MATEMATIKA- USTNO

99 Verjetnostni račun Pojasnite osnovne pojme verjetnostnega računa:

- poskus, POSKUS je vsako dejanje, ki ga opravimo v natanko določenih pogojih. - dogodek (slučajni dogodki, nemogoči in gotovi dogodki, elementarni dogodki, sestavljeni dogodki), DOGODEK je pojav, ki se lahko v posameznem poskusu zgodi ali pa tudi ne (oznaka : A,B,...). SLUČAJNI DOGODEK: v nekaterih ponovitvah se zgodi, v drugih pa ne. NEMOGOČI DOGODEK: se ne zgodi v nobeni ponovitvi dogodka GOTOVI DOGODEK: se zgodi v vsaki ponovitvi dogodka ELEMENTARNI DOGODEK: vsak dogodek, ki ni sestavljen SESTAVLJENI DOGODEK: dogodek A, ki ga lahko izrazimo kot vsoto dveh nezdružljivih, sicer pa mogočih dogodkov B in C ( A = B U C) - vzorčni prostor. Množico vseh elementarnih dogodkov imenujemo vzorčni prostor poskusa.

11. Za vsako izmed števil 2, 4 in 8 navedite kriterij deljivosti s tem številom. Navedite kriterij deljivosti s številom 3. Navedite kriterij deljivosti s številom 6. Poiščite primer štirimestnega naravnega števila, ki je deljivo s 6.

-Z 2: število je deljivo z 2, če je na mestu zadnje števke število 0,2,4,6,8. -S 3: število je deljivo s 3, če je vsota števk deljiva s 3. -S 4: število je deljivo s 4, če je dvomesten konec deljiv s 4. -S 5: število je deljivo s 5, če se konča z 0 ali s 5. -S 6: število je deljivo s 6, če je hkrati deljivo z 2 in 3. ⇒ primer štirimestnega naravnega št: 4560 -Z 8: število je deljivo z 8, če je trimestni konec deljiv z 8. -Z 9: število je deljivo z 9, če je vsota števk deljiva z 9.

Povejte primer periodičnega decimalnega števila in ga zapišite kot ulomek. (2 točki)

0, =1/3

16. Definirajte množico kompleksnih števil. Kako grafično upodobimo (predstavimo) kompleksna števila?

Množica kompleksnih števíl predstavlja razširitev realnih števil, v kateri se lahko koreni tudi negativna števila. Kompleksna števila vsebujejo imaginarno enoto i, kjer je . Kompleksna števila so oblike x+yi , kjer je x realni del kompleksnega števila, y pa njegov imaginarni del.

Kaj je nasprotni dogodek danega dogodka in kako izračunamo njegovo verjetnost?

NASPROTNI DOGODEK A' dogodka A je dogodek ki se zgodi če se ne zgodi dogodek A. VRJETNOST NASPROTNEGA DOGODKA : P(A') = 1 - P(A)

Kdaj sta dva dogodka nezdružljiva in kdaj združljiva? Kako izračunamo verjetnost vsote dveh združljivih dogodkov?

NEZDRUŽLJIVA DOGODKA sta dogodka, ki se ne moreta zgoditi istočasno. ZDRUŽLJIVA DOGODKA sta dogodka, ki se lahko zgodita istočasno. VERJETNOST VSOTE DVEH ZDRUŽLJIVIH DOGODKOV je enaka vsoti verjetnosti posameznih dogodkov, zmanjšani za verjetnost njunega produkta: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Povejte primer permutacije brez ponavljanja.(1 točka)

Na koliko načinov lahko razporedimo na polici 5 različnih knjig v ravno vrsto?

19. Definirajte konjugirano vrednost kompleksnega števila in razložite njen geometrijski pomen. (1 točka) Naštejte vsaj tri lastnosti konjugiranja kompleksnih števil. (3 točke) Dokažite, da je konjugirana vrednost vsote dveh kompleksnih števil enaka vsoti njunih konjugiranih vrednosti. (2 točki)

Naj bo kompleksno število z=a+bi. Potem je konjugirana vrednost = a bi. Konjugiranje zrcali kompleksno število čez realno os. Lastnosti konjugiranja: 1. Konjugirano število konjugiranega kompleksnega števila je kompleksno število z. 2. Konjugirana vrednost vsote dveh kompleksnih števil je enaka vsoti konjugiranih vrednosti teh dveh števil: = 3. Konjugirana vrednost produkta dveh kompleksnih števil je enaka produktu konjugiranih vrednosti teh dveh števil: 4. Konjugirana vrednost količnika dveh kompleksnih števil je enaka količniku konjugiranih vrednosti teh dveh števil: Vsota konjugiranega para in produkt konjugiranega para sta realni števili:

Definirajte najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil. Razložite vsaj eno metodo za izračun najmanjšega skupnega večkratnika dveh naravnih števil.

