Geometrie 1

S1

Je-li AB shodná s CD, je A různé od B a C různé od D. Pro každé dva různé body A, B platí, že Ab je shodné s BA.

S3

Je-li AB shodné s CD a CD shodné s EF, pak je AB shodné s EF.

S4

Leží-li bod C mezi body A, B, bod C' mezi A'B' a platí-li AC je shodné s A'C', BC je shodné s B'C', pak platí, že AB je shodné s A'B'.

konvexní množina bodů

Množina se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva její body X, Y platí, že úsečka XY je její podmnožinou.

S5

Nechť A, B, C a A', B', C' jsou dvě trojice bodů neležící v přímce a nechť AB je shodné s A'B'. Pak existuje jediný bod C' poloroviny A'B'K, pro který platí AC je shodné s A'C' a BC je shodné s B'C'.

S6

Nechť A, B, C a A', B', C' jsou dvě trojice bodů neležící v přímce a nechť platí, že AB je shodné s A'B', BC je shodné s B'C' a CA je shodné s C'A'. Leží-li bod P mezi body A, B,, bod P' mezi body A'B' a platí-li, že AP je shodné s A'P', je CP shodné s C'P'.

trojúhelník ABC

Nechť A, B, C jsou tři libovolné body neležící v přímce. Trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, ACB, BCA.

čtyřúhelník

Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Sjednocení trojúhelníku ABC a BDC nazveme čtyřúhelníkem ABCD právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD.

nekonvexní úhel

Nechť A, V, B jsou tři body, které neleží v přímce. Potom sjednoscení doplňku konvexního úhlu AVB v rovině AVB a polopřímek VA a VB nazýváme nekonvexním úhlem AVB.

konvexní úhel

Nechť A, V, B jsou tři libovolné navzájem různé body. Konvexním úhlem AVB pak nazýváme:

S2

Nechť AB je úsečka, CD polopřímka. Pak existuje jediný bod E polopřímky CD, pro který platí, že AB je shodná s CE.

osa úhlu

Nechť AVB je úhel, který není nulový ani plný. Pak osou úhlu nazýváme přímku VX právě tehdy, když bod X leží v téže rovině jako úhel AVB a platí, že konvexní úhel AVX je shodný s úhlem BVX.

středový úhel příslušný menšímu/většímu oblouku

Nechť S je střed kružnice k a AB její tětiva, která není průměrem. Pak úhel ASB nazveme středový úhel příslušný menšímu/většímu oblouku kružnice k s krajními body A, B.

úhly střídavé

Nechť a, b jsou dvě různé přímky a m je přímka, která je protíná. Dvojice úhlů, které leží v opačných polorovinách určených přímkou m a jejichž ramena: a) mají prázdný průnik beta' a delta b) průnikem bety a delty' je úsečka nazveme úhly střídavé.

souhlasné úhly

Nechť a, b jsou rovnoběžky a přímka m je protíná. Dva úhly nazveme souhlasné právě tehdy, když leží ve společné polorovině určené přímkou m a rameno jednoho z nich je podmnožinou ramena druhého z nich.

poloprostor alfaA

Nechť alfa je rovina a A bod, který na ní neleží. Poloprostorem alfaA nazýváme množinu všech bodů X prostoru, pro které platí, že mezi body A, X neleží žádný bod roviny alfa.

kulová plocha

Nechť je dán bod S a reálné číslo r větší než nula. Množina všech bodů X prostoru, jejichž vzdálenost od středu S je rovna r se nazývá kulová plocha K se středem S a poloměremr.

koule

Nechť je dán bod S a reálné číslo větší než nula. Koulí K o středu S a poloměru r se nazývá množina všech bodů X v prostoru, jejichž vzdálenost od středu S je nanejvýše rovna r.

kruh

Nechť je dán bod S ležící v rovině ró a reálné číslo větší než nula. Kruhem K o středu S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny ró, jejichž vzdálenost od středu S je nanejvýše rovna r.

kružnice

Nechť je dán bod S v rovině ró a reálné číslo r větší než nula. Kružnicí k o středu S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny ró, které mají od středu S vzdálenost r.

obvodový úhel

Nechť je dána kružnice k a na ni tři různé body A, B, X. Konvexní úhel AXB se nazývá obvodový úhel příslušný tomuto oblouku kružnice k, který leží v polorovině opačné k polorovině ABX.

