Matematyka do liceum

Na ile sposobów możemy usadzić 3 osoby z grupy 5 osobowej na 3 osobowej kanapie ?

(5 nad 3)*3!

Jak wyglada przykładowy dwumian ?

(x - 1)

Jaki jest wsp. kierunkowy prostej prostopadłej do y=m*x +b ?

-1/m

Ile wynosi 0! ?

1

Co to jest jedynka trygonometryczna ?

1 = sin^2(a) + cos^2(a). Można to łatwo wyprowadzić z twierdzenia Pitagorasa na okręgu jednostkowym

Jakie są Krzywe stożkowe ?

1. Okrąg 2. Parabola 3. Elipsa 4. Hiperbola

Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 3 orłów w 5 rzutach moneta ?

1.Ilość wszystkich kombinacji monet to 2^5 = 32 2. Z pięciu rzutów wybieramy 3 które będą orłami : (5 nad 3)=10. Z pozostałych 2 rzutów wybieramy 2 które będą resztkami: (2 nad 2)=1 3. Prawdopodobieństwo wynosi (10*1)/32

Jakie jest prawdopodobieństwo wygrania 6-tki w totka ?

1/(49 nad 6)

Jaka jest pierwsza liczba pierwsza :) ?

2

Co jest potrzebne do zdefiniowania płaszczyzny ?

3 punkty które nie są wspołliniowe

Czym się różni szereg od ciągu ?

Ciąg to zbiór odpowiednich kolejnych liczb, natomiast szereg to suma tych liczb

Jaki jest wzór na wyróżnik (deltę) równania kwadratowego ?

Delta = b^2 - 4*a*c

Jakie jest twierdzenie o bokach trójkąta ?

Długość dowolnego boku musi być mniejsza od sumy długości pozostałych boków

Co to jest ułamek wymierny ?

Gdy licznik i mianownik są liczbami całkowitymi.

Jakie wymiary musza mieć dwie macierze by dozwolony był ich iloczyn ?

Ilość kolumn pierwszej macierzy musi być równa ilości wierszy drugiej macierzy.

Jak jest zdefiniowana liczba e ?

Jako granica przy n dążącym do nieskończoności : (1 + 1/n)^n

Jakie jest prawdopodobieństwo iloczynu niezależnych zdarzeń losowych ?

Jest równe iloczynowi prawdopodobieństw

Jaki jest wykres funkcji odwrotnej ?

Jest symetryczny względem prostej y=x

Jaki jest okres funkcji f(x) = sin(ax) ?

Jest to 2Pi/abs(a). Można na to spojrzeć jak: sin(aT), aT = 2Pi, gdy a = 1, T =2Pi, T = 2Pi/ abs(a)

Dlaczego odejmowanie liczby ujemnej równa się jej dodaniu ?

Jest to analogia do zabrania długu na koncie w banku tak aby balans wynosił zero, np. -100 zł - (-100 zł) = 0. Lub wynika to prosto z definicji, że a-a=0, gdy podstawimy pod a liczbę ujemną to dwa minusy muszą dać plus.

Co to jest mnożenie dwóch macierzy ?

Jest to macierz, której elementami jest iloczyn skalarny kolejnych wierszy pierwszej macierzy i kolejnych kolumn drugiej macierzy ?

Co to jest radian ?

Jest to miara kata w okręgu, dla którego długość łuku wynosi promień

Co to jest twierdzenie cosinusów ?

Jest to uogólnione twierdzenie Pitagorasa c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(alfa).

Co to jest hiperbola ?

Jest to zbiór punktów, których moduł różnicy odległości od dwóch punktów (ognisk) jest stały.

Co to jest elipsa ?

Jest to zbiór punktów, których suma odległości od dwóch punktów (ognisk) jest stała.

Jaki jest wzór na szereg arytmetyczny ?

Jest to średnia arytmetyczna pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożona przez ilość wyrazów : S_n=n*(a_1+a_n)/2

Jaki wykres będzie miała funkcja g(x) = f(Ax) ?

Jeżeli A > 1 to funkcja będzie A-razy bardziej ściśnietą do osi OY. Jakby to była funkcja okresowa to jej okres byłby A-razy mniejszy. Jeżeli A < 1 to funkcja będzie A-razy rozciągnięta w stosunku do osi OY

Dlaczego ujemna potęga to odwrotność podstawy podniesiona do dodatniej potęgi ?