Najmanjši skupni večkratnik v (a, b) naravnih števil a in b je najmanjše število, ki je deljivo z obema številoma. Števili razstavimo na praštevila. Najmanjši skupni večkratnik števil a in b je enak produktu vseh praštevil iz razcepa obeh števil. Za eksponent posameznega praštevila vzamemo iz danega razcepa števil večjega od eksponentov tega praštevila. Zveza med največjim skupnim deliteljem in najmanjšim skupnim večkratnikom števil a in b: D (a, b) v (a, b) = a b

Opišite konstrukcije simetrale daljice, simetrale kota in težiščnice trikotnika simetrala daljice

Najprej narišemo daljico AB. V šestilo vzamemo dolžino, nekoliko večjo od polovične dolžine daljice AB. Šestilo zapičimo v točko A. S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka daljico AB. Položaja krakov šestila ne spreminjamo. Šestilo zapičimo v točko B. S šestilom zarišemo tak krožni lok, ki seka daljico AB, obenem pa dvakrat seka predhodno narisan krožni lok. Točki, v katerih se krožna loka sekata, označimo s točkama C in D. Z ravnilom narišemo premico skozi točki C in D ter jo označimo z malo črko s. Premica skozi točki C in D je simetrala daljice AB in je na daljico AB pravokotna. Presečišče daljice AB in njene simetrale označimo s točko E. Točka

9. Definirajte največji skupni delitelj dveh naravnih števil. Razložite vsaj eno metodo za izračun največjega skupnega delitelja dveh naravnih števil. Kdaj sta si dve naravni števili tuji?

Največji skupni delitelj D (a, b) naravnih števil a in b je največje število, ki deli obe števili. Števili razstavimo na praštevila. Največji skupni delitelj števil a in b je enak produktu skupnih praštevil iz razcepa obeh števil. Za eksponent posameznega praštevila vzamemo iz danega razcepa števil manjšega od eksponentov tega praštevila. Števili sta si tuji, če je njun največji skupni delitelj enak 1: D (a, b) = 1

Povejte štiri izreke o skladnosti trikotnikov

Dva trikotnika sta skladna, če se ujemata: · v dolžinah vseh treh stranic · v dolžinah dveh stranic in v kotu med njima · v dveh kotih in v dolžini poljubne stranice · v dolžinah dveh stranic in v kotu, ki leži nasproti daljši od teh dveh stranic

Kdaj sta dve množici enaki?

Dve množici sta enaki, kadar imata enake elemente.

Kaj je ekvivalenca izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za ekvivalenco. (2 točki)

Ekvivalenca je izjava oblike A⇔B, kjer beremo: "A natanko tedaj, ko B" oziroma "A, če in samo če B" A⇔B: ''Iz A sledi B in iz B sledi A'' oz. ''A ekvivalentno B'' Ekvivalenca ali enakovrednost izjav A in B je izjava, ki je pravilna, ko sta obe izjavi pravilni ali, ko sta obe izjavi nepravilni.

Navedite formuli za izračun ploščine enakostraničnega in ploščine pravokotnega trikotnika.

Enakostranični trikotnik S=(a2 ) / 4 Pravokotni trikotnik S=(a b) / 2 S=(cvc) / 2

20 Kaj je enačba in kaj je rešitev enačbe? Kdaj sta dve enačbi ekvivalentni (enakovredni)? (2 točki) Opišite postopke, ki dano enačbo prevedejo v ekvivalentno enačbo. (2 točki) Podajte primer linearne enačbe in primer nelinearne enačbe ter ju rešite. (2 točki)

Enačba je vsak zapis oblike f(x)=g(x), kjer sta f(x) in g(x) poljubna izraza, x pa spremenljivka (neznanka). Rešitev enačbe je vsako število x1, za katero je leva stran enačbe enaka desni. Enačbi sta ekvivalentni, če imata enaki množici rešitev. Da dobimo ekvivalentno enačbo lahko enačbi na obeh straneh prištejemo ali odštejemo poljubno število ali izraz, ali pa obe strani enačbe množimo ali delimo z istim neničelnim številom. Primer linearne: 2x+4=0 2x=-4 x=-2

6. · Definirajte soda in liha števila. · Pokažite, da je vsota dveh lihih števil sodo število. · Pokažite, da je kvadrat lihega števila liho število.

Naravno oziroma celo število je sodo, če je deljivo z 2. Vsako sodo število je oblike 2k, kjer je k poljubno naravno oziroma celo število. Naravno oziroma celo število je liho, če da pri deljenju z 2 ostanek 1. Vsako liho število je oblike 2k-1, kjer je k poljubno naravno oziroma celo število. Naj bo a=2k+1 in b=2l+1, . Potem je a+b=2k+1+2l+1=2(k+l+1) . To je večkratnik števila 2, torej sodo število. Velja tudi a2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1. To število da pri deljenju z 2 ostanek 1, torej je liho število.

V paralelogramu narišemo obe diagonali. Koliko parov skladnih trikotnikov dobimo?

Nastaneta dva para skladnih trikotnikov.

Kaj je negacija dane izjave? Kdaj je negacija pravilna (resnična) in kdaj nepravilna (neresnična)?

Negacija izjave A je izjava z oznako ¬A , ki je nasprotna izjavi A (npr. ''Ni res, da je A''). Pravilna je, ko je izjava A nepravilna, in nepravilna, ko je izjava A pravilna.

· Definirajte odštevanje v množici ℤ.

