is het snel herkennen van kleine aantallen.

Wat is subiteren?

het één voor één afgaan van de telrij.

Wat is tellen?

Om dit soort opgave op te lossen kunnen twee bewerkingen gebruikt worden. Dit maakt het oplossen ervan een stuk moeilijker. Belangrijk is om ze lang genoeg te blijven kaderen in een rekenverhaal, zodat de betekenis van het onbekende gegeven duidelijk wordt.

Wat maakt indirecte opgaven moeilijker? Wat is hierbij dan belangrijk?

De balans staat hier model. Het verschil wordt gevonden door aan te vullen of af te trekken. Het bepalen van het verschil wordt aangegeven door een minteken; het aanvullen met een plusteken.

Wat staat model bij een vergelijkingsopgave?

Het gaat in deze opgaven om twee afzonderlijke hoeveelheden die samen een derde, gecombineerde hoeveelheid vormen. De situaties zijn statisch, d.w.z. dat het gaat om momentopnames waarin niets gebeurt

Wat verstaan we onder combinatiesituaties - statische situaties - deel en geheel

In deze opgaven worden de optelling en de aftrekking geïnterpreteerd als een verandering van de beginhoeveelheid. Het gaat hier dus over dynamische situaties. Dergelijke situaties worden gekenmerkt door een opeenvolging van gebeurtenissen: eerst, dan, nu. Het getal dat de verandering aanduidt is de operator.

Wat verstaan we onder Veranderingssituaties - dynamische situaties - busmodel

Algemeen wordt gesteld dat de periode van het ...de fase in de rekenontwikkeling is waarin kinderen leren rekenen met één-cijfer-getallen. In deze periode komt eveneens het formele rekenen in beeld, d.i. het 'kale' rekenen, zuiver rekenen met getallen en andere rekensymbolen.

Wat verstaan we onder aanvankelijk rekenen?

eigenschappen die gelijk blijven ondanks veranderingen; kunnen conserveren betekent het 'logisch' doorzien van misleiding in de waarneming, kunnen afzien van niet-relevante kenmerken en van hoe iets er op het eerste gezicht uitziet

Wat verstaan we onder conservatie

... verwijst naar een kwantitatieve relatie. Hierbij valt het accent op het vergelijken van aantallen.

Wat verstaan we onder correspondentie?

Directe opgaven (rechtdooropgaven) zijn bewerkingen van de vorm a + b = ...... en a - b = ...... Dergelijke opgaven zijn de meest evidente en voor kinderen de gemakkelijkste.

Wat verstaan we onder directe opgaven?

2 vormen a + ... = c en ... + b = c a - ... = c en ... - b = c

Wat verstaan we onder indirecte opgaven?

Naarmate kinderen meer ervaringen opdoen met het tellen, komen ze tot het besef dat er kortere manieren zijn om hoeveelheden te bepalen.

Wat verstaan we onder resultatief verkort tellen?

Analoog aan het werken met dubbelsommen worden nu de buren gezocht van de verdwijnsommen (a - a = 0). De bijna-verdwijnsommen hebben dus als uitkomst 1.

verdwijnsommen / bijna verdwijn sommen

... ligt in het verlengde van classificeren. Bij ... worden de individuele kenmerken van de elementen binnen een bepaalde klasse ter beschouwing genomen. ... is het vermogen om objecten in een volgorde te rangschikken volgens het aspect waarop deze objecten onderling verschillen binnen eenzelfde klasse.

wat is seriatie