Endimensionell analys kapitel P

Normal till en RL l genom 1 punkt P på l

1 RL som går genom P och bildar en ⊥ med L. Om har 1 RL l och 2 normaler till denna, är de 2 likbelägna vinköarna ⊥ (räta). Parallellaxiomet ger då att normalerna är ‖.

Sats 14: Bisektrissatsen

1 bisektris till 1 vinkel i 1 ∆ delar motstående sida i 1 förh¨llande som är = kvoten av de övriga sidornas längder enligt: a/b = x/y.

Def. 2: enhetscirkeln

1 cirkel med radien 1 och emdelpunkten i origo i 1 rätvikligt KS = enhetscirkeln. 1 vinkel i EC = 1 reellt tal α som motsvarar 1 vridning av 1 radie med utgångspunkt från den positiva delen av x-axeln där vinkeln definieras som 0⁰. Positiva vinklar motsvaras av vridning moturs och negativa vinklar av vridning medurs.

Def. 7: parallelltrapets

1 fyrhörning där 2 motstående sidor är ‖.

Def. 7: romb

1 fyrhörning där alla sidor är lika långa.

Def. 7: kvadrat

1 fyrhörning där alla vinklar är ⊥ och alla sidor lika långa.

Def. 7: rektangel

1 fyrhörning där alla vinklar är ⊥.

Def. 7: parallellogram

1 fyrhörning där motstående sidor är ‖.

Def. 11: diameter

1 korda som går genom medelpunkten = 1 diameter.

Def. 2: strålar

1 punkt på 1 RL delar linjen i 2 delar som kallas detta.

Sats 18: randvinkelsatsen

1 randvinkel = hälften så stor som medelpunktsvinkeln på samma cirkelbåge.

Sats 5

1 rektangel är en parallellogram. 1 romb är en parallellogram.

Radie

1 sträcka från medelpunkten till cirkeln = radie.

Def. 11: korda

1 sträcka mellan 2 punkter på cirkeln kallas för 1 korda.

Sats 21

1 tangent till 1 cirkel = vinkelrät mot radien till tangeringspunkten.

Sats 13: topptriangelsatsen

1 transversal som är ‖ med 1 sida i 1 ∆ skär av 1 topptriangel, som är likformig med den stora ∆.

Sats 12: Transversalsatsen

1 transversal, som är ‖ med 1 sida i 1 ∆, delar de övriga sidorna i lika förhållande. Sträckan p ‖ sträckan q => a/b = c/d. (Omvändninfen till transversalsatsen gäller också: om 1 transversal delar sidorna i lika förhållande, så är transversalen p ‖ med sidan q).

Def. 4: (T.4)

1 vinkel i EC är x radianer om motsvarande båglängd är x längdenheter.

Sats 4: yttervinkelsatsen

1 yttervinkel till 1 ∆ = summan av de 2 motstående vinklarna, d.v.s δ = α + γ, δ = yttervinkel till ∆.

Sats 15-17: likformighetsfall SVS, SSS, och VV

15: Om 2 sidor i 1 ∆ är proportionella mot 2 sidor i 1 annan ∆ och mellanliggande vinkel är lika, så är trianglarna likformiga. ∠C = ∠C' b'/b = a'/a => ∆ABC ∼ ∆A'B'C' 16: Om sidorna i 1 ∆ är proportionella mot sidorna i 1 annan ∆, så är trianglarna likformiga. a'/a = b'/b = c'/c => ∆ABC ∼ ∆A'B'C' 17: Om 2 vinklar i 1 ∆ = 2 vinklar i 1 annan ∆, så är trianglarna likformiga. ∠C = ∠C' ∠A = ∠A' => ∆ABC ∼ ∆A'B'C'

Def. 1: linjer

2 linjer sägs skära varandra om de har 1 punkt gemensam. 2 räta linjer = parallella om de ej skär varandra i högst en punkt, >1 = 1 linje. 2 RL antingen skär varandra eller är II.

Def. 3: räta vinklar

2 räta vinklar (90⁰+90⁰) uppkommer då 2 sidovinklar är lika stora.