Odštevanje: Za poljubni celi števili a in b je razlika števil a - b tako celo število x, da velja b + x = a

Kaj je implikacija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za implikacijo. (2 točki)

Implikacija izjav A in B je sestavljena izjava, ki jo lahko beremo na različne načine (iz A sledi B, če A potem B). Izjava A je pogoj, izjava B pa posledica izjave A. A⇒B: ''Iz A sledi B'' oz. ''Če A potem B'' Implikacija je vedno pravilna, razen v primeru, ko iz pravilne izjave sledi nepravilna izjava.

Uporabo osnovnega izreka kombinatorike razložite na primeru. (1 točka)

Iz Ljubljane v Zagorje vodijo 4 poti. Iz Zagorja v Trbovlje pa 3. Na koliko načinov lahko pridemo iz Ljubljane v Trbovlje? 4 * 3 = 12 ODGOVOR: Iz Ljubljane v Trbovlnje lahko pridemo na 12 načinov.

Kaj je izjava?

Izjava je trdilni stavek za katerega velja natanko ena od možnosti - pravilen ali napačen.

Kaj je komplement množice? Kako označimo komplement in kako ga grafično predstavimo?

Komplement množice A je množica vseh elementov, ki so v univerzalni množici in niso v množici A.

Kaj je konjunkcija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za konjunkcijo. (2 točki)

Konjunkcija izjav A in B je sestavljena izjava, ki jo dobimo tako, da izjavi A in B povežemo z veznikom 'in', A ∧ B (''A in B''). Pravilna je, ko sta pravilni obe izjavi hkrati.

35 Povejte kosinusni izrek. Na primeru opišite njegovo uporabo. (2 točki) Povejte sinusni izrek. Na primeru opišite njegovo uporabo. (2 točki) Kateri izrek dobimo, če v pravokotnem trikotniku uporabimo kosinusni izrek za izračun hipotenuze? Odgovor utemeljite. (2 točki)

Kosinusni izrek: Kvadrat stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, zmanjšani za dvakratni produkt teh dve stranic in kosinusa kota med njima. Kosinusni izrek uporabljamo za razreševanje trikotnika: · Če sta znani dve stranici trikotnika in kot med njima (izračunamo tretjo stranico) · Če so znane vse tri stranice trikotnika (izračunamo kote trikotnika) Pitagorov izrek: v pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: ker je cos90°=0. Sinusni izrek pravi, da je v trikotniku razmerje med sinusom kota in dolžino nasproti ležeče stranice enako za katerikoli par stranica-nasprotni kot. Zato za trikotnik na sliki velja zveza: Uporabljamo ga v splošnem trikotniku ko : · Ko imamo podani dve stranici in kot nasproti od ene od teh dveh stranic Ko imamo podana dva kota in· eno stranico, računamo ostali dve stranici · Je med podatki R

33 V kakšni medsebojni legi sta lahko premica in krožnica, ki ležita v isti ravnini? (3 točke) Podrobno opišite konstrukcijo tangente na krožnico v dani točki krožnice. (3 točke)

Krožnica in premica imata lahko dve, eno ali nobene skupne točke. Če premica in krožnica nimata skupne točke, premico imenujemo mimobežnica. d(S,p) > r Če se premica krožnice le dotakne in imata le eno skupno točko, imenujemo premico tangenta. Radij krožnice je pravokoten na tangento. V dani točki D narišemo tangento tako, da z daljico povežemo D in S, nato pa narišemo pravokotnico na SD skozi točko D. d(S,p) = r Če imata premica in krožnica dve skupni točki, je premica sekanta. d (S,p) < r Ločimo tri primere konstrukcije tangente na krožnico iz dane točke T: 1. Če je točka T na krožnici, narišemo daljico od T do središča, ki je polmer r. Ker je tangenta pravokotna na polmer krožnice, ki povezuje dotikališče T in središče S, načrtamo pravokotnico na polmer, oz. pravokotnico na daljico ST.

37. Navedite formuli za izračun ploščine kvadrata in ploščine pravokotnika.

Kvadrat S=a2 S=d2/ 2 Pravokotnik S=ab

Povejte osnovni izrek kombinatorike.

Osnovni izrek kombinatorike je pravilo produkta. Če je sestavljen izbor tak, da poteka v k zaporednih, med seboj neodvisnih fazah, in je v poljubni fazi možnih možnosti ( ), lahko tak izbor opravimo na načinov.

10. Povejte osnovni izrek o deljenju naravnih števil. Izberite različni naravni števili in predstavite osnovni izrek o deljenju na izbranih številih. Izberite naravno število med 5 in 10 ter naštejte elemente množice vseh ostankov pri deljenju z izbranim naravnim številom.

Osnovni izrek o deljenju naravnih števil: ● Za poljubni naravni števili a (deljenec) in b (delitelj) lahko izvajamo deljenje z ostankom. Pri tem dobimo količnik k ∈ 0 in ostanek r ∈ 0, tako da velja: a = k b + r ; r < b (ostanek je manjši od delitelja)● Primer: če število 37 delimo s 5, dobimo količnik 7 in ostanek 2, velja 37 = 7 ∙ 5 + 2 ● Izbrano število je npr. 6 - množica vseh ostankov: {0,1,2,3,4,5}

Povejte primer poskusa in navedite nekaj dogodkov v tem poskusu. Kateri med njimi so nemogoči, gotovi, elementarni in kateri sestavljeni dogodki?

