Lý thuyết xác suất thống kê toán
Cần kiểm định giả thuyết: "Mức giá trung bình đã thay đổi so với mức 120 (nghìn)", với giá phân phối Chuẩn. Điều tra mẫu kích thước 100 được trung bình mẫu là 118, phương sai mẫu là 10. Khi đó giá trị quan sát là: -6,32
-6,32
Chi phí để sản xuất một sản phẩm là phân phối Chuẩn với trung bình 26 USD và phương sai là 9 USD2. Xác suất để một sản phẩm ngẫu nhiên có chi phí nhiều hơn 29 USD là: 0,1587
0,1587
Cho số liệu về người lao động ở một cơ quan: Trong số có mua bảo hiểm y tế chọn ngẫu nhiên một người thì xác suất để người đó không mua bảo hiểm nhân thọ là:
0,33 Vì: Số người có mua bảo hiểm y tế là 200 + 100 = 300. Trong số đó số người không mua bảo hiểm nhân thọ là 100 nên xác suất bằng 100/300 = 0,33 Tham khảo: Mục 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất (BG, tr. 6).
Chi phí để sản xuất một sản phẩm là phân phối Chuẩn với trung bình 26 USD và độ lệch chuẩn là 2 USD. Xác suất để một sản phẩm ngẫu nhiên có chi phí trong khoảng (25; 28) USD là: 0,5328
0,5328
Cho số liệu về khách hàng:Nam 400, nữ 600, trẻ 3- trung niên 5, già 2 Chọn ngẫu nhiên một khách hàng thì xác suất để khách đó là nữ nếu người đó đang ở độ tuổi trung niên là:
0,6 Vì: "Nếu người đó đang ở độ tuổi trung niên" là điều kiện của biến cố, có tổng cộng 200 + 300 = 500 người trung niên. Xác suất người đó là nữ trong điều kiện độ tuổi trung niên là: 300/500 = 0,6 Tham khảo: Mục 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất (BG, tr. 6).
Một nhóm gồm 4 nam và 2 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong số đó, thì xác suất để được 2 người nam 1 nữ là:
0,6 Vì: Nhóm có 6 người, theo công thức tổ hợp, xác suất tính bằng số trường hợp được 2 nam (trong số 4 nam) nhân với số trường hợp được 1 nữ (trong số 2 nữ) chia cho số trường hợp chọn 3 người, nên bằng Tham khảo: Mục 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất (BG, tr. 6).
Chiều dài sản phẩm là phân phối Chuẩn với trung bình 20 cm, phương sai 4 cm2. Xác suất để đo thử một sản phẩm ngẫu nhiên thì sản phẩm dài hơn 19 cm là: 0,6915
0,6915
Cho bảng phân phối xác suất về lợi nhuận ròng (X: đơn vị là tỉ đồng) của doanh nghiệp như sau: Khi đó khả năng doanh nghiệp có lãi là: 0,7 Vì: Doanh nghiệp có lãi nghĩa là X > 0 P(X > 5) = P(X = 0,2) + P(X = 0,6) = 0,3 + 0,4 = 0,7 Tham khảo: Mục 3.2.2. Tính chất của bảng phân phối xác suất (BG, tr.44).
0,7
Một khoa có 100 sinh viên mới tốt nghiệp, trong đó có 20 sinh viên được bằng giỏi, 65 sinh viên được bằng khá và 15 sinh viên được bằng trung bình. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên mới tốt nghiệp của khoa này. Xác suất chọn được sinh viên đạt bằng khá trở lên là:
0,85 Vì: Lớp có 100 sinh viên, trong đó có 20 sinh viên được bằng giỏi và 65 sinh viên được bằng khá, nghĩa là có 85 sinh viên đạt bằng khá trở lên. Xác suất chọn một sinh viên được bằng khá trở lên là Tham khảo: Mục 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất (BG, tr. 6).