Def. 2: vinklar

2 strålar, som utgår från samma punkt P, bildar 2 vinklar.

Definition 4: kongruens

2 ∆ är kongruenta om vinklarna respektive sidorna i den ena ∆ = motsvarande vinklar respektive sidor i en andra. 1 ∆ = kongruent med sig själv. Konvention: Om hörnen i 2 ∆ är namngivna med bokstäver används följande konvention: Skrivsättet ∆ABC ≅ ∆A'B'C' betyder att de 2 ∆ är kongruenta, samt anger vilka sidor och vinklar som är lika genom ordningsföljden av bokstäverna ABC och A'B'C'. Det gäller att: AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C', samt att α = α', β = β', γ = γ'.

Def. 10

2 ∆ är likformiga om: -> varje vinkel i den ena ∆ är lika stor som motsvarande vinkel i den andra -> kvoten av motsvarande sträckors längder är lika stora. Dessutom är 1 ∆ likformig med sig själv. Säger även att de 3 sidorna i den ena ∆ är proportionella mot motsvarande sidor i den andra. 2 ∆ är likformiga om alla vinklar stämmer överens och motsvarande sträckor är proportionella.

Def. 2: triangel

3 punkter, triangelns hörn (som ej ligger på samma linje) + 3 sträckor mellan punkterna (triangelns sidor).

Definition 6: fyrhörning

4 punkter (hörnen), och 4 sträckor mellan dessa (sidorna), så att det till varje hörn går precis 2 sträckor. Vinkeln mellan 2 sidor ≠ 180⁰ och ingen sida får skära någon anna (utom i hörnen).

Definition 5: cirkel

Alla punkter som ligger på 1 givet avstånd r från 1 given punkt, som kallas medelpunkten, eller centrum.

Def. 8: regelbunden n-hörning

Alla sidor deusstom är lika långa och alla vinklar är lika stora.

Sats 1: areasatsen

Arean av 1 ∆ = halva produkten av 2 sidors längder multiplicerat med sinus för mellanliggande vinkel. Triangelarean T = (bc/2)sinα.

Sats 9

Arean av 1 ∆ med basen b och höjden är T = bh/2.

Lemma 1

Areorna hos 2 ∆ med samma höjd förhåller sig som baserna (kvoten mellan areorna = kvoten mellan baserna).

Avståndet mellan 2 geometriska objekt

Brukar def. som det kortaste avståndet man kan finna genom att mäta från varje punkt på det ena objektet till varje punkt på det andra. Om ett sådant avstånd ej existerar def. avståndet som det största tal som är mindre än längderna av alla sträckor som finns mellan 1 punkt på vardera objekt.

Def. 2: sträcka

Den del av 1 rät linje som finns mellan 2 givna punkter på linjen inklusive punkterna.

Höjden

Den vinkelräta sträckan mellan basen (ev. 1 förlängning av denna) och motstående hörn.

Axiom 5

Det finns 1 entydigt areabegrepp som är additivt och sådant att kongruenta ∆ har samma area samt att 1 rektangel med sidolängderna a och b har arean ab.

Följdsats 3

Diagonalerna i 1 parallellogram delar varandra mitt itu.

Sats 5: (T.4)

Då x mäts i radianer gäller: sinx < x < tanx, då 0 < x < π/2.

Sats 4: (T.4)

För 1 cirkel med radien r gäller: cirkelns omkrets, P = 2πr, cirkelns area, A = πr².

Axiom 3: de 3 kongruensfallen

För att undvika ett förflyttningsaxiom används detta. 2 ∆ är kongruenta om de överensstämmer i något av följande fall: 1. 2 sidor och mellanliggande vinkel (kongruensfall SVS). Kända vinkeln ligger mellan de 2 kända sidorna. 2. Alla sidor (kongruensfall SSS). 3. 2 vinklar och mellanliggande sida (kongruensfall VSV). (4. Om 2 sidor och 2 vinkel, som ej är mellanliggande, är = motsvarande element i 1 annan ∆ och dessutom motsvarande vinklar i de båda ∆ är båda antingen spetsiga, trubbiga, eller ⊥, så är trianglarna kongruenta.

