Verojatnost

Klasiqna definicija na verojatnost

Neka Ω = {E1, E2, . . . , En} e dadeno koneqno mnoestvo elementarni nastani i neka sekoj od niv ima ednakva verojatnost da se pojavi, t.e. P(Ei) = 1 n , i = 1, 2, . . . , n. Ako A e sluqaen nastan vo vrska so dadeniot eksperiment vo koj se sodrat k elementarni nastani, togax verojatnosta na nastanot A se opredeluva so: P(A) = k / n

Definizaja na Nezavisnost na dva nastani

Za nastanot A velime deka e nezavisen od nastanot B, ako P(A|B) = P(A).

Verojatnost od proizvod na n nastani

Za proizvolni n nastani A1, A2, . . . , An ∈ F, verojatnosta na nivniot proizvod moe da se opredeli so formulata: P(A1A2A3 . . . An−1An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1). . . P(An|An−1 . . . A2A1).

Sluqajni promenlivi od diskreten tip

Za sluqajnata promenliva X velime deka e od diskreten tip (ili diskretna sluqajna promenliva), ako mnoestvoto vrednosti (t.e. rangot) na funkcijata X e koneqno ili prebroivo.

Definicija na σ-algebra

Familijata F se narekuva σ-algebra od podmno- estva od Ω, ako gi zadovoluva slednite tri uslovi: σ.1. Ω ∈ F; σ.2. Ako A ∈ F, togax A ∈ F; σ.3. Ako Ai ∈ F, i = 1, 2, . . ., togax + [∞ i=1 Ai ∈ F;

Funkcija na raspredelba na sluqajnata promenliva

Funkcija na raspredelba na sluqajnata promenliva X e funkcija F : R → R definirana so F(x) = P{E|X(E) < x} = P{X < x}, za sekoj x ∈ R.

Funkcija na raspredelba na sluqaen vektor

Funkcija na raspredelba na sluqajniot vektor (X, Y ) e funkcijata F : R 2 → R definirana so F(x, y) = P({X < x} ∩ {Y < y}) = P{X < x, Y < y}, za site (x, y) ∈ R 2 .

Formula za totalna verojatnost

Neka Hi ∈ F, i = 1, 2, . . . i HiHj = ∅, za i 6= j i neka + P∞ i=1 Hi = Ω. Togax za proizvolen sluqaen nastan A ∈ F e toqna slednata formula: P(A) = suma(+∞ i=1) P(Hi)P(A|Hi)

Slucaen Vektor def

Neka X1, X2, . . . , Xn se sluqajni promenlivi definirani na prostorot na verojatnost (Ω, F, P). Podredenata n-torka X = (X1, X2, . . . , Xn) se narekuva sluqaen vektor ili pove´kedimenzionalna sluqajna promenliva.

Sluqajna promenliva od apsolutno-neprekinat tip

Ako postoi integrabilna funkcija p(x), takva xto za funkcijata na raspredelba na sluqajnata promenliva X e toqno ravenstvoto F(x) = Zx −∞ p(t)dt, (1) togax za sluqajnata promenliva X velime deka e od apsolutno-neprekinat tip.

Definicija na uslovna verojatnos

Definicija Uslovnata verojatnost na nastanot A pri uslov B se oznaquva so P(A|B) i se definira so P(A|B) def. = P(AB) /P(B) , A ∈ F.

Definicija Elementaren nastan

Elementaren nastan vo vrska so daden eksperiment e sekoj logiqki ishod koj ne moe da se razloi na drugi nastani. Pritoa, pri sekoja realizacija na eksperimentot se pojavuva eden i samo eden elementaren nastan.

Omega

Mnoestvoto od site vakvi nastani vo vrska so eden eksperiment se narekuva mnoestvo elementarni nastani i se oznaquva so Ω

Definicija na verojatnost

Neka F e σ-algebra od podmnoestva od Ω. Preslikuvanjeto P : F → R, kade R e mnoestvoto realni broevi se narekuva verojatnost, ako se zadovoleni slednite tri uslovi: P.1. P(A) ≥ 0, za sekoj nastan A ∈ F P.2. P(Ω) = 1. P.3. Ako Ai ∈ F, i = 1, 2, . . ., i AiAj = ∅, za i 6= j, togax P(suma od Ai) = suma od ( P(Ai) )

Bejesovi formuli

Neka Hi ∈ F, i = 1, 2, . . . i HiHj = ∅, za i 6= j i neka + P∞ i=1 Hi = Ω. Togax toqni se slednite formuli: P(Hj | A) = ( P(Hj ) / P(A | Hj) )/ P(A)

Slucaen nastan

Sluqaen nastan e proizvolno podmnoestvo od mno- estvoto elementarni nastani Ω.

Definicija na sluqajna promenliva

Sluqajna promenliva X definirana na prostorot na verojatnost (Ω, F, P) e funkcija X : Ω → R koja e F-izmerliva, t.e. {E|X(E) < x} ∈ F, za sekoj x ∈ R.

Definicija na sluqaen vektor od diskreten tip

Sluqajniot vektor (X, Y ) e od diskreten tip, ako postoi diskretno (koneqno ili prebroivo) mno- estvo R(X,Y ) ⊆ R 2 taka xto P{(X, Y ) ∈ RC (X,Y ) } = 0.

Nezavisnost na sluqajni promenlivi

Sluqajnite promenlivi X i Y se nezavisni akko zaedniqkata funkcija na raspredelba na vektorot (X, Y ) moe da se pretstavi kako proizvod na marginalnite funkcii na raspredelba na sluqajnite promenlivi X i Y , t.e F(x, y) = FX(x)FY (y).