Sasso - Geometria - assiomi e teoremi

vertice di una poligonale

ciascuno degli estremi dei lati di una poligonale.

figura geometrica convessa

figura F tale che, comunque scelti due punti A e B che le appartengono, il segmento AB è interamente contenuto in F.

poligono

figura formata da una poligonale e dai suoi punti interni.

figura geometrica concava (1)

figura geometrica non convessa

figure geometriche uguali

figure geometriche formate dagli stessi punti

proprietà riflessiva della congruenza

ogni figura è congruente a se stessa.

figura geometrica

ogni sottoinsieme del piano

vertice di un angolo

origine comune delle due semirette che individano un angolo

quadrilatero

poligono con 4 lati

pentagono

poligono con 5 lati

esagono

poligono con 6 lati

ettagono

poligono con 7 lati

ottagono

poligono con 8 lati

sostegno di una semiretta

retta di cui la semiretta è un sottoinsieme

diagonale di un poligono

segmento che congiunge due vertici non consecutivi

estremi di un segmento

sono i punti A e B del segmento AB

vertici di un poligono

vertici della poligonale che fa da contorno (o frontiera) al poligono.

centro di un fascio proprio

è il punto comune a tutte le rette che formano un fascio proprio.

ultimo estremo di una poligonale

è l'estremo dell'ultimo segmento di una poligonale che non è in comune con il penultimo segmento.

prolungamento del segmento AB dalla parte di A

è la semiretta di origine A che appartiene alla retta AB e non contiene B.

relazioni d'ordine totale

nell'insieme dei punti di una retta: a. Dati due punti A e B, tali che A precede B, esiste sempre un punto C compreso tra A e B. b. Dato un punto P, esistono sempre due punti A e B tali che A precede P e P precede B.

Assioma di partizione del piano da parte di una retta.

Data una retta r nel piano, l'insieme dei punti del piano che non appartengono ad r risulta diviso in due sottoinsiemi disgiunti e convessi tali che, se A appartiene al primo insieme e B appartiene al secondo, il segmento AB interseca la retta r in uno e un solo punto.

assioma di appartenenza (piano, retta)

Ogni piano è un insieme di punti, ogni retta è un sottoinsieme del piano

Congruenza di punti, semirette, rette piani e semipiani

Tutti i punti sono congruenti tra loro. Tutte le semirette sono congruenti tra loro. Tutte le rette sono congrunti fra loro. Tutti i piani sono congruenti tra loro. Tutti i semipiani sono congruenti tra loro.

Assioma di partizione del piano da parte di una poligonale chiusa

Una poligonale chiusa non intrecciata divide l'insieme dei punti del piano che non le appartengono in due sottoinsiemi. I due sottoinsiemi sono distinti dal fatto che uno può contenere delle rette, mentre l'altro non può.

assioma di appartenenza (retta, punti)

a) a ogni retta appartengono almeno due punti distinti; b) dati due punti distinti esiste una e una sola retta alla quale appartengono entrambi.

Assioma del trasporto dei segmenti e degli angoli.

a. Dato un segmento AB e una semiretta di origine O, esiste un unico punto P, sulla semiretta, tale che AB sia congruente a OP. b. Dato un angolo aÔb e una semiretta a' di origine O', su ognuno dei semipiani individuati dal supporto di a' esiste un'unica semiretta b' di origine O' tale che a'Ô'b' sia congruente ad aÔb.

angoli opposti al vertice

angoli convessi tali che i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell'altro angolo.

angolo esterno ad un poligono

angolo adiacente ad un angolo interno del poligono.

angolo giro

angolo che ha come lati due semirette coincidenti, e che coincide con l'intero piano.

angolo nullo

angolo che ha come lati due semirette coincidenti, e che non contiene altri punti oltre a quelli che appartengono ai suoi lati.

angolo piatto

angolo che ha come lati una coppia di semirette opposte

angolo interno di un poligono

angolo individuato da due lati consecutivi di un poligono e dal vertice comune.

semipiano con origine nella retta r

ciascuna delle due figure convesse formate dalla retta r e da una delle due parti in cui tale retta suddivide il piano.

angolo

ciascuna delle due parti di un piano individuata da due semirette aventi la stessa origine.

lato di un angolo

ciascuna delle due semirette aventi la stessa origine che individuano un angolo.

semirette opposte

ciascuna delle due semirette individuate da un punto O su una retta. La retta su cui giacciono le semirette è detta sostegno delle semirette.

semipiani opposti

ciascuno dei due semipiani distinti individuati dalla stessa retta origine.

lato di una poligonale

ciascuno dei segmenti che formano una poligonale.

assioma di esistenza e unicità di una circonferenza

comunque si scelgano nel piano un punto O e un segmento, esiste una e una sola circonferenza che ha centro in quel punto e raggio congruente al quel segmento.

concetto primitivo (definizione)

concetto che viene assunto senza darne una definizione

segmento

dati due punti A e B su una retta orientata, tali che A precede B, il segmento AB è l'insieme costituito dai due punti A e B e da tutti i punti che seguono A e precedono B. Può essere definito come l'intersezione tra la semiretta AB e la semiretta BA.