Poskus: vržemo običajno igralno kocko Elementarni dogodek: Pade ena pika, padeta dve piki,....,pade šest pik. (šest elementarnih dogodkov) Sestavljena dogodka: Pade sodo število pik. Pade več kot dve piki. Gotovi dogodek: pade manj kot sedem pik. Nemogoči dogodek: Pade osem pik.

Kaj je prazna množica in kaj je univerzalna množica?

Prazna množica je množica brez elementov, ki jo označimo z { } ali pa z . Univerzalna množica je množica, ki vsebuje vse možne elemente, ki nas zanimajo v danem problemu.

7. Definirajte praštevila in sestavljena števila. Naštejte tri praštevila in tri sestavljena števila.

Praštevilo je vsako naravno število, ki ima natanko dva delitelja, 1 in samega sebe. Sestavljeno število je vsako naravno število, ki ima več kot dva delitelja. Število 1 ni niti praštevilo niti sestavljeno število. Najmanjše in edino sodo praštevilo praštevilo je 2. Primeri praštevil: 2,3,5,7 Primeri sestavljenih števil: 4,8,9,15

simetrala kota

Predpostavimo, da je ravninski kot z vrhom V že narisan. V šestilo vzamemo poljubno dolžino. Šestilo zapičimo v točko V. S šestilom zarišemo krožni lok tako, da seka oba kraka kota. Točki, v katerih krožni lok seka kraka kota, označimo z A in B. Položaja krakov šestila ne spreminjamo. Šestilo zapičimo v točko A. S šestilom zarišemo krožni lok v področje med krakoma kota. Položaja krakov šestila ne spreminjamo. Šestilo zapičimo v točko B. S šestilom zarišemo krožni lok v področje med krakoma kota tako, da seka predhodno zarisan krožni lok. Točko, v katerih se krožna loka sekata, označimo s C. Z ravnilom narišemo premico skozi točki V in C. Premica skozi točki V in C je simetrala kota AVB.

Kaj je presek dveh množic? Kako označimo presek množic in kako ga grafično predstavimo?

Presek množic je množica, ki vsebuje vse elemente, ki so v množici A in hkrati tudi v množici B.

Povejte primer dveh izjav in ugotovite pravilnost (resničnost) njune ekvivalence. (1 točka)

Primer: A: Štirikotnik je romb. (p) B: Štirikotnik ima vse stranice enako dolge. (p) A ⇔ B: Štirikotnik je romb če in samo če ima vse stranice enako dolge. (p)

Kdaj je prizma: - enakoroba, - n-strana, - pravilna?

Prizma je enakoroba, če so vsi njeni robovi enako dolgi. Prizma je n-strana, če ima n osnovnih robov. Prizma je pravilna, če je pokončna in ima za osnovni ploskvi pravilna lika.

39. Prizma Definirajte prizmo.

Prizma je oglato telo, katerega mejni ploskvi sta skladna večkotnika. Vzporedni robovi povezujejo vsako oglišče enega večkotnika z ustreznim ogliščem drugega. Vzporedni mejni ploskvi, ki sta skladna večkotnika, sta osnovni ploskvi prizme. Druge mejne ploskve so stranske ploskve. Vse stranske ploskve skupaj oblikujejo plašč prizme. Osnovni robovi so stranice osnovne ploskve prizme. Stranski robovi so vsi med seboj vzporedni robovi, ki povezujejo oglišča ene osnovne ploskve z oglišči druge osnovne ploskve. Prizmo poimenujemo po številu stranic osnovne ploskve. Višina prizme je razdalja med ravninama osnovnih ploskev. Diagonala prizme je zveznica dveh oglišč, ki ne ležita na isti ploskvi.

12. Kaj je ulomek? Kdaj dva ulomka predstavljata isto racionalno število? (2 točki)

Ulomek je izraz oblike , kjer sta a in b celi števili in b ≠ 0. Število a je števec ulomka, število b pa imenovalec. Ulomek lahko zapišemo tudi v obliki . Racionalno število je popolnoma okrajšan ulomek , torej D(m,n) = 1 Ulomka in sta enaka (predstavljata isto racionalno število) natanko takrat, ko je produkt števca prvega ulomka in imenovalca drugega ulomka enak produktu števca drugega ulomka in imenovalca prvega ulomka:

Povejte primer ulomka, ki ima končen decimalni zapis, in primer ulomka, ki ima neskončen decimalni zapis. (1 točka)

Ulomek, ki ima končen decimalni zapis: ½=0,5 Ulomek, ki ima neskončen decimalni zapis: 1/3=0,333333.., ali 22/7=3,14..