Def. 3 (T.2)

Givet 1 vinkel α i EC och tillhörande radie. Låt P:(p,q) vara punkten där radien träffar cirkeln. De trigonometriska funktionerna cosinus och sinus av vinkeln α def.s som koord. för punkten P, dv.s: (cosα,sinα) = (p,q). Vidare def.s= tanα = sinα/cosα, då cosα ≠ 0. cotα = cosα/sinα, då sinα ≠ 0.

Följdsats 3 (P.6)

I 1 fyrhörning som är inskriven i 1 cirkel är summan av motstående vinklar = 180⁰.

Bas

I 1 godtycklig ∆ brukar man välja ut 1 sida och kalla denna för detta. Använder ordet bas även för längden av denna sträcka.

Sats 6: parallellogramsatsen

I 1 parallellogram är såväl motstående sidor som motstående vinklar lika stora.

Sats 10: pytagoras sats

I 1 rätvinklig ∆ är kvadraten på hypotenusan = summan av kvadraterna på kateterna, d.v.s c^2 = a^2 + b^2. Om vet 2 sidor i en rätvinklig ∆ så bestämmer PS den 3:dje sidan entydigt.

Def. 1 (T.1)

I 1 rätvinklig ∆: sinα = motstående katet/hypotenusan tanα = motstående katet/närliggande katet cosα = närliggande katet/hypotenusan.

Sats 2: sinussatsen

I 1 ∆ med sidorna a, b, c och motstående vinklarna α, β, γ gäller: sinα/a = sinβ/b = sinγ/c.

Transversal

I 1 ∆ är 1 RL som skär genom ∆ men ej ngt hörn.

Kateter och hypotenusa.

I rätvinkliga ∆ är de 2 sidorna somm bildar den räta vinkeln för detta. Den återstående sidan = hypotenusa.

Def. 11: cirkelbåge

Kallas 1 del av cirkeln som finns mellan 2 punkter på cirkeln inklusive punkterna.

Förflyttningsaxiom

Kan vrida den ena ∆ och ev. även lyfta upp den från klanet, vända den, och lägga ned den utan att sträckorna förändras.

Def: avståndet mellan 2 punkter A och B

Längden av sträckan mellan dem. AB=BA betecknar såväl sträckan mellan punkterna som avståndet mellan dem.

Def. 13

Man säger att 1 polugon omskriver 1 cirkel, alt. att 1 cirkel är inskriven i 1 polygon, om polygonens alla sidor är tangenter till cirkeln.

Cirkelskiva

Mängden av alla punkter innanför cirkeln (ev. inklusive cirkeln själv) kallas detta. Randen till denna mängd = cirkeln. Ibland ser man "cirkelns periferi"/"cirkelns rand", vilka betyder cirkeln själv.

Följdsats 2

Om 2 RL är ‖ så är det vinkelräta avståndet detsamma oavsett från vilken punkt på den ena linjen man mäter avståndet till den andra.

Sats 19: kordasatsen, inre fallet

Om 2 kordor skär varandra inuti 1 cirkel så är produkten av den ena kordans 2 delar = produkten av den andra kordans 2 delar. ab = cd.

Sats 7: satsen om likbent triangel

Om 2 sidor i 1 ∆ är lika långa (likbent ∆) är de båda motstående vinklarna lika stora.

Sats 8: basvinkelsatsen

Om 2 vinklar i 1 ∆ är lika stora så är de båda motstående sidorna lika stora.

Axiom 2: parallellaxiomet

Om 2 ‖ linjer skärs av 1 3:dje är likbelägna vinklar lika stora. Omvänt gäller att om det finns 2 lika stora likbelägna vinklar, som uppkommer då 1 linje skär 2 andra, så är de 2 senare linjerna ‖. l1‖l2 <=> α=δ.

Sats 11: omvändningen till PS

Om det i 1 ∆ med sidolängderna a, b och c gäller att a^2 + b^2 = c^2, så är triangeln rätvinklig där den räta vinkeln står mot sidan c.

