MATEMATICAS

Función Seno

- Dom: reales - Rec: [-1,1] - Período: 2πrad (360º) - Valor máx: 1 - Valor min: -1 - Función de tipo impar.

Función Coseno

- Dom: reales - Rec: [-1,1] - Período: 2πrad - Valor máx: 1 - Valor mín: -1 - Función de tipo par.

Casos especiales función logarítmica

- Logaritmo con base 10 o común - Logaritmo natural o con base e = lnx = LogeX

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

- Si f '(c) = 0 y f "(c) > 0, la función tiene un mínimo local en el punto (c, f(c)). - Si f '(c) = 0 y f "(c) < 0, la función tiene un máximo local en el punto (c, f(c))

Técnicas para cálculo de límites

- Técnica de cancelación. - Técnica de racionalización.

Valores máximos y mínimos absolutos

- Una función f tiene un mínimo absoluto en x = c si f(c) es menor o igual a f(x) para todo x en el dominio de f. - Una función f tiene un máximo valor absoluto en x = d si f(d) es mayor o igual a f(x), para todo x en el dominio de f.

Factor multiplicativo de x (w)

- Velocidad angular o pulsación - Se asocia con el valor de T - También con la frecuencia = IwI / 2π

Máximos y mínimos locales

- f tiene un máximo local en c, si hay un intervalo abierto I que contiene a c, en el que f(c) es mayor o igual a f(x) para toda x en I. - f tiene un mínimo local en c, si hay un intervalo abierto I que contiene a c, en el que f(c) es menor o igual a f(x) para todo x en I.

Casos especiales de función exponencial

- f(x)= 10^x exponencial base 10 - f(x)= e^x --> exponencial natural

La derivada como función

A f(x) se le asociará una nueva función f´(x), llamada derivada de f(x):

Funciones monótonas

Con f continua en [a,b] y diferenciable en (a,b) => - si f'(x) >0 para toda x en (a,b), => f es creciente en [a,b] - si f'(x) < 0 para toda x en (a,b), => f es decreciente en [a,b]

Gráfico función logarítmica

Creciente cuando b>1

Fase

Da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide ya que nos permite calcular el desfase: - si el desfase es >0 la curva se desplaza a la derecha. - si es < 0 se desplaza a la izquierda.

Gráfico función logarítmica

Decreciente cuando 0<b<1

B: traslación vertical

Define eje horizontal sobre el cual oscilará la función.

De dónde surge el concepto de derivada?

Del problema de definir rectas tangentes a la gráfica de una función y el cálculo de las pendientes de dichas rectas.

División sintética

Dividir : p1(x) = 2x^3 - 7x^2 + 5 p2(x)= x-3 resultado: (x-3) (2x^2 - x -3) - 4

.Función logarítmica dominio y recorrido

Dom en los reales positivos y Rec en los reales, si la función logarítmica de base be pertenece a los reales positivos menos el 1.

Límite

El límite de f(x) cuando x tiende a c, es igual a L, significa que f(x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L siempre que x esté lo suficientemente cerca de c pero no sea = a c.

Concavidad

Función en intervalo I - Si el gráfico de f(x) está arriba de todas sus rectas tangentes en un intervalo I, es concaba hacia arriba en I. - Si el gráfico de f(x) está debajo de todas sus rectas tangentes en un intervalo I, es cóncava hacia abajo en I.

Función logarítmica

Función inversa de la función exponencial

Interpretación de la derivada como pendiente de una tangente

Geométricamente, se interpreta a la recta tangente a la curva y = f(x) en (a, f(a)) como la recta que pasa por ese punto, cuya pendiente es igual a la derivada de f(x)

Definición 1

La recta tangente de la curva y = f(x) en el punto P(x, f(x)) es la recta que pasa por P y cuya pendiente es: Siempre que exista límite.

Existencia del limite de f(x)

Los dos límites laterales deben ser iguales para que el límite exista.

Ejemplo f(x) = x^4 - 8x^2 + 2: Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Nota*: para sacar los puntos críticos, se evalúa la función, con los valores críticos, NO la primera derivada.

Valor crítico de una función f

Número c en el dominio de f, tal que f'(x) = 0, o bien la derivada de f no existe. Si f tiene un extremo local en c, c es un valor crítico de f. (c,f(c)) es el punto crítico

Función exponencial

Para a distinto de uno, f(x) tiene dominio en los reales y recorrido en los reales positivos.

Raíces de un polinomio

Polinomio de grado n tendrá a lo más n raíces y cortará en a lo más n puntos

Punto de inflexión

Punto P de inflexión si en él, la curva pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.

Asíntota vertical

Q(x) = 0 y se sacan los valores de x.

Cálculo de límite: método de sustitución

Reemplazar, siempre que sea posible, directamente el valor de x = c

Cálculo de límites: formalizando

Se calcula el límite de una función f(x) como el límite de una nueva función g(x), ya que ambos limites pueden ser iguales cuando x tiende a c, si ambas funciones tienen comportamientos similares.

Límites laterales: derecho

Se le llama así al límite de f(x) cuando x tiende a c por la derecha.

Límites laterales:

Se le llama así al límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda.

Regla de la cadena

Sea la función F(x)= f(g(x)) su derivada será = f´(g(x))g´(x)

Derivada de un producto de funciones

Si F(x) = f(x) x g(x) con esas funciones derivables, entonces: la primera función derivada por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la segunda función derivada.

Derivada de un cuociente

Si F(x) = f(x)/g(x) y estas funciones son derivables => la derivada de la función F(x) será igual a: la segunda sin derivar por la primera, derivada, menos la primera sin derivar por la segunda, derivada y todo eso dividido por el cuadrado de la segunda función.

Criterio de la primera derivada

Si c es un valor crítico de la función contínua f(x) => - Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f(x) tiene un valor máximo local en x = c. - Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, => f(x) posee un mínimo local en x = c. - Si f'(x) no cambia de signo en c, f(x) no tiene extremo local en x = c.

Criterio de la segunda derivada para el punto de inflexión

Si f "(c) = 0 y además hay un cambio de concavidad en el punto (c, f(c)), se dice que dicho punto es un punto de inflexión de la función

Derivadas de funciones logarítimicas

Si f(x) = logaX => f´(x) = 1/xlna f(x) = lnx => f´(x) = 1/x

Propiedades de las derivadas

Si f(x) y g(x) son funciones derivables y c es una constante =>

Derivadas funciones exponenciales

Si la base de f(x) es e => f´(x)= e^x Si la base es un número real a > 0 => f´(x)= a^xlna

Asíntota vertical con límite infinito

Si, f(x) tiene al infinito o al menos infinito, cuando x tiene a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x = c, es una asíntota vertical de la gráfica de f(x)

Amplitud

Valor máximo de desplazamiento de la curva en la función periódica, es lo que multiplica al sen/cos.

Derivada de una función constante

f(x) = c => f´(x) = 0

Derivada de potencias

f(x) = x^n

Ejercicio: determinar la derivada de f(x) por definición

f(x)= √(x-3)

Derivadas de segundo orden

f´(x) también es derivable, dicha derivada se representa como f´´(x) y es llamada segunda derivada de f(x)

Concepto de infinito

se usa para representar una cantidad que se vuelve grande o pequeña mas allá del límite finito. Límites infinitos:

Unicidad del límite

si el límite existe, es único.

Prueba de concavidad

si f''(x) > 0 para todo x que pertenece a I --> cóncava hacia arriba en I. Si f''(x) < 0 para todo x que pertenece a I --> cóncava hacia abajo en I.

Asíntota horizontal

valor al que se aproxima la variable cuando x --> ∞