úsekový úhel

Nechť je dána kružnice k(S,r) a dva její různé body A, B. V bodě A je sestrojena tečna AC kružnice k. Potom úhel BAC nazýváme úsekový úhel příslušný k tomuto oblouku AB kružnice k, který v tomto úhlu leží.

DA

Nechť jspu dány dvě úsečky AB, CD. Na polopřímce AB sestojíme navzájem různé body P1, P2, P3, ... tak, že AP1 je shodné s P1P2 je shodné s P2P3 je shodné...

R

Nechť p je příma a A bod, který na ní neleží. Pak v rovině určené přímkou p a bodem A existuje právě jedna přímka procházející bodem A, která nemá s přímkou p žádný společný bod.

polorovina pA

Nechť p je přímka a A bod, který na ní neleží. Polorovinou pA nazýváme množinu všech bodů X roviny pA, pro které platí, že mezi body A, X neleží žádný bod přímky p.

osy stran trojúhelníku

Osami stran trojúhelníku ABC nazýváme osy úseček AB, BC a CA. Osy stran trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který je středem kružnice trojúhelníku opsané.

úhly střídavé shodné

Pokud a, b jsou rovnoběžky, pak dvojice střídavých úhlů jsou shodné.

DC

Průnik posloupnosti úseček do sebe zařazených je neprázdný.

Střední příčka trojúhelníku

V trojúhelníku označíme po řadě A1, B1, C1 středy stran a, b, c. Úsečky A1B1, B1C1, C1A1 se nazývají střední příčky trojúhelníka ABC příslušné po řadě ke stranám a, b, c. Úsečky AA1, BB1, CC1 se nazývají těžnice.

vnější úhel trojůhelníku

Vnějším úhlem trojúhelníka nazveme úhel, který je vedlejší k jeho vnitřnímu úhlu.

výška trojúhelníku

Výškou trojúhelníku nazýváme kolmici vedenou vrcholem trojúhelníka k protější straně. Výšky trojúhelníka procházejí týmž bodem V, zvaný průsečík výšek nebo též ortocentrum.

axiomy incidence

do této skupiny řadíme axiomy týkající se bodů, přímek a rovin a vztahů mezi nimi

vedlejší úhly

dva styčné úhly, jejichž sjednocením je přímý úhel, nazýváme vedlejší úhly

vrcholové úhly

dva úhly nazveme vrcholové, jestliže jejich ramena leží na polopřímkách sobě vzájemně opačných, každé dva takové úhly jsou shodné

kolmost přímek

dvě přímky AP a BP nazýváme kolmé právě tehdy, když úhel APB je pravý

kolmost dvou rovin

dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když v jedné z těchto dvou rovin existuje přímka, která je kolmá k druhé z těchto rovin

I3

existuje alespoň jedna trojice bodů, která neinciduje se žádnou přímkou

I8

existuje alespoň jedna čtvřice bodů, která neinciduje v žádnou rovinu

I7

incidují-li dvě různé roviny s týmž bodem, pak existuje alespoň jeden další bod, se kterým obě tyto roviny incidují

kružnice opsaná

je kružnice, na níž leží všechny vrcholy rovinného útvaru

polopřímka opačná k polopřímce AB

je množina všech bodů prostoru, která obsahuje bod A a dále všechny takové body X, pro které platí, že bod A leží mezi body X, B

úsečka AB

je množina všech bodů prostoru, která obsahuje body A, B a dále všechny body, které leží mezi body A, B

polopřímka AB

je množina všech bodů prostoru, která obsahuje všechny body úsečky AB a dále všechny takové body X, pro které platí, že bod B leží mezi body A, X

polokružnice

je-li AB průměr, nazýváme oblouky s krajními body A, B polokružnice

I6

jestliže dva navzájem různé body přímky incidují s rovinou, pak s touto rovinou incidují všechny body přímky

průměr

jestliže tětiva AB obsahuje střed kružnice k, nazýváme ji průměrem kružnice k

tětiva

jsou li A, B dva různé body kružnice k, pak úsečka AB se nazývá tětiva kružnice k

U4

jsou-li A, B, C tři body, které neleží v přímce, a p přímka roviny určené body A, B, C, která neprochází žádným z bodů A, B, C, a která obsahuje jistý bod D ležící mezi body A, B, potom obsahuje přímka p buď jistý bod E ležící mezi body B, C nebo jistý bod F ležící mezi body C, A

U2

jsou-lli A, B dva různé body, pak na přímce procházející body A, B existuje aspoň jeden bod C takový, že bod B leží mezi body A, C

