Logika a teoretická informatika
Podmínky formálního jazyka
1) Abeceda a) elementární DUV (p, q, r...) b) symboly pro logické operátory (¬, ∧,∨, ->, <=>) c) pomocné symboly 2) Gramatická pravidla a) Je-li A výraz, potom ¬A je výraz. b) Jsou-li A, B výrazy, potom (A∧B), (A∨B), (A->B), (A<=>B) jsou výrazy.
Co musí obsahovat formální jazyk?
1) Definovanou abecedu 2) Konečný počet gramatických pravidel 3) Elementární DUV
Jaké dvě množiny potřebujeme v sémantice?
1) Množinu DUV, kterým chceme přiřadit význam 2) Množinu významů, které můžeme přiřadit
Postup při určování správnosti úsudku
1) Sestrojit pravdivostní tabulku pro všechny úsudky, které se v zadání vyskytují. 2) Označit premisy 3) Označit řádky, kde jsou všechny premisy pravdivé 4) Vyhodnotit závěr v OZNAČENÝCH řádcích 5) Vyhodnotit úsudek Závěr je metalogický: Úsudek je pravdivý, když je závěr pravdivý ve všech označených řádcích.
Dělení logiky podle Hilberta
1) Syntaxe = jak se logické výrazy vytvářejí, co je dobře a špatně vytvořený výraz, zabývá se formou výrazu 2) Sémantika = výrazům přisuzuje význam, zkoumá možnosti korektního přiřazení významu duv 3) Axiomatika = teorie usuzování a odvozování
Vnitrologická ekvivalence
A ⇔ B Vnitrologická ekvivalence je logický operátor. Sémanticky jsou metalgická a vnitrologická ekvivalnce stejné výroky (jejich význam je stejný), v syntaxi jsou ale rozdílné
Co je abeceda (z hlediska formálního jazyka)?
Abeceda je konečná množina znaků.
Jaký je cíl současné formální logiky?
Být základem formálních věd.
Formální logika
Cca 1920, nahradila symbolickou logiku. Zabývá se formou úsudků, jejichž platnost nezávisí na pravdivosti pojmů, ale na formální správnosti.
Jak vzniká DUV?
DUV vzniká aplikací gramatických pravidel na jiné již předem utvořené výrazy. Lze ho utvořit pomocí konečného počtu kroků.
Metalogická ekvivalence
Def. A, B výroky A ≡ B právě když I(A) = I(B) pro každou interpretaci. Sémanticky jsou metalgická a vnitrologická ekvivalnce stejné výroky (jejich význam je stejný), v syntaxi jsou ale rozdílné. Všechny tautologie jsou navzájem ekvivalentní v metalogické ekvivalenci, to samé platí pro kontradikce
Symbolická logika
Druhá vývojová fáze logiky, 19. století. Výroky se začaly označovat symboly z matematiky.
Množina Booleovských hodnot
I: A ∈ DUV -> I(A) ∈ B = {1, 0} B je množina Booelovských hodnot; množina obsahuje dvě hodnoty, 0 a 1, značící pravdu a nepravdu.
Základní komunikační schéma
Informaci přeložím (zakóduji) do nějakého řetězce fonémů/znaků, který příjemce přijme a dekóduje ji.
Interpretace
Interpretace spočívá v tom, že každému dobře utvořenému výrazu (DUV) přiřadíme hodnotu 0 nebo 1 (pravda/nepravda). Interpretace je pravidlo, podle kterého se dobře vytvořenému výrazu přiřadí pravdivostní hodnota. Když je složený výrok, pak jeho interpretace závisí na interpretaci složek, ze kterých se skládá -> musí podléhat tabulce pro logické operátory
Co je to počítačový program (z hlediska logiky)?
Je to dobře uvtořený výraz v daném programovacím jazyce.
Sémantika
Nauka o tom, jakým způsobem vzniká význam. Je to způsob, jakým se výrazům přiřazují významy. Výrazy jazyka jsou nositelé významu.