Jeżeli mamy a^x/a^y oraz x < y to 1. z jednej strony po skróceniu zostanie 1/a^{y-x)} 2. z drugiej strony korzystając z własności potęgowania zostanie a^(x-y) = a^{-(y-x)}

Co to jest iloczyn skalarny wektorów ?

Jeżeli mnożymy skalarnie n-elementowe krotki (wektory) to wynik odpowiada sumie iloczynów odpowiadających elementów w krotkach

Dlaczego w trojkącie prostokątnym, długość boku na przeciwko kata 30 stopni wynosi polowe przeciwprostokątnej ?

Jeżeli złożymy dwa takie trójkąty obok siebie, utworzymy trójkąt równoboczny z którego jasno wynika ta równość

Jakie jest twierdzenie o kacie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku ?

Kat środkowy jest 2x większy.

Kiedy liczba jest podzielna przez 6 ?

Kiedy jest podzielna przez 2 i 3 jednocześnie

Kiedy wyrażenie jest wielomianem ?

Kiedy jest sumą czynników o postaci Ax^n gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą.

Kiedy liczba jest podzielna przez 4 ?

Kiedy liczba stworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4

Kiedy liczba jest podzielna przez 3 ?

Kiedy suma cyfr jest podzielna przez 3

Kiedy liczba jest podzielna przez 9 ?

Kiedy suma cyfr jest podzielna przez 9

Dlaczego dzielenie 0 przez 0 jest nieokreślone ?

Korzystając z własności : 1. x/y * y = x 2. x * 0 = 0 x = 0 x/0 =k -> 0/0 = k -> 0 = k*0, co jest spełnione dla dowolnego k

Co to jest macierz N x M ?

Ma N-wierszy i M-kolumn

Co to jest macierz jednostkowa i jaka ma własność ?

Macierz, która na diagonalnej ma jedynki a pozostałe elementy są zerami. Dowolna macierz po wymnożeniu przez macierz jednostkowa (z dowolnej strony) daje w rezultacie te sama macierz

Jaka jest intuicja za wzorem na pole koła ?

Mozemy przybliżać pole koła za pomocą wpisanego wielokąta foremnego złożonego z wielu trójkątów. Suma pól trójkątów przy ich ilości zmierzającej do nieskończoności powinna dać dokładne pole koła

Dlaczego dowolna liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1 ?

Można mieć intuicję że np. 2^2 to 1*2*2, a 2^0 to nie ma ani jednego dodatkowego mnożenia x2, a więc zostaje samo 1

Jaki wymiar ma macierz powstała z iloczynu macierzy N x M oraz macierzy M x K ?

N x K

Na czym polega dodawanie / odejmowanie dwóch macierzy ?

Na dodawaniu / odejmowaniu odpowiadających elementów w obu macierzach

Na czym polega mnożenie macierzy przez skalar ?

Na mnożeniu przez ten skalar każdego elementu macierzy

Jak znaleźć największy wspólny dzielnik ?

Należy rozłożyć liczby na czynniki pierwsze i wymnożyć te czynniki, które są wpólne dla wszystkich liczb.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb ?

Należy te liczby rozłożyć na czynniki pierwsze i NWW składać się będzie z iloczyny najmniejszej liczby czynników pozwalających skontruować te liczby, np: NWW(25,30) = 5x5x2x3

Czy mnożenie macierzy jest przemienne (zakładając zgadzające sie wymiary) ?

Nie

Czy mnożenie macierzy jest przemienne ?

Nie jest.

Jest jeden prosty sposób na pisemne dzielenie przez liczbę co najmniej dwucyfrową ?

Nie ma, trzeba za każdym razem oszacowywać i weryfikować ile całych wielokrotności zmieści się w danej liczbie

Czy można dodawać / odejmować macierze o różnych wymiarach ?

Nie można.

Podaj przykład jednomianu.

Np. 5x^8 , ma jeden czynnik

Od czego zależy ilość rozwiązań równania kwadratowego ?

Od wartości wyróżnika (delty): a) 2 rozwiązania jeżeli delta > 0 b) 1 podwójne rozwiązanie jeżeli delta = 0 c) brak rozwiązań jeżeli delta < 0

Jakie jest prawdopodobieństwo iloczynu zależnych zdarzeń A i B ?

P(A i B)=P(A | B)*P(B)

Ile wynosi P(A lub B) ?

P(A) + P(B) - P(A i B)

Jaka jest zasada pisemnego dzielenia wielomianów ?