I2

každá přímka inciduje alespoň se dvěma různými body

I5

každá rovina inciduje aspoň s jedním bodem

I1

každé dva navzájem různé body incidují 1 přímkou

shodnost konvexních úhlů

konvexní úhel AVB je shodný s konvexním úhlem CVD právě tehdy, když na přímce VC, CD existují takové body A'B', že platí VA' je shodné s VA, VB' je shodné s VB a A'B' je shodné s AB

kružnice vepsaná

leží celá uvnitř mnohoúhelníku, dotýká se všech stran mnohoúhelníku

U1

leží-li bod B mezi body A, C, jsou A, B, C tři různé body přímky a platí též, že bod B leží mezi body C, A

konvexní úhel b)

leží-li body A, V , B v přímce a bod V leží mezi body A, B, lze za množinu všech bodů konvexního úhlu AVB považovat každou polorovinu s hraniční přímkou AB

konvexní úhel c)

leží-li body AVB v přímce a bod V neleží mezi body A, B, lze za množinu konvexního úhlu AVB považovat každou rovinu obsahující přímku AB i každou polopřímku VA, VB

shodnost nekonvexních úhlů

nekonvexní úhel AVB je shodný s nekonvexním úhlem CVD právě tehdy, pokud jsou konvexní úhly AVB a CVD shodné

větší oblouk, menší oblouk

není-li AB průměr, pak oblouk, který leží v polorovině ABS nazýváme větší oblouk a oblouk v opačné polorovině ABS nazýváme menší oblouk s krajními body A, B

osa konvexního úhlu

osa konvexního úhlu AVB se nazývá polopřímka VX, kde bod X leží v rovině AVB a platí, že úhel AVX je shodný s úhlem XVB

osa nekonvexního úhlu

osa nekonvexního úhlu AVB se nazývá polopřímka opačná k polopřímce, která je osou příslušného konvexního úhlu AVB

nekonvexní množina bodů

právě tehdy, pokud existuje taková dvojice bodů X, Y, že úsečka XY není podmnožinou útvaru U

konvexní úhel a)

průnik polorovin AVB a BVA v případě, že body A, V, B neleží na přímce

osa úsečky

přímka o se nazývá osa úsečky AB (A je různé od B) právě tehdy, když jsou přímky AB a o navzájem kolmé a přímka o prochází středem úsečky AB

kolmost přímky k rovině

přímka p a rovina ró se natývají navzájem kolmé, jestliže je přímka p kolmá ke všem přímkám roviny ró

rovnoběžné přímky

rovnoběžnými přímkami nazýváme takové přímky, které leží v jedné rovině a nemají společný bod nebo dvě splývající přímky

usu

shodují se v jedné straně a dvou úhlech ktéto straně přiléhající

sus

shodují se ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném

Ssu

shodují se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich

sss

shodují se ve všech stranách

střed úsečky

středem úsečky AB nazýváme takový bod úsečky AB, pro který platí, že AS je shodná s SB

shodnost trojúhelníků

trojúhelníky jsou ABC a A'B'C' jsou shodné právě tehdy, jestliže platí AB je shodné s A'B', BC je shodné s B'C' a CA je shodné s C'A'

I4

tři body, které neincidují se žádnou přímkou, incidují s jednou rovinou

axiomy uspořádání

zakládá se na vztahu "Bod B leží mezi jinými dvěmi body A, C"

axiom rovnoběžnosti

zavádí do geometrie vztah rovnoběžnosti přímek

U3

ze tří různých bodů na přímce leží nejvýše jeden mezi zbývajícími dvěma

pravý úhel

úhel, který je shodný s úhlem k němu vedlejšímu, nazýváme pravý úhel

styčné úhly

úhly AVB a BVC nazýváme styčné tehdy, když jejich průnikem je polopřímka VB a zároveň oba leží v jedné rovině

dvojstředový trojúhelník

čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici

tětivový čtyřúhelník

čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnice (čtverec); součet velikostí každých dvou protějších vnitřních úhlů je roven 180°

tečnový čtyřúhelník

čtyřúhelník, kterému lze vepsat kružnici (kosočtverec, čtverec); součet všech velikostí protějších stran jsou si rovny

oblouk, krajní body

část kružnice k, která leží v jedné z polovin s hraniční přímkou AB se nazývá oblouk kružnice k, body A, B jsou krajní body