32. Trapez Definirajte trapez. (1 točka) Navedite lastnosti kotov trapeza. (1 točka) Kaj je srednjica trapeza in katere lastnosti ima? (2 točki) Kaj je višina trapeza? (1 točka) Pri katerih trapezih sta diagonali enako dolgi? (1 točka)

Trapez je štirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Vzporedni stranici sta osnovnici, nevzporedni pa kraka trapeza. Enakokraki trapez ima kraka enake dolžine. Vsota velikosti notranjih kotov trapeza je 360°. Vsota velikosti kotov ob istem kraku je enaka iztegnjenemu kotu (α+δ=180°, β+γ=180°). V enakokrakem trapezu sta kota ob isti osnovnici skladna (α=β, γ=δ). Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči krakov. Vzporedna je osnovnicama in razpolavlja višino trapeza. Dolžina srednjice je s= (a + c)/2. Daljica s krajiščema na nosilkah vzporednih stranic trapeza, pravokotna na nosilki, je višina trapeza. Diagonali sta enako dolgi pri enakokrakem trapezu.

27 Trikotnik Definirajte trikotnik. (1 točka) Definirajte notranji in zunanji kot trikotnika. (2 točki) Kolikšna je vsota notranjih kotov trikotnika? Trditev dokažite. (2 točki) Kolikšna je vsota zunanjih kotov trikotnika? (1 točka)

Trikotnik ABC je nekonveksna množica v ravnini, ki je omejena z zveznicami treh nekolinearnih točk. Notranji kot trikotnika je konveksni kot z vrhom v oglišču trikotnika. Njegova kraka potekata skozi preostali dve oglišči. Zunanji kot je sokot pripadajočega notranjega kota. Vsota notranjih kotov je 180 stopinj. Skozi točko C narišemo vzporednico k stranici c. Zaradi vzporednosti premic so koti ob premicah skladni. Vsota vseh treh kotov trikotnika v oglišču C je 180 stopinj. Vsota zunanjih kotov je 360 stopinj.

Kaj je unija dveh množic? Kako označimo unijo množic in kako jo grafično predstavimo?

Unija množic je množica, ki vsebuje vse elemente, ki so v A ali B.

· Naštejte računske operacije v množici ℕ.

V množici naravnih števil sta definirani sta definirani operaciji seštevanje in množenje.

· Opišite vsaj tri lastnosti računskih operacij v množicah ℕ in ℤ.

Lastnosti računskih operacij v ℕ in ℤ: Zakon o zamenjavi seštevancev (komutativnost seštevanja): a + b = b + a Zakon o zamenjavi faktorjev (komutativnost množenja): ab = ba Zakon o združevanju seštevancev (asociativnost seštevanja): (a + b) + c = a + (b + c) Zakon o združevanju faktorjev (asociativnost množenja): (ab)c = a(bc) Zakon o razčlenjevanju (distributivnostni zakon): (a + b)c = ac + bc (asociativnost in distributivnost odštevanja ne veljata!)

4. Kdaj je množica A podmnožica množice B?

Množica A je podmnožica množice B natanko takrat, ko je vsak element množice A tudi element množice B. (A⊂B)

konstruranje težiščnic trikotnika

V trikotniku lahko konstruiramo tri težiščnice: · težiščnica na stranico a oziroma ta · težiščnica na stranico b oziroma tb · težiščnica na stranico c oziroma tc Predpostavimo, da konstruiramo težiščnico na c. Konstruiramo razpolovišče daljice AB in ga označimo s točko D. Z ravnilom povežemo točki C in D. Daljica CD predstavlja težiščnico trikotnika na stranico c. Na enak način konstruiramo tudi težiščnici na ostali dve stranici

Navedite formulo za izračun prostornine pokončne prizme.

V=S v P=2 S Spl Spl=ov

Definirajte vsoto in produkt dogodkov.

VSOTA DOGODKOV A U B je dogodek, ki se zgodi v tisti ponovitvi poskusa, v kater se zgodi vsaj eden izmed dogodkov A ali B. PRODUKT DOGODKOV A in B je dogodek, ki se zgodi natanko takrat, ko se zgodita dogodka A in B hkrati. Označimo ga z A∩B ali AB.

Kaj so variacije brez ponavljanja in koliko jih je?(2 točki)

Variacije brez ponavljanja so razporeditve n različnih elementov na r prostih mest. Pri tem je r < n, zato ostane nekaj elementov nerazporejenih. Število variacij brez ponavljanja izračunamo po formuli: r = št. prostih mest n = moč množice elementov, ki jih razporejamo

Kaj je razcep naravnega števila na prafaktorje? Ali je razcep na prafaktorje enoličen? Koliko je praštevil?

Vsako naravno število lahko zapišemo kot zmnožek samih praštevil ali potenc praštevil. Rečemo, da število razcepimo na prafaktorje. Pri iskanju teh si pomagamo z zaporednimi deljenji s praštevili. Razcep na prafaktorje je enoličen. Praštevil je nešteto mnogo.

Navedite vsaj dve lastnosti seštevanja kompleksnih števil.

Za seštevanje in množenje velja komutativnost in asociativnost.

Kaj je disjunkcija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za disjunkcijo.

Disjunkcija izjav A in B je sestavljena izjava, ki jo dobimo tako, da izjavi A in B povežemo z veznikom 'ali', A ∨ B (''A ali B''). Pravilna je, ko je vsaj ena od izjav pravilna.

