FINAL ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA I

z+w

((a+c),(b+d))

Simétrica

(a,b) ∈ R ⇒ (b,a)∈ R

zw (forma polar)

(rs) 𝜽+𝝆

Propiedades de la diferencia simétrica

1- A △ B = (AUB)⋂C(A⋂B) 2- A △ B = (A⋂C(B)) U(C(A)⋂B)

Propiedades de la diferencia de conjuntos

1- A-A=∅ 2- A-∅=A 3-∅-A=∅ 4=A-B=B-A⇒B=A 5-(A-B)-C ⊆ A-(B-C)

Propiedades inclusión

1- E ⊆ E pues x∈E ⇒x∈E 2- P (conjunto de los números pares) P⊂ ℕ 3- E={ℕ,P}, {ℕ}⊂E, ℕ∊E 4- Sea F el conjunto de las rectas de un plano, si Q es un punto de una recta r en dicho plano, Q∈r {Q}⊂r pero Q∉F y Q⊈F

Propiedades de la clase de equivalencia

1- [a]≠∅ 2- (a,b)∈R ⟺ [a]=[b] 3- (a,b)∉R ⟺[a] ⋂ [b]=∅

Si A⊂B y B⊂C entonces

AcC

Cardinal |A|

Cantidad de elementos del conjunto

Conjunto de partes P(A)

P(A)=2^A={F: F c A} |P(A)|=2^|A|

Relación de orden

Reflexiva, antisimétrica y transitiva

Relación de equivalencia

Reflexiva, simétrica y transitiva

z

a+bi

Reflexiva

si (a,a) ∈ R ∀ A

Inclusión A ⊆ B

∀ x: x∈A ⇒x∈B

z /w

( ac+bd , bc-ad ) c^2+d^2 c^2+d^2

z-w

((a-c),(b-d))

Forma par ordenado

(a,b)

Transitiva

(a,b)∈R y (b,c)∈R ⇒ (a,c)∈ R

zw

(ac-bd , ad+bc)

2º Regla de sustitución

(p→q)⇔¬p ∨ q

-i^4

-1

i^2

-1

i^3

-i

-i^2

1

z.z^-1

1

z^-1 (forma polar)

1 r -𝜽

Propiedades del producto cartesiano

1-Ax(B⋂C)= AxB ⋂ AxC 2-Ax(B U C)= AxB U AxC

Propiedades del complemento

1-Ū=∅ 2- Complemento del complemento de A es A 3- Leyes de De Morgan C(AUB)= C(A) ⋂ C(B) C(A⋂B)= C(A) U C(B) 4-

Algunas relaciones de orden

1. relacion menor/igual usual en R 2.. relacion mayor/igual usual en R 3.relacion contención en P(A) 4. En Z, a≺b sii a divide a b

z + z

2a=2Re(z)

z - z

2bi=2Im(z)

grado(P+Q)

<= max(gr P, gr Q)

Unión

A U B= {x∈U: x∈A v x∈B}

Conjunto cociente de A por R

A/R= {[a]: a∈A}

Si A⊂B y B⊆C entonces

AcC

Si A⊆B y B⊂C entonces

AcC

Igualdad de conjuntos A=B

A⊆B⟺B⊆A ∀x [x∊A⟺x∈B]

Intersección

A⋂B = {x∈A ∧ x∈B}

Propiedades de la composición

Es asociativa, NO es conmutativa y (T o S)^-1= S^-1 o T^-1

Conjuntos disjuntos

E⋂F=∅ P{E}⋂P{F}={∅}

Función

La relación f es función si 1. Para cada a∈A, ∃B∈B: (a,b)∈R 2. No puede haber dos pares (a,b1) y (a,b2) con b1=b2 en la relación

Subconjunto vacío ∅

No tiene elementos, está incluído en todo conjunto

Polinomio Nulo

P(x)=0

Polinomio Constante

P(x)=3

Ruffini

Se puede utilizar cuando dividimos por un polinomio de la forma Q(x)= x-𝜶

Retículo

Sea (A,R) un conjunto parcialmente ordenado decimos que es un retículo si dado x,y ∈A cualquiera, Sup{x,y} e Ínf{x,y} existen en A

Teorema del resto

Sea p ∈ ℂ con gr(P) ≥1 Y z∈ℂ entonces P(z) de P(x)/Q(x) Q(x)=x-z

Antisimétrica

Si (a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∉ R (a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R ⟺ b=a

Divisibilidad

Un polinomio es divisible por otro si P(x)/Q(x) = 0

Supremo

Una cota superior a' de B es supremo de B si a'≺a ∀ cota superior de B

Relación

Una relación de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto R de AxB. Si (a,b) ∈ R entonces aRb.