Cho bảng phân phối xác suất về lợi nhuận ròng (X: đơn vị là tỉ đồng) của doanh nghiệp như sau: Khi đó khả năng doanh nghiệp KHÔNG lỗ là: 0,9 Vì: Doanh nghiệp có lãi nghĩa là X ≥ 0 P(X ≥ 0) = P(X = 0,2) + P(X = 0,2) + P(X = 0,6) = 0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9 Tham khảo: Mục 3.2.2. Tính chất của bảng phân phối xác suất (BG, tr.44).
0,9
Cho bảng phân phối xác suất về lợi nhuận của một doanh nghiệp (X: đơn vị tỷ đồng, số âm tương ứng với bị lỗ) như sau: Khi đó kỳ vọng E(X) của lợi nhuận là: 1,7 tỷ Vì: Do tổng xác suất bằng 1 nên con số ở dấu? phải là 0,1. Do đó kỳ vọng là: E(X) = -2´0,1 + -1´0,1 + 0´0,2 + 2´0,3 + 4´0,2 + 6´0,1 = 1,7 Tham khảo: Mục 3.3.1. Kỳ vọng toán (BG, tr.47).
1,7 tỷ
Chiều dài sản phẩm là phân phối Chuẩn với trung bình 20 cm, độ lệch chuẩn 2 cm. Xác suất để đo thử một sản phẩm ngẫu nhiên thì chiều dài sản phẩm trong khoảng (21; 23) cm là: 0,2418
11. Chiều dài sản phẩm là phân phối Chuẩn với trung bình 20 cm, độ lệch chuẩn 2 cm. Xác suất để đo thử một sản phẩm ngẫu nhiên thì chiều dài sản phẩm trong khoảng (21; 23) cm là: 0,2418
Cho bảng phân phối xác suất về số sản phẩm bán được trong một ngày của một cửa hàng: Bán được một sản phẩm cửa hàng thu lãi 300 (nghìn đồng). Số tiền lãi trung bình của cửa hàng trong một ngày là: 1260 (nghìn đồng) Vì: Bán 1 sản phẩm thu lãi 300 (nghìn đồng) Bán X sản phẩm sẽ thu lãi Y = 300X (nghìn đồng). Số tiền lãi trung bình trong một ngày là E(Y) = E(300X) = 300´E(X) E(X) = 2´0,2 + 4´0,5 + 6´0,3 = 4,2 → E(Y) = 300´4,2 = 1260 (nghìn đồng) Tham khảo: Mục 3.3.1. Kỳ vọng toán (BG, tr.47).
1260 (nghìn đồng)
22. Cho bảng phân phối xác suất về số sản phẩm lỗi (X) trong một lô hàng như sau: Khi đó kỳ vọng E(X) của số sản phẩm lỗi là: 2,7 Vì: Do tổng xác suất bằng 1 nên con số ở dấu? phải là 0,1. Do đó kỳ vọng là: E(X) = 0´0,1 + 1´0,1 + 2´0,2 + 3´0,3 + 4´0,2 + 5´0,1 = 2,7 Tham khảo: Mục 3.3.1. Kỳ vọng toán (BG, tr.47).
2,7
Cần kiểm định giả thuyết: "Mức giá trung bình đã vượt trên 120 (nghìn)", với giá phân phối Chuẩn. Điều tra mẫu kích thước 100 được trung bình mẫu là 122, phương sai mẫu là 10. Khi đó giá trị quan sát là: 6,32
6,32
Cho bảng phân phối xác suất về điểm thi môn Toán của học sinh: Khi đó tỷ lệ học sinh đạt ít nhất là 5 điểm là: 80% Vì: Điểm thi của một học sinh là X (điểm) Tỷ lệ học sinh đạt ít nhất là 5 điểm chính là xác suất để một học sinh bất kì có điểm thi X ít nhất là 5 điểm, nghĩa là X ≥ 5 P(X ≥ 5) = P(X = 5) + P(X = 7) + P(X = 9) = 0,25 + 0,35 + 0,2 = 0,8 Tỷ lệ học sinh đạt ít nhất là 5 điểm là 80%.