18. Definirajte absolutno vrednost kompleksnega števila. Na primeru pokažite izračun absolutne vrednosti kompleksnega števila. Naštejte vsaj tri lastnosti absolutne vrednosti kompleksnega števila. Koliko je absolutna vrednost kompleksnega števila z, če je Imz 0?

Absolutna vrednost kompleksnega števila z = a + bi je enaka V geometrijskem smislu je absolutna vrednost kompleksnega števila razdalja tega števila do koordinatnega izhodišča. Lastnosti absolutne vrednosti: 1. 2. Absolutna vrednost kompleksnega števila z je enaka absolutni vrednosti konjugiranega števila. 3. Absolutna vrednost produkta dveh kompleksnih števil je enaka produktu absolutnih vrednosti posameznih faktorjev. 4. ; w Absolutna vrednost količnika dveh kompleksnih števil je enaka količniku absolutnih vrednosti števca in imenovalca. 5. - trikotniška neenakostAbsolutna vrednost vsote kompleksnih števil je manjša ali enaka vsoti absolutnih vrednosti posameznih členov. Primer: |3+2i|= Če je Im(z)=0, je .

15. Definirajte absolutno vrednost realnega števila in razložite njen geometrijski pomen. Naštejte vsaj štiri lastnosti absolutne vrednosti realnega števila in jih ponazorite s primeri.

Absolutna vrednost realnega števila a je nenegativno število , ki je določeno s predpisom: Geometrijski pomen absolutne vrednosti: Absolutna vrednost vsakega števila na številski premici je enaka razdalji med tem številom in številom 0, pa je enaka razdalji med številoma a in b. Lastnosti absolutne vrednosti realnega števila: 1. Absolutna vrednost realnega števila je nenegativna. 2. Nasprotni si števili imata isto absolutno vrednost. 3. Absolutna vrednost zmnožka je enaka zmnožku absolutnih vrednosti posameznih vrednosti. 4. Absolutna vrednost količnika je enaka količniku absolutnih vrednosti posameznih vrednosti. 5. Absolutna vrednost obratne vrednosti je enaka obratni vrednosti absolutne vrednosti. 6. Absolutna vrednost vsote je manjša ali enaka vsoti absolutnih vrednosti posameznih vrednosti (trikotniška neenakost).

Definirajte paralelogram. (1 točka) Navedite lastnosti kotov in stranic paralelograma. (2 točki) Navedite posebne vrste paralelogramov in opišite njihove lastnosti. (2 točki) Kaj velja za diagonali paralelograma? (1 točka)

Paralelogram je štirikotnik, ki ima 2 para vzporednih stranic. Štirikotnik je paralelogram natanko takrat, ko: · ima en par skladnih in en par vzporednih stranic, · sta po dve nasprotni stranici skladni, · se diagonali razpolavljata, · sta oba para nasprotnih kotov enaka. Lastnosti kotov in stranic: · Nasprotna kota sta si skladna, dva sosednja kota sta suplementarna (njuna vsota je enaka 180°) · Nasprotni stranici sta skladni in vzporedni. Posebni primeri paralelograma: - romb (paralelogram z vsemi štirimi enakimi stranicami), - pravokotnik (paralelogram z vsemi štirimi enakimi koti), - kvadrat (z enakimi stranicami in koti). Diagonali paralelograma se razpolavljata.

Kaj so permutacije brez ponavljanja in koliko jih je? (2 točki)

Permutacije brez ponavljanja so razporeditve vseh elementov množice z n-elementi v vrsto. Permutacije so bijektivne preslikave množice z n-elementi same nase. Število permutacij brez ponavljanja izračunamo po formuli: Pn = n (n - 1) · · · 3 · 2 · 1 = n!

Kaj so permutacije s ponavljanjem in koliko jih je?(2 točki)

Permutacije s ponavljanjem so permutacije elementov, ki niso vsi med sabo različni. Pri tem lahko nastopa celo več skupin med sabo enakih elementov. Recimo, da je v prvi taki skupini k1 enakih elementov, v drugi k2 enakih elementov, ..., v m-ti pa km enakih elementov. Potem število permutacij s ponavljanjem izračunamo po formuli:

41 Definirajte piramido.

Piramida je geometrijsko telo, ki je omejeno z poljubnim n-kotnikom (osnovna ploskev) in n-trikotniki s skupnim vrhom (stranske ploskve). Unija stranskih ploskev je plašč. Robovi osnovne ploskve so osnovni robovi, ostali pa so stranski robovi. Višina piramide je razdalja vrha od osnovne ploskve. Stranska višina je višina stranske ploskve. Piramido poimenujemo po številu stranic osnovne ploskve. Poznamo več vrst piramid:- pokončna piramida je tista piramida, ki ima vse stranske robove enako dolge, torej skladne. Osnovna ploskev je lahko le lik, ki se mu da očrtati krog. (npr: kvadrat, trikotniki, vsi pravilni n-kotniki, enakokraki oz pravilni trapez..).- n-strana piramida, je piramida, ki ima n osnovnih robov. Torej jo določimo glede na število oglišč oz stranic osnovne ploskve (npr: 3-strana, 4-strana). Posebni primeri piramid:-enakoroba- vsi robovi so enako dolgi,-pravilna- Če ima za osnovno ploskev pravilen lik in če je pokončna.

