Linearna algebra II

Primjeri direktnog komplementa.

Npr. Ako je u R3 zadan potprostor L kao linearna ljuska skupa vektora {i,j}, onda je jedan direktan komplement M1=[{k}] ili bilokoji drugi nekomplanaran vektor (u ovom slučaju). Vektor k je onaj koji otvara put u višu dimenziju lol

Primjeri linearnih operatora u ravnini

Osna simetrija, centralna simetrija, homotetija, rotacija, ortogonalna projekcija.

Neka je S sustav izvodnica za V i neka se x iz S može prikazati kao linearna kombinacija nekih drugih elemenata iz S. Tako je S\{x} sustav izvodnica za V.

Propozicija 1.12.

Redukcija sustava izvodnica do baze za V.

Propozicija 1.16.

Proširenje linearno nezavisnog skupa do baze za V.

Propozicija 1.22.

Dva uvjeta za potprostor.

Propozicija 1.28.

Neka je V v.p., dimV=n, M je potprostor od V. Tada je dimenzija potprostora M manja ili jednaka dimenziji vektorskog prostora V.

Propozicija 1.34.

Neka je V v.p. i L i M njegovi potprostori. Tada je i njihov presjek također potprostor od V.

Propozicija 1.35.

Skup vektora u V je linearno zavisan ako i samo ako postoji element tog skupa koji je linearna kombinacija preostalih elemenata toga skupa. Ako je skup vektora linearno zavisan, uređen i prvi član nije nulvektor, onda postoji element tog skupa koji je linearna kombinacija svojih prethodnika.

Propozicija 1.9.

Zadavanje na bazi i proširenje po linearnosti.

Propozicija 2.10.

Linearni operator i potprostor.

Propozicija 2.11.

Kada je linearan operator iz L(V,W) injekcija (monomorfizam)?

Propozicija 2.14. i Propozicija 2.15. 1. Kada je jezgra nulprostor (defekt je nula). 2. Kad je za svaki linearno nezavisan skup S iz V, skup A(S) linearno nezavisan u W.

Kompozicija linearnih operatora.

Propozicija 2.20.

Što znači da je skup L(V) asocijativna algebra s jedinicom?

Propozicija 2.28.

Matrični zapis vektora x u bazi e.

Propozicija 2.29.

L(V,W) je vektorski prostor nad F.

Provjera jesu li operacije dobro definirane. Provjera 8 svojstava vektorskog prostora.

Neka je V v.p. i B baza za V. Tada se svaki vektor iz V na jedinstven način može zapisati kao linearna kombinacija vektora baze.

Teorem 1.14.

Svaki konačnodimenzionalan nenul vektorski prostor ima bazu.

Teorem 1.18.

Sve baze za konačnodimenzionalan nenul vektorski prostor su jednakobrojne.

Teorem 1.20.

Veza dimenzije potprostora, dimenzije njihove sume i dimenzije njihovog presjeka.

Teorem 1.41.

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i L njegov potprostor. Tada postoji direktan komplement od L u V.

Teorem 1.46.

Uvjeti da je kvocijentni skup V/M vektorski prostor nad poljem F.

Teorem 1.49.

Veza dimenzije vektorskog prostora V, dimenzije njegovog potprostora M i dimenzije kvocijentnog potprostora V/M.

Teorem 1.50.

Primjeri linearnih operatora.

Transponiranje matrica, trag matrice, derivacija polinoma, pomak ulijevo, pomak udesno.

Primjeri vektorskih prostora

X(p), X(M), X(E), R2, Rn, Cn, skup svih matrica, skup svih nizova, skup svih polinoma, skup svih neprekidnih funkcija...

Dimenzija od L(V,W).

dimV x dimW

Nuloperator i jedinični operator.

0x=0. Ix=x.

Teorem o rangu i defektu.

r(A)+d(A)=dimV

Polje

Definicija 1.1.

Linearna ljuska

Definicija 1.10.

Sustav izvodnica

Definicija 1.11.

Baza vektorskog prostora

Definicija 1.13.

Konačnodimenzionalan vektorski postor

Definicija 1.15.

Vektorski prostor

Definicija 1.2.

Dimenzija vektorskog prostora

Definicija 1.21.

Potprostor

Definicija 1.27.

Suma potprostora

Definicija 1.37. + Propozicija 1.38.

Direktna suma potprostora

Definicija 1.39. + Propozicija 1.40.

Direktan komplement.

Definicija 1.45.

Linearna mnogostrukost u smjeru potprostora M i njezina povezanost s relacijama i klasama ekvivalencije.

Definicija 1.48.

Linearna kombinacija

Definicija 1.6.

Linearno nezavisan skup vektora

Definicija 1.7.

Linearno zavisan skup vektora

Definicija 1.7.

Jezgra operatora. Defekt operatora.

Definicija 2.12.

Slika operatora. Rang operatora. Sustav izvodnica za sliku.

Definicija 2.12. i Napomena 2.13.

Zbrajanje po točkama i množenje skalarima po točkama u L(V,W).

Definicija 2.25.

Što je linearni operator?

Definicija 2.6.

Što mora vrijediti za linearan operator A da bi monomorfizam, epizomorfizam i izomorfizam bili ekvivalentne tvrdnje?

Dimenzije polaznog i dolaznog prostora moraju biti jednake.

Izomorfnost vektorskih prostora.

Dva su prostora izomorfna ako postoji izomorfizam s jednog prostora u drugi. Tj. ako i samo ako su im dimenzije jednake.

Primjeri potprostora vektorskog prostora svih kvadratnih matrica reda n. + dimenzije

G - gornjetrokutaste. (n(n+1)/2) D - donjetrokutaste. (n(n+1)/2) S - simetrične. (n(n+1)/2) A - antisimetrične. ((n-1)n/2)

Što je monomorfizam, epizomorfizam i izomorfizam?

Injekcija, surjekcija, bijekcija.

Neka je V v.p. i dimV=n. Svaki linearno nezavisan skup u V ima n ili manje elemenata. Onaj koji ima točno n je baza za V. Svaki sustav izvodnica za V ima n ili više elemenata. Onaj koji ima točno n je baza za V.

Korolar 1.25.

Zatvorenost na dvočlane linearne kombinacija (uvjet za potprostor).

Korolar 1.29.

Veza dimenzija potprostora i dimenzije njihove direktne sume.

Korolar 1.42.

Skup svih linearnih operatora s V u W.

L(V,W).

Svaki linearno nezavisan skup u V ima manje ili jednako elemenata nego sustav izvodnica za taj isti vektorski prostor V.

Lema 1.19.

Svojstvo linearnosti. Nužan uvjet.

Linearnost = aditivnost + homogenost. Svaki linearan operator nulvektor preslika u nulvektor.

Nezavisnost jednočlanog skupa

Napomena 1.8. d)

Zavisnost skupa s nulvektorom

Napomena 1.8. e)

Podskup nezavisnog skupa

Napomena 1.8. g)

Nadskup zavisnog skupa

Napomena 1.8. h)

Kada kažemo da je operator regularan (invertibilan)?

Napomena 2.24.

Djelovanje linearnog operatora na vektore baze.

Napomena 2.9.