Po pierwsze zawsze pamiętamy o dziedzinie. Po drugie, przy dzieleniu patrzymy tylko jaka wielokrotność najwyższej potęgi z dzielnika zmieści się w kolejnych czynnikach dzielnej. Samo dzielenie wykonujemy analogiczne do zwykłego pisemnego dzielenia. Jeżeli reszta ma mniejszy stopień od dzielnika to kończymy

Dlaczego mnożenie dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnia ?

Po wprowadzeniu liczb ujemnych, operacje artymetyczne na nich muszą być spójne ze znaną nam matematyką. Stąd można to wyprowadzić korzystając z 2 własności: 1. rozdzielności mnożenia względem dodawana 2. suma liczb przeciwnych daje 0 3. mnożenie przez 0 daje 0 Przykład: (-2)x(3 - 3) = 0, a więc (-2)x3 + (-2)x(-3) = 0. Wiemy (z analogicznego dowodu), że (-2)x3=-6 a więc (-2)x(-3) musi wynosić 6

Dlaczego mnożenie liczby dodatniej i ujemnej daje liczbę ujemną ?

Po wprowadzeniu liczb ujemnych, operacje artymetyczne na nich muszą być spójne ze znaną nam matematyką. Stąd można to wyprowadzić korzystając z 3 własności: 1. rozdzielności mnożenia względem dodawana 2. suma liczb przeciwnych daje 0 3. mnożenie przez 0 daje 0 Przykład: 2x(3 - 3) = 0, a więc 2x3 + 2x(-3) = 0 a więc 2x(-3) musi wynosić -6

Dlaczego dzielenie niezerowej liczby przez 0 jest niezdefiniowane ?

Ponieważ mianownik może być bliski zero od dodatniej lub ujemnej strony a wiec wynik to plus lub minus nieskończoność

Dlaczego pierwiastek kwadratowy z rzeczywistej liczby ujemnej nieistnieje ?

Ponieważ wiemy ze mnożenie dwóch tych samych liczb dodatnich daje liczbę dodatnia, oraz wiemy (z własności rozdzielności mnożenia względem dodawania) ze mnożenie dwóch (tych samych) liczb ujemnych daje liczbę dodatnia. Pierwiastek kwadratowy z definicji mówi nam, ze szukamy liczby która podniesiona do kwadratu da nam liczbę pod pierwiastkiem - stad sprzeczność.

Jak udowodnić że pierwiastek z 2 jest liczbą niewymierną ?

Poprzez dowód nie wprost. 1. Załóżmy że pierw(2) jest liczbą wymiarną a więc pierw(2) = m/n gdzie m i n są względnie pierwsze. 2. m^2/n^2 = 2 -> m^2 = 2n^2, a więc m^2 musi być parzyste a więc samo "m" musi być parzyste 3. zapiszmy m jako 2k i podstawymy: (2k)^2 = 2n^2 -> n^2 = 2k^2 a więc n jest parzyste i nie jest wtedy względnie pierwsze z m co jest sprzecznością

Co należy podawać przy wynikach odwrotności funkcji trygonometrycznych na arcsin ?

Przeciwdziedzinę, aby funkcja odwrotna zwracała tylko jedna wartość dla funkcji okresowej

Na co należy uważać przy rozwiązywaniu równań pierwiastkowych ?

Przy podnoszeniu do kwadratu obu stron równania gubimy znak minusa, tak wiec wszystkie rozwiązania trzeba sprawdzać z początkowym równaniem i wybrać te pasujące

Jakie jest twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu ?

Reszta z dzielenia P(x) /(x -a) wynosi P(a). Dowód: 1.P(x)=Q(x)*(x-a)+R 2.P(a)=Q(a)*(a-a)+R = R

Jaki jest wzór na szereg geometryczny ?

S_n=a_1*[(1-r^n)/(1-r)]

Co jest potrzebne do znania na pamięć do sprawnego dzielenia ?

Tabliczka mnożenia jako że mnożenie jest operacją odwrotną do dzielenia.

Czy mnożenie macierzy jest łączne : Ax(BxC) = (AxB)xC ?

Tak

Czy zawsze można przedstawić ułamki dziesiętne okresowe jako ułamek zwykły wymierny ?

Tak

Czy wyrażenie: x^3 + 2x jest dwumianem ?

Tak jest, ponieważ ma 2 czynniki

Jaki ułamek dziesiętny jest liczbą niewymierną ?