80%
Có 3 người vào cửa hàng, xét các biến cố: A1 = "Có đúng 2 người mua hàng" A2 = "Có đúng 1 người mua hàng" A3 = "Có 4 người mua hàng" A4 = "Có tối đa 3 người mua hàng" Khi đó các biến cố ngẫu nhiên là:
A1 và A2 Vì: A1 và A2 là các biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả phép thử nên là biến cố ngẫu nhiên. A3 là biến cố không thể có. A4 là biến cố chắc chắn. Vậy A1 và A2 là các biến cố ngẫu nhiên. Tham khảo: Mục 1.1. Phép thử và biến cố (BG, tr.3).
23. Cho bảng phân phối xác suất về số tiền lãi thu được của một dự án (số âm ứng với trường hợp bị lỗ) như sau: Số tiền lãi (X): -2/0/2/4 Xác Suất: 0,3/0,4/0,2/0,1 Khi đó kỳ vọng E(X) và phương sai V(X) của số sản phẩm bán được là: E(X) = 0,2 và V(X) = 3,2
E(X) = 0,2 và V(X) = 3,2
21. Cho bảng phân phối xác suất về số sản phẩm lỗi trong một lô hàng: Khi đó kỳ vọng E(X) và độ lệch chuẩn σ(X) của số sản phẩm lỗi là: E(X) = 0,7 và Vì: Công thức tính kì vọng toán và phương sai của X là E(X) = 0´0,5 + 1´0,3 + 2´0,2 = 0,7 V(X) = 02´0,5 + 12´0,3 + 22´0,2 - 0,72 = 0,61 Tham khảo: Mục 3.3.1. Kỳ vọng toán (BG, tr.47), và mục 3.3.2. Phương sai và Độ lệch chuẩn (BG, tr.48).
E(X) = 0,7 và 0,78
Cho bảng phân phối xác suất về số sản phẩm bán được: Khi đó kỳ vọng E(X) và phương sai V(X) của số sản phẩm bán được là: E(X) = 3,1 và V(X) = 0,49 Vì: Công thức tính kì vọng toán và phương sai của X là E(X) = 2´0,2 + 3´0,5 + 4´0,3 = 3,1 V(X) = 22´0,2 + 32´0,5 + 42´0,3 - 3,12 = 0,49 Tham khảo: Mục 3.3.1. Kỳ vọng toán (BG, tr.47), và mục 3.3.2. Phương sai và Độ lệch chuẩn (BG, tr.48).
E(X) = 3,1 và V(X) = 0,49
26. Cho hai biến cố M và N. Cho biết biến cố tương đương với trường hợp nào sau đây? Vì:. M + N là ít nhất một trong hai M hoặc N xảy ra nên có nghĩa là không có biến cố nào xảy ra; hay cả M và N đều không xảy ra. Trường hợp cũng có nghĩa là M không xảy ra và N không xảy ra. Do đó biến cố tương đương với Tham khảo: Mục 1.6. Mối quan hệ giữa các biến cố (BG, tr.14).
M_.N_
Ba biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất dưới đây là lợi nhuận của ba công ty:
Nếu muốn xác suất có lợi nhuận dương là cao hơn thì nên chọn công ty nào? Chọn công ty nào cũng được. Vì: Xác suất lợi nhuận dương bằng diện tích bên phải trục tung của hàm mật độ, cả ba công ty đều bằng một nửa (0,5) do đó chọn công ty nào cũng được. Tham khảo: Mục 4.1.3. Tính chất hàm mật độ xác suất (BG, tr.68).
Cần kiểm định giả thuyết rằng Thu nhập trung bình của người lao động đã vượt trên 10 triệu đồng/tháng, tổng thể phân phối Chuẩn. Với một mẫu ngẫu nhiên, thống kê sử dụng là: Tqs
Tqs
25. Cho bốn bảng số về số sản phẩm bán được: Bảng (a) Bảng (b) Bảng (c) Bảng (d)
Trong bốn bảng trên, bảng nào có thể được coi là bảng phân phối xác suất? Bảng (b) Vì: Bảng (b) có các con số đo khả năng là không âm và có tổng bằng 1. Tham khảo: Mục 3.2.2. Tính chất của bảng phân phối xác suất (BG, tr.44).