angoli consecutivi

due angoli che hanno in comune solo il vertice e i punti di uno dei loro lati.

angoli adiacenti

due angoli consecutivi i cui lati non comuni appartengono alla stessa retta.

segmenti consecutivi

due segmenti che hanno in comune uno e un solo estremo

figura geometrica concava (2)

figura F tale che esiste almeno una coppia di punti A e B che le appartengono e che individuano un segmento AB che non è interamente contenuto in F.

circonferenza con centro nel punto O e raggio dato dal segmento r

insieme dei punti P del piano tali che il segmento OP è congruente al segmento r.

dimostrazione

insieme dei ragionamenti che, a partire dall'ipotesi, permette di dedurre la tesi.

angolo convesso (dal punto di vista insiemistico)

intersezione di due semipiani aventi come origini due rette distinte ed incidenti.

Primo assioma della congruenza

la relazione di congruenza tra le figure del piano gode delle seguenti proprietà: proprietà riflessiva, proprietà simmetrica e proprietà transitiva.

lati di un poligono

lati della poligonale che fa da contorno (o frontiera) al poligono.

movimento rigido

movimento che non altera la forma né le dimensioni di una figura geometrica.

frontiera di un poligono

poligonale che individua il poligono. Viene detta anche contorno del poligono.

contorno di un poligono

poligonale che individua il poligono. Viene detto anche frontiera del poligono.

poligonale intrecciata

poligonale in cui due lati non consecutivi hanno un punto in comune.

decagono

poligono con 10 lati

triangolo

poligono con 3 lati

ennagono

poligono con 9 lati

postulato

proposizione che si accetta come vera, senza darne una giustificazione. Sinonimo di assioma.

assioma

proposizione che si accetta come vera, senza darne una giustificazione. Sinonimo di postulato.

teorema

proposizione ottenuta mediante un ragionamento di tipo deduttivo e basata unicamente su concetti primitivi o altre espressioni di cui sia già stato stabilito il significato

punto interno ad un semipiano

punto che appartiene ad un semipiano ma non alla sua origine.

punto interno ad una poligonale chiusa

punto che appartiene al sottoinsieme del piano a. Che viene individuato dalla poligonale b. Che non può contenere rette.

punto esterno ad una poligonale chiusa

punto che appartiene al sottoinsieme del piano a. Che viene individuato dalla poligonale b. Che può contenere rette.

concetti primitivi della geometria

punto; retta; piano.

origine di un semipiano

retta che separa un semipiano dal semipiano opposto. È anche detta frontiera del semipiano.

frontiera di un semipiano

retta che separa un semipiano dal semipiano opposto. È anche detta origine del semipiano.

retta orientata

retta su cui è stato fissato un verso di percorrenza.

rette parallele

rette appartenenti ad uno stesso piano che non si incontrano in alcun punto

rette incidenti

rette che hanno in comune uno e un solo punto.

proprietà transitiva della congruenza

se F1 è congruente a F2 e F2 e congruente a F3, allora anche F1 e F3 sono congruenti.

proprietà simmetrica della congruenza

se F1 è congruente a F2, allora F2 è congruente a F1.

segmenti adiacenti

segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta.

corda di un poligono

segmento che congiunge due punti del contorno di un poligono appartenenti a due lati distinti.

punti interni ad un segmento

sono i punti di un segmento che sono diversi dagli estremi.

semiretta

sottoinsieme di una retta orientata individuato da un punto O della retta, e da tutti i punti che precedono (o seguono) tale punto. Il punto O viene detto origine della semiretta.

angolo concavo (dal punto di vista insiemistico)

unione di due semipiani aventi come origini due rette distinte ed incidenti.

primo estremo di una poligonale

è l'estremo del primo segmento di una poligonale che non è in comune con il secondo segmento.

fascio proprio

è l'insieme delle infinite rette che passano per un punto del piano. Il punto per cui passano tutte le rette si chiama centro del fascio.

prolungamento del segmento AB dalla parte di B

è la semiretta di origine B che appartiene alla retta AB e non contiene A.

punto

è un concetto primitivo (può esser suggerito da un granello di sabbia, o dalla traccia lasciata sul foglio dalla punta di una matita)

piano

è un concetto primitivo (può essere suggerito da un foglio di carta, dalla superficie piana di uno specchio d'acqua, immaginati indefinitamente estesi)

retta

è un concetto primitivo (può essere suggerito dall'immagine di un raggio di luce o di una corda ben tesa, immaginati indefinitamente estesi)

segmento nullo

è un segmento AB in cui gli estremi A e B coincidono

poligonale

è una figura formata da un insieme ordinato di segmenti tali che: a. Ciascun segmento e il successivo siano consecutivi, ma non adiacenti. b. Segmenti non successivi non abbiano estremi in comune.

poligonale chiusa

è una poligonale in cui il primo e l'ultimo estremo coincidono

poligonale aperta

è una poligonale in cui il primo e l'ultimo estremo sono distinti.