Ułamek który jest nieskończony i nieokresowy.

Kiedy powstało dzelo Al-Jabr ?

W IX w. w Iraku

Jakie jest twierdzenie sinusów ?

W dowolnym trojkącie długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko jest stały i wynosi średnicę okręgu opisanego na tym trójkącie.

Kiedy dwa trójkąty są podobne ?

W jednym z 3 przypadków: 1. 2 katy taki same 2. Wszystkie 3 boki są proporcjonalne 3. Jeden kat wspólny i 2 boki z tego kata są proporcjonalne

Co to jest ułamek prosty ?

W liczniku ma 1

Skąd wynika wykres sinusa ?

W trojkącie jednostkowym współrzędna y to sin i widać jak sie zmienia w zakresie od -1 do 1

Co to jest wektor jednostkowy ?

Wektor, którego wielkość (długość ) wynosi 1. Nie musi być pionowy lub poziomy

Jakie jest zasadnicze twierdzenie algebry ?

Wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków zespolonych. Mogą wśród nich być pierwiastki rzeczywiste. Dodatkowo pierwiastki urojone zawsze występują parami (bo są postaci np. x^2=-1) wiec wielomian stopnia nieparzystego zawsze ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Co to jest macierz zerowa ?

Wszystkie elementy macierzy są zerami

Co reprezentuje logarytm ?

Wykładnik potęgi

Dlaczego podniesienie do potęgi a^(0.5) daje pierwiastek kwadratowy z a ?

Wynika to z obserwacji: a = a ^ 1 = a ^ (2 * 0.5) = (a ^ 2) ^ 0.5 a więc aby z a^2 uzyskać "a", musimy spierwiastkować to wyrażenie w związku z czym podniesienie do potęgi 0.5 daje nam pierwiastek z tej liczby

Jak wyprowadzić wzory na p, q i pierwiastki równania kwadratowego ?

Z ogólnej postaci f(x) = ax^2 +bx +c należy wyłączyć "a" przed nawias a następnie uzupełnić wyrażenie do pełnego kwadratu dodając i odejmując (b/2a)^2 i uporządkować równanie

Jaka jest uogólniona definicja sinusa, cosinusa, tg ?

Zamiast definiować go na trojkącie prostokątnym , gdzie kat musi być mniejszy od 90 stopni, definiujemy go na okręgu jednostkowym, np sin = y/1 = y

Jak sprawdzić algebraicznie czy wielomian jest parzysty / nieparzysty ?

Zamiast x podstawić -x i zobaczyć czy np f(x)=f(-x)

Ile wynosi f(f^-1(a)) ?

a

Jakie są ograniczenia na a i b w log_a(b) i dlaczego ?

a > 0 i nie równe 1, wiec i b> 0, ponieważ mogłaby być sytuacja w przypadku podstawa jest ujemna a wynik logarytmu to pierw(3). Wtedy trzeba się przenieść w dziedzinę liczb zespolonych.

Jaki jest wzór na symbol Newtona?

a nad b = a!/(b!*(a-b)!)

Jakie jest ograniczenie dla a w f(x)=a^x ?

a>0, ponieważ inaczej wchodzimy w dziedzinę liczb zespolonych

Jaka jest postać kanoniczna równania kwadratowego ? Co oznaczają te współczynniki ?

f(x) = a(x - p)^2 +q, p to x-owa współrzędna wierzchołka paraboli a q to y-owa współrzędna wierzchołka

Jaka jest definicja funkcji nieparzystej ?

f(x)=-f(-x)

Ile wynosi log(a*b) ?

log(a) + log(b)

Ile wynosi log(a/b) ?

log(a) - log(b)

Jak zamienić podstawę logarytmu ?

log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)

Jaki jest wzór na permutacje zbioru n-elementowego ?

n!

Ile wynosi log(a^n) ?

n*log(a)

Z ilu jednomianów będzie się składał wielomian (a+b)^n ?

n+1

Co oznacza percent ?

per century - czyli per 100.

Jaki jest wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego ?

x = (-b +- pierw(b^2 - 4ac))/-2a

Ile to jest (xy)^a ?

x^a*y^a, np. (3x)^3 = (3*3*3)*(x*x*x)=3^3*x^3

Jaki jest wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkt ?

y - y1 = m(x - x1)

Jaka jest postać kierunkowa funkcji liniowej ?

y = mx + b