Cần kiểm định giả thuyết rằng Tỷ lệ hộ có thu nhập cao là trên 20%, thì với một mẫu ngẫu nhiên, thống kê sử dụng là: Uqs
Uqs
24. Cho bốn bảng số về số sản phẩm bán được: Bảng (a) Bảng (b) Bảng (c) Bảng (d) Trong bốn bảng trên, bảng nào có thể được coi là bảng phân phối xác suất? Bảng (d)
Vì: Bảng (d) có các con số đo khả năng là không âm và có tổng bằng 1. Tham khảo: Mục 3.2.2. Tính chất của bảng phân phối xác suất (BG, tr.44).
Cần kiểm định giả thuyết "Độ biến động của chi tiêu đã nhiều hơn mức 4 (triệu2)", với chi tiêu phân phối Chuẩn. Điều tra mẫu kích thước 100 được trung bình mẫu 30 và phương sai mẫu là 9 (triệu2). Khi đó giá trị quan sát là: 222,75
Vì: Cặp giả thuyết về phương sai tổng thể có dạng: Tham khảo: Mục 7.3. Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể (BG, tr.135).
Cần kiểm định giả thuyết "Độ phân tán của chi tiêu là chưa đến 8 (triệu2)", với chi tiêu phân phối Chuẩn. Điều tra mẫu kích thước 50 được trung bình mẫu 30 và phương sai mẫu là 5 (triệu2). Khi đó giá trị quan sát là: 30,63
Vì: Cặp giả thuyết về phương sai tổng thể có dạng: Tham khảo: Mục 7.3. Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể (BG, tr.135).
Cần kiểm định giả thuyết "Độ phân tán của chi phí là chưa đến 3 (triệu)", với chi tiêu phân phối Chuẩn. Điều tra mẫu kích thước 50 được trung bình mẫu 30 và độ lệch chuẩn mẫu là 2 (triệu). Khi đó giá trị quan sát là: 21,78
Vì: Cặp giả thuyết về phương sai tổng thể có dạng: (vì độ lệch chuẩn bằng 3 tương đương phương sai bằng 9) Tham khảo: Mục 7.3. Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể (BG, tr.135).
Cần kiểm định giả thuyết "Độ phân tán của chi phí là khác 5 (triệu)", với chi phí phân phối Chuẩn. Điều tra mẫu kích thước 50 được trung bình mẫu 30 và độ lệch chuẩn mẫu là 7 (triệu). Khi đó giá trị quan sát là: 96,04
Vì: Cặp giả thuyết về phương sai tổng thể có dạng: (vì độ lệch chuẩn bằng 5 tương đương phương sai bằng 9) Tham khảo: Mục 7.3. Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể (BG, tr.135).
Xác suất một người trúng phần thưởng trong một trò chơi là 1/4 và độc lập. Người đó đã chơi 3 lần và đều trượt. Khi chơi lần thứ tư thì khả năng người đó trúng phần thưởng là:
bằng 1/4 vì xác suất giữ nguyên. Vì: Xác suất là con số khách quan với mọi phép thử, không thay đổi. Tham khảo: Mục 1.2. Xác suất của biến cố (BG, tr.4).
Xác suất khi gieo con xúc sắc được mặt có 1 chấm là 1/6 (vì có 6 mặt). Khi đó nếu gieo con xúc sắc 600 lần thì số lần xuất hiện mặt có 1 chấm sẽ là:
không biết được. Vì: Việc xuất hiện 100 lần mặt 1 chấm, hoặc nhiều hơn, hoặc ít hơn trong 600 lần gieo là biến cố ngẫu nhiên, không phải biến cố chắc chắn. Tham khảo: Mục 1.2. Xác suất của biến cố (BG, tr.4).
Một nhóm gồm 4 nam và 2 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người trong số đó, thì xác suất để được 2 người nam là:
áp án đúng là: 0,4 Vì: Nhóm có 6 người, theo công thức tổ hợp, xác suất tính bằng số trường hợp được 2 nam (trong số 4 nam) chia cho số trường hợp chọn 2 người, nên bằng Tham khảo: Mục 1.3.3. Phương pháp dùng tổ hợp (BG, tr.8).