Jaký byl cíl aristotelovské logiky?
Pochopit, v čem spočívá správnost úsudku. Jak se stane, že některé odvozování je správné a některé špatné.
Obměnění implikace
Pokud zneguji jednotlivé složky implikace a obrátím pořadí výroků, tak je implikace stále platná. (A->B) <=> (¬B->¬A)
Modus ponens
Pravidlo modus ponens, též modus ponendo ponens nebo pravidlo vynětí, je odvozovací pravidlo a základ argumentace a dokazování nejen ve výrokové logice. Základní a nejdůležitější logické odvozovací pravidlo, které platí pro různé druhy ↗implikace v tomtéž tvaru: z implikace a jejího ↗antecedentu plyne konsekvent. Symbolicky (pro striktní implikaci): A → B, A ∴ B. Např. z výroků „jestliže nejde proud, lampa nesvítí" a „nejde proud" plyne výrok „lampa nesvítí". Pravidlo zní: Jestliže platí "A" a zároveň platí "z A vyplývá B", pak platí i "B".
Jak souvisí počítačová revoluce s logikou?
Programovací jazyk je druhem formálního jazyka. Základem teoretické lingvistiky, databází, formálních jazyků na programování je logika. Sféra počítačů spadá tedy do oblasti logiky.
Gramatické pravidlo
Předpis, jak lze z nějakého počtu výrazů vytvořit výraz nový.
Úsudek
Schéma, kde z nějakého počtu premis vyplývá nějaký závěr.
V čem podle Aristotela spočívá správnost úsudku?
Správnost úsudku spočívá v jeho formální správnosti.
Co vymyslel Gottlob Frege?
Vymyslel predikátovou logiku. Tato logika je dostačující na popis exaktních věd. Jeho vrcholné dílo je Teorie pojmů. Pojmy v logice však nejsou dodnes popsané.
Noam Chomsky
Vytvořil generativní gramatiku (v podstatě formální jazyk)
Co je to výraz (z hlediska formálního jazyka)?
Výraz je jakýkoli konečný řetězec znaků z dané (předem definované) abecedy. !POZOR! Výraz existuje, i když nenní zapsaný.
Dobře uvořený výraz (duv)
Výraz, kterému lze přiřadit smysl, význam.
Splnitelný výrok
Výrok je alespoň v jedné interpretaci pravdivý a alepoň v jedné interpretaci nepravdivý
Výrok definice podle Součka
Výrok je dobře utvořený výraz ve formánlím jazyce výrokové logiky.
Kontradikce
Výrok je kontradikce právě když je nepravdivý v každé interpretaci (zákon sporu)
Tautologie
Výrok je tautologie právě když v každé interpretaci nabývá pravdivostní hodnoty jedna -> je pravdivý v každé interpretaci [zákon vyloučeného třetího]
Výrok definice
Výrok je tvrzení, kterému můžeme přisoudit pravdivostní hodnotu. Definice od Hilberta. Špatná definice podle Součka (pojem výroku nesouvisí s pravdivostní hodnotou)
Jaké jsou významy výroků?
Významy výroků jsou pravdivostní hodnoty (pravda a nepravda)
Formální vědy
Vědy, které principielně pracují s výrazy. Jejich základem je logika. Spadá sem teorie formálních jazyků, veškeré programování (computer science), teoretická sémantika, teoretická lingvistika, databáze.
Co vytvořil George Boole?
logický kalkulus
Úsudek (rozšířená definice)
Úsudek je schéma sestávají se z výroků. Určujeme u něj, jestli je správný/nesprávný a tím pádem platný/neplatný, ne jestli je pravdivý/nepravdivý. Smysl úsudku je, aby nás dovedl od pravdivých premis k pravdivému závěru. Pomocí pravdivostní tabulky zanalyzujeme všechny výroky, které úsudek tvoří a na základě toho se rozhodneme o jeho platnosti.