Sats 20: kordasatsen, yttre fallet

Om förlängningen av 2 kordor skär varandra utanför cirkeln, så gäller det att: ab = cd.

Area

Om man till varje given yta i planet förknippar 1 positivt reellt tal, arean, så kan man jämföra storleken av 2 ytor även om den ena inte innegåller den andra. Arean av 1 figur ska vara entydigt bestämd. 1 självklart krav är att 2 kongruenta trianglar ska ha samma area. Om 1 figur delas i 2 delar ska summan av areorna av delarna = hela figurens area, d.v.s arean ska vara additiv. Bestämma arean av 1 godtyckligt område som begränsas av 1 sluten polygon. 1 sådant område kan delas upp i trianglar. Här framgår vikten av att areabegreppet är entydigt. Ofta kan polygonen delas upp i ∆ på flera olika sätt. Alla ska ge samma värde på arean. Kongruenta polygoner har samma area.

Sats 3: cosinussatsen

Om sidorna i 1 ∆ är a, b, c och den till sidan a motstående vinkeln är α, gäller: a² = b² + c² - 2bccosα.

Def. 2: vinkelspets

Punkten V.

Följdsats 2 (P.6)

Randvinkeln på 1 halvcirkel är ⊥.

Följdsats 1 (P.6)

Randvinklar som står på samma både är lika stora.

Axiom 1: Elementära räknelagar för reella tal gäller.

Sräckor kan tilldelas pos. reella tal, som kallas längder, så att de är additiva - om 1 sträcka med längden l delas i 2 delar med längderna l1 respektive l2, så gäller: l = l1 + l2. Även vinklar kan tilldelas pos. reella tal, och de är additiva. Enhet för vinkel = grader.

Def. 2: vinkelben

Strålarna på diagrammet.

Def. 9

Säger att 1 cirkel omskriver 1 polygon, alt. att 1 polygon är inskriven i 1 cirkel, om polygonens alla hörn ligger på cirkeln.

Def. 11: randvinkeln

Till 1 cirkelbåge def. medelpunktsvinkeln och randvinkeln så att cirkelbågen ligger i dessa fält. Randvinkeln = kallas den vinkel vars spets ligger på cirkeln utanför cirkelbågen och vars vinkelben är kordor till cirkelbågens ändpunkter. Säger ibland bågvinkel eller periferivinkel.

Def. 11: medelpunksvinkeln

Till 1 cirkelbåge def. medelpunktsvinkeln och randvinkeln så att cirkelbågen ligger i dessa fält. medelpunktsvinkeln = kallas den vinkel vars spets finns i medelpunkten och vars vinkelben är radier till cirkelbågens ändpunkter.

Axiom 4

Till 1 given punkt på 1 avstånd r finns det 1 cirkel med Å som medelpunkt och r som radie.

Sats 1: vertikalvinkelsatsen

Vertikala vinklar är lika stora.

Def. 2: vinkelfält

Vinkelbenen delar planet i 2 områden som kallas detta.

Följdsats 1

Vinkelsumman i 1 fyrhörning = 360⁰.

Sats 3

Vinkelsumman i 1 ∆ = 180⁰.

Def. 3: alternatvinklar

a och b.

Def. 3: likbelägna vinklar

a och b.

Sats 2

l1‖l2 <=> γ=δ (alternatvinklar är lika). När använder någon av ekvivalenserna i axiom 2 eller sats 2 refererar vi till "parallellaxiomet".

Def. 8: n-hörning alt. månghörning eller sluten polygon

n = 1 heltal>2. 1 figur som består av n stucken punkter (hörnen) och sträckor mellan dessa (sidorna), så att det till varje punkt går precis 2 sträckor. Vinkeln mellan 2 sidor ≠ 180⁰ och ingen sida får skära någon annan (utom i hörnen).

Def. 3: vertikalvinklar

v och u.

Def. 3: sidovinklar

α och β. α+β = 180⁰.

Symboler

∆ = triangeln ∠ = vinkeln ‖ = är parallell med ⊥ = är vinkelrät mot ∼ = är likformig med ≅ = är kongruent med