42. Definirajte pokončni stožec.

Pokončni stožec je rotacijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli ene od katet za 360°.

40 Valj Definirajte pokončni valj.

Pokončni valj je telo, katerega osnovni ploskvi sta skladna in vzporedna kroga, ki ju povezuje njegov plašč. V pokončnem valju je dolžina stranice enaka dolžini višine ( s = v), njegov osni presek pa je pravokotnik. Pokončni krožni valj je tudi rotacijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnika okrog ene od stranic za 360°.Skicirajte mrežo valja. Pravokotnik (plašč) in dva kroga (osnovni ploskvi,

102 Opišite osnovne statistične pojme

Populacija je končna ali neskončna množica, ki jo statično preučujemo. Opišemo jo tako, da navedemo opredeljujoče pogoje, ki jim morajo elementi zadoščati, da spadajo v populacijo. Vzorec je podmnožica populacije, na katerem raziskujemo porazdelitev statističnega znaka. Iz izbranih podatkov nato poskušamo ugotoviti, kakšne so vrednosti znaka na celi populaciji. Pri tem statistike ne zanimajo vrednosti znaka na posamezni enoti, ampak porazdelitev vrednosti na populaciji kot celoti, torej statistični parametri. Izbrati moramo reprezentativni vzorec. Vzorec je reprezentativen, če rezultati, dobljeni z vzorcem, bistveno ne odstopajo od rezultatov, ki bi jih dobili, če bi preučevali celotno populacijo. Kako izbrati reprezentativen vzorec, je najtežja naloga v statistiki. Posamezen element populacije imenujemo statična enota. Vsaki statistični enoti priredimo statistični znak. Ta je lahko numeričen ali atributiven, odvisno od tega, katera količina nas pri danem proučevanju zanima . Primer: Učitelja v nekem kraju zanima učni uspeh učencev, ki končujejo osnovno šolo. Za preučevanje izbere 8.b razred neke osnovne šole, v katerem je 27 učencev. Populacijo predstavljajo učenci, ki končujejo OŠ (statistične enote). Preučevalni statistični znak je numeričen (ocena od 1 do 5). Izbrani vzorec sestavlja 27 učencev 8.b razreda.

14. Kdaj je realno število racionalno in kdaj iracionalno? Kako se razlikujeta njuna decimalna zapisa? Naštejte vsaj tri primere racionalnih števil in primer iracionalnega števila. Kako na številski premici predstavimo racionalno število?

Racionalna števila so cela števila in ulomki. Vsako racionalno število ima lahko končen decimalni zapis ali pa neskončen periodičen decimalni zapis. To so npr. : 2/3, 3/7, ... Iracionalna števila imajo neskončen neperiodičen decimalni zapis. To so npr. : √2, √3, √5, e, π. Iracionalna števila so neperiodičen in neskončen decimalni zapis, natančen zapis torej ni mogoč, zato imajo svoje oznake (√2). Racionalno število na številski premici ponazorimo s točko. Začnemo s točko, ki predstavlja število 0, nato narišemo slike pozitivnih celih števil in negativnih celih števil. Sliko racionalnega števila, ki ni celo (torej pravega ulomka) dobimo tako:če je a/b in sta a in b naravni števili ter je 0 < a < b; daljico od točke, ki označuje število 0, do točke, ki označuje število 1, razdelimo na b enakih delov in odmerimo a takih delov od točke 0 v desno. Točka, ki jo tako dosežemo, predstavlja racionalno število a/b. Točka, ki predstavlja negativno število -a/b, leži na negativnem poltraku v enaki razdalji od točke 0. Primer: ulomek 3/7

Kaj je razlika dveh množic? Kako označimo razliko dveh množic in kako jo grafično predstavimo?

Razlika množic A in B je množica vseh elementov, ki so v množici A in niso v množici B.

Navedite formulo za izračun ploščine romba in jo predstavite na primeru.

S=a va S= a2 sinα S=(e f) / 2 Primer: Romb a=5, v=3, torej je S=15

34 Središčni in obodni kot Definirajte središčni in obodni kot v krogu. (2 točki) V kakšni zvezi sta, če ležita nad istim lokom kroga? (1 točka) Povejte in dokažite Talesov izrek o kotu v polkrogu. (2 točki) V enakostraničnem trikotniku je središče trikotniku očrtane krožnice. Koliko meri kot ASB? (1 točka)

Središčni kot nad lokom je kot, katerega vrh je središče krožnice, kraka pa gresta skozi točki, ki določata lok. Obodni kot je kot, ki ima svoj vrh na krožnici, kraka pa sta tetivi kroga, ki gresta skozi vrh in točki, ki omejujeta lok. Obodni kot je enak polovici njemu pripadajočega središčnega kota nad istim lokom. Vsi obodni koti nas istim lokom so enako veliki, ne glede na položaj vrha na krožnici. Talesov izrek: Če nad poljubno daljico AB narišemo polkrog ter kjerkoli na tem polkrogu izberemo točko C, bo obodni kot ACB vedno enak 90°, ne glede na to, kje točka C leži na narisanem polkrogu nad daljico AB. Drugače povedano, vsi obodni kot nad premerom merijo 90° (so pravi koti).