Clase de equivalencia

[a]={x∈A: (a,x)∈R}

Ínfimo

a ∈ A es el ínfimo de B si a es la mayor de las cotas inferiores de B Una cota inferior a' de B es ínfimo de B si a≺a' ∀ cota inferior de B

Cota inferior

a ∈ A es una cota superior de B si ∀b∈B a≺b

Cota superior

a ∈ A es una cota superior de B si ∀b∈B b≺a

Máximo

a ∈A se llama máximo (o ultimo elemento) si x≺a ∀x∈A, es único y debe pertenecer al conjunto

Mínimo

a ∈A se llama mínimo (o primer elemento) si a≺x ∀x∈A, es único y debe pertenecer al conjunto

Forma rectangular/binómica

a+bi

z

a-bi

𝜽

arctan b/a

arg(z)+arg(w)

arg(zw)

Maximal

a∈A es un maximal de A si ∀x∈A a≺x

Minimal

a∈A es un minimal de A si ∀x∈A x≺a

Propiedades de la unión

conmutativa, asociativa B⊆A ⟺ B U A = A

Propiedades de la intersección

conmutativa, asociativa B⊆A ⟺ B ⋂ A = B

Comparables

en un conjunto ordenado, diremos que x, y ∈A, serán comparables si x≺y o y≺x

-i^3

i

i^1

i

i^4

i

Leyes de absorción

p v (p ∧ q) ⇔ p p ∧ (p v q) ⇔ p

Implicación

p → q

Leyes asociativas

p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q ) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q ) ∨ r

Leyes distributivas

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r)

Leyes de neutro

p ∨ F ⇔ p p ∧ T ⇔ p

Leyes de dominación

p ∨ T ⇔ T p ∧ F ⇔ F

Leyes idempotentes

p ∨ p ⇔ p p ∧ p ⇔ p

Leyes conmutativas

p ∨ q ⇔ q ∨ p p ∧ q ⇔ q ∧ p

Leyes de inversos

p ∨ ¬p ⇔ T p ∧ ¬p ⇔ F

Recíproca

q → p

Forma polar

r 𝜽

z/w (forma polar)

r s 𝜽-𝝆

Forma trigonometrica

r(cos𝜽 + i sen 𝜽)

a

r.cos𝜽

b

r.sen𝜽

z^n(forma polar)

r^n (n𝜽)

Factorizar por factor comun

si P no tiene términe independiente se saca factor comun del monomio con menor grado

Conjunto totalmente ordenado

todo par de elementos es comparable, orden total

z+w

z + w

|z|^2

z . z = a^2+b^2

zw

z w

(z^n)^m

z^n*m

z^n . z^m

z^n+m

(z.w)^n

z^n. w^n

(z/w)^n

z^n/w^n

Producto Cartesiano AxB

{(a,b): a ∊ A, b ∊B}

Relación inversa R^-1

{(x,y): (y,x)∈R} Dom(R^-1)=Im(R) Im(R^-1)=Dom(R)

Relación de composición S o R

{(x,y)∈AxC: (x,u)∈ R y (u,y)∈S para algun u∈B}

Partición P de A

{X1, X2, ...} donde Xi ⋂ Xj = ∅ ∀a∈A, ∃ Xi ∈ P: a ∈ Xi

Dom(R)

{a∈A: (a,b) ∈ R, para algun b ∈B} Dom(R) c A

R^-1({a})= R^-1(a)

{a∈A:(a,b)∈R} es la preimagen de a por R

Im(R)

{b∈B: (a,b) ∈ R, para algun a ∈A} Im(R) c B

R({a})= R(a)

{b∈B:(a,b)∈R} es la imagen de a por R

Diferencia Simétrica A △ B

{x ∈ U: x∈A ó x∈B}={AUB}-{A⋂ B}

Diferencia de conjuntos A-B

{x∈A∧x∉B}

Complemento Ā

{x∈U, X∉A}

|z^-1|

|z|^-1

|zw|

|z||w|

Leyes de De Morgan

¬(p ∨ q) ⇔¬p ∧ ¬q ¬(p ∧ q) ⇔¬p ∨ ¬q

Inversa

¬p → ¬q

Contrapositiva

¬q → ¬p

Ley de la doble negación

¬¬p⇔p

Inculsión Propia A ⊂ B

∀ x: x∈A ⇒x∈B pero ∃y ∈B: y∉A

|z|

√a^2+b^2

arg(z)

∢ entre el eje real x y el segmento |z|

Raíz de un polinomio

𝜶 es una raíz de P si P(z)=0