Một hộp có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Nếu lấy ra một chính phẩm và bỏ ra ngoài. Tiếp đó lấy ra một sản phẩm thì xác suất để đó là chính phẩm là:
Đáp án đúng là: Vì: Khi biết rằng lần thứ nhất lấy được chính phẩm thì hộp còn 5 chính phẩm và 4 phế phẩm. Xác suất lần thứ hai lấy được chính phẩm biết rằng lần thứ nhất lấy được chính phẩm là: Tham khảo: Mục 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất (BG, tr. 6).
Một lớp có 20 sinh viên gồm 8 nam và 12 nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên thì xác suất chọn được sinh viên nam là:
Đáp án đúng là: 0,4 Vì: Khi chọn 1 sịnh viên bất kì trong lớp thì có 20 cách chọn. Trong đó có 8 cách thuận lợi cho việc chọn được sinh viên nam. Xác suất chọ được sinh viên nam là Tham khảo: Mục 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất (BG, tr. 6).
Một nhóm gồm 4 nam và 2 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 người trong số đó, thì xác suất để được 2 người nam 2 nữ là:
Đáp án đúng là: 0,4 Vì: Nhóm có 6 người, theo công thức tổ hợp, xác suất tính bằng số trường hợp được 2 nam (trong số 4 nam) nhân với số trường hợp được 2 nữ (trong số 2 nữ) chia cho số trường hợp chọn 4 người, nên bằng Tham khảo: Mục 1.3.3. Phương pháp dùng tổ hợp (BG, tr.8).
Cho số liệu về khách hàng: Chọn ngẫu nhiên một khách hàng nữ thì xác suất để khách đó ở độ tuổi trung niên là:
Đáp án đúng là: 0,5 Vì: "Nếu người đó là nữ" là điều kiện của biến cố, có tổng cộng 200 + 300 + 100 = 600 nữ. Xác suất người đó tuổi trung niên trong điều kiện là nữ là: 300/600 = 0,5 Tham khảo: Mục 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất (BG, tr. 6).
Một nhóm gồm 4 nam và 2 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người trong số đó, thì xác suất để được một nam một nữ là:
Đáp án đúng là: 0,533 Vì: Nhóm có 6 người, theo công thức tổ hợp, xác suất tính bằng số trường hợp được 1 nam (trong số 4 nam) nhân với được 1 nữ (trong số 2 nữ) chia cho số trường hợp chọn 2 người, nên bằng Tham khảo: Mục 1.3.3. Phương pháp dùng tổ hợp (BG, tr.8).
Cho số liệu về người lao động ở một cơ quan: Chọn ngẫu nhiên một người thì xác suất để người đó có mua ít nhất một loại bảo hiểm là:
Đáp án đúng là: 0,9 Vì: Số người có mua ít nhất một loại bảo hiểm là 200 + 100 + 60 = 360 và tổng số người là 400. Xác suất bằng 360/400 = 0,9 Tham khảo: Mục 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất (BG, tr. 6).
Cần kiểm định giả thuyết rằng Thu nhập trung bình của người lao động là ổn định hơn mức 20 triệu2, tổng thể phân phối Chuẩn. Với một mẫu ngẫu nhiên, thống kê sử dụng là: χ2qs
χ2qs
Một người đầu tư vào hai dự án, xét các biến cố: A1 = "Có đúng 1 dự án có lãi" A2 = "Có đúng 2 dự án có lãi" A3 = "Có dự án có lãi" A4 = "Có tối đa 2 dự án có lãi" Trong số trên biến cố không ngẫu nhiên là:
Đáp án đúng là: A4 Vì: Biến cố có tối đa 2 dự án có lãi là biến cố chắc chắn, do đó không ngẫu nhiên. Các biến cố khác đều ngẫu nhiên. Tham khảo: Mục 1.1. Phép thử và biến cố (BG, tr.3).