2. Kaj je tavtologija? (1 točka)

Tavtologija je sestavljena izjava, ki je vedno pravilna.

Kako poiščemo težišče trikotnika, središče trikotniku očrtanega kroga in središče trikotniku včrtanega kroga?

Težišče predstavlja presečišče vseh težiščnic v trikotniku. Za določitev težišča moramo torej konstruirati vsaj dve težiščnici, tretja pa nam lahko služi za kontrolo. Središče trikotniku očrtanega kroga je presečišče simetral stranic trikotnika. Središče trikotniku včrtanega kroga je presečišče simetral notranjih kotov trikotnika

Izpeljite formulo za izračun površine pravilne enakorobe štiristrane prizme z robom a.

To je kocka s stranico a, torej je P= .

Navedite formulo za izračun višine enakostraničnega trikotnika.

v2=a2 - (a / 2)2

· Opišite množice ℤ in predstavite na številski premici.

§ Množico celih števil dobimo tako, da k množici naravnih števil dodamo njihove nasprotne vrednosti -1,-2,-3,... in število 0. § Število -n imenujemo nasprotno število k naravnemu številu n. § ℤ=｛...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...｝

5. · Opišite množice ℕ in predstavite na številski premici.

§ Naravna števila so števila s katerimi štejemo: ℕ=｛1,2,3,4,...｝. § 1 je naravno število. § Vsako naravno število ima svojega naslednika. § Največjega naravnega števila ni. § Naravna števila predstavimo na številski premici:

Definirajte skladnost likov

· Dva lika sta skladna, če obstaja togi premik, ki enega preslika na drugega.

13. Kako iz decimalnega zapisa števila prepoznamo, da lahko to število zapišemo z ulomkom? Kako poljubnemu ulomku priredimo njegov decimalni zapis? Kateri ulomki imajo končen decimalni zapis? (3 točke)

Če decimalni zapis ni neskončen neperiodičen, lahko število zapišemo v obliki ulomka. Npr.: 1,65=165/100, 0,6=6/10 Ulomek preoblikujemo v decimalni zapis tako, da števec delimo z imenovalcem. Pri tem se lahko zgodi, da se deljenje po nekaj korakih izide, npr.: 13/4 = 3,25 33/200 = 0,165 ali pa se ostanki začnejo ponavljati. Zapis je končen, ko imamo v imenovalcu število, ki ga lahko zapišemo kot produkt potenc števil 2 in 5 ( 2n * 5m): 50 = 52 *2 (končna decimalka) 12 = 22 *3 (neskončna decimalka)

22 Za poljubno liho naravno število n in za poljubno realno število x definirajte n-ti koren števila x. (1 točka) Za poljubno sodo naravno število n in za poljubno nenegativno realno število x definirajte n-ti koren števila x. (1 točka ) Za vsako realno število x velja x2pod korenom =|x| . Pojasnite. Povejte vsaj tri pravila za računanje s koreni. (3 točke)

Če je n LIHO število velja: je tisto poljubno število, ki reši enačbo oziroma, katerega n-ta potenca je a. Primer: je tisto število, katerega sedma potenca je enaka 11. Če je n SODO število velja: je tisto nenegativno število, ki reši enačbo , oziroma, katerega n-ta potenca je a. =|x|, zato ker je v primeru negativnega števila x njegov kvadrat pozitiven, kvadratni koren pa po definiciji tudi pozitiven. To pomeni, da je enak absolutni vrednosti števila x, ne pa številu x samemu.

Povejte pravilo vsote.

Če je sestavljen izbor tak, da se lahko odločimo za eno od n možnosti iz prve množice izborov, ali za eno od m možnosti izborov iz druge množice, lahko tak izbor opravimo na n+m načinov.

25 Koti Pojasnite pojme ničelni, pravi, iztegnjeni in polni kot. (2 točki) Pojasnite pojme sosedna kota, sokota in sovršna kota. (3 točke) Kdaj je dani kot oster in kdaj top? (1 točka)

Če se kraka kota prekrivata, določata ničelni in polni kot. Pravi kot je kot, ki je enak svojemu sokotu. Iztegnjeni kot je kot, pri katerem se kraka dopolnjujeta v premico. Sosedna kota sta kota, ki imata skupni vrh in en krak. Sokota sta kota, ki imata skupen krak in vrh, ter skupaj tvorita iztegnjeni kot. Sovršna kota sta kota, ki imata skupen vrh, kraka pa se dopolnjujeta v premico. Sta skladna. Oster je kot, ki je manjši od svojega sokota. Top kot je večji od svojega sokota.

Kaj je osni presek valja? + formule

Če valj presekamo z ravnino, ki poteka skozi os valja, dobimo osni presek. Osni presek pokončnega valja je pravokotnik s stranicama in .

Opišite enega izmed postopkov za preverjanje, ali je dano število praštevilo.

Število, ki ni deljivo z nobenim praštevilom, manjšim ali enakim kvadratnemu korenu tega števila, je praštevilo.