신론 4부

수학교육의 목적을 한 마디로 요약하시오.

'수학적으로 사고하도록 가르치는 것'이다.

형태심리학자들이 강조한 '관계적 결정 원리'에 대해 설명하시오.

'전체'는 요소의 단순한 모자이크적인 집합이 아니며 그 자체를 구조화하여 게슈탈트를 형성하고 내적 관련성을 보유하며 '부분'은 그 전체에 의해서 규정되어 있다는 이론이다.

손다이크가 주장한 효과의 법칙이란?

'효과의 법칙'이란 어떤 자극과 반응 사이의 결합이 형성되고 만족스러운 결과가 수반되면 자극-반응의 결합의 강도는 증대되고, 불만족스러운 결과가 수반되면 자극-반응의 결합이 약화된다는 것이다.

폴리아의 문제 해결의 각 과정에서의 발문의 예를 2가지씩 제시하시오.

(매우 많은 발문이 있으니 각자 책을 참고하여 2개씩 외워오도록 한다.)

수학교수-학습 상황에서 문제제기의 역할과 중요성

-창의적 능력이나 특별한 수학적 능력의 발현에 도움을 준다. -탐구 지향적인 학습 태도를 길러준다. -학생들의 수학에 대한 이해 정도를 파악할 수 있는 수단이 된다. -학생들에게 이미 배운 지식을 종합적으로 이용할 수 있는 기회를 제공한다. -학력 수준이 낮은 학생들에게도 의미 있는 수학 학습 활동을 제공한다. - 수학에 대한 긍정적인 성향을 함양시키는 수단이 된다.

문제제기와 관련하여 잘못된 발문의 교육적 한계

-학생이 제시된 문제를 거의 해결할 단계에 와 있으면 학생은 이러한 발문에 함의된 암시를 이해할 수도 있다. 그러나 그렇지 못한 경우라면 학생은 그 발문이 무엇을 이끌어 내고자 하는지를 전혀 알지 못할 것이다. -학생이 이러한 발문이나 권고를 이해한다고 해도, 이러한 발문이나 권고는 해결의 실마리를 직접적으로 제시함으로써 학생들이 해야 할 것을 거의 남겨 놓지 않는다. -이러한 발문이나 권고는 지나치게 구체적이고 특수한 것으로, 학생은 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있을 지 모른다. 그러나 이러한 발문으로 문제를 해결한 경험은 미래에 다른 문제를 해결하는 데는 별 도움이 되지 못한다.

손다이크의 추론적 사고는 무엇인가?

1. 떠오르는 여러 가지 생각 중 선택을 하고 2. 이미 형성되어 있는 습관적인 반응으로는 해결할 수 없는 새로운 문제를 다루며 3. 체계적인 방법으로 여러 가지 행위를 결합함으로써 반응하여 목적성을 띠게 되는 사고이다.

폴리아의 문제 해결의 각 과정에 대한 설명하시오.

1. 문제 이해 : 문제에서 구하려는 것과 주어진 것을 알고, 용어의 뜻을 파악하며, 문제를 분석하는 단계 2. 해결 계획 단계 : 문제에서 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관계를 파악하는 단계(여러 문제해결 전략 사용) 3. 계획 실행 단계 : 해결 계획에 따라 실행하는 단계이다. 4. 반성 단계 : 문제를 해결한 과정을 처음부터 검토해 보고, 다른 방법으로 해결할 수는 없는지를 알아보고, 혹시 다른 방법이 있으면 어느 방법이 더 나은지를 생각해본다.

문제제기의 의미

1. 문제를 해결하는 과정에서 새로운 문제를 제기함으로써 원래의 문제를 재해석하게 되고 원래의 문제를 해결할 수 있는 단서가 생기게 된다. 2. 새로운 문제를 만들어 보는 활동을 통해 원래의 문제를 이전과는 전혀 다른 새로운 관점에서 볼 수 있게 함으로써 그 의미를 보다 명확하게 이해할 수 있게 할 뿐만 아니라 그로부터 새로운 생각을 하게 하기도 한다.

수학적 모델링을 통하여 수학교육에서 달성할 수 있는 목적 5가지를 설명하시오.

1. 새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다. 2. 실생활 또는 다른 교과에서의 수학의 응용과 모델링의 실제를 이해한다. 3. 창의적 사고와 문제해결 태도, 활동, 능력을 기른다. 4. 수학을 활용하여 실생활 또는 다른 교과와 연결된 맥락을 비판적이고 합리적으로 사고하려는 태도를 기른다. 5. 수학이 이미 완성된 산물이 아니라, 인간 활동의 결과로 만들어진 것임을 이해한다.

수학적 모델링 과정을 통한 수학학습의 유용성 2가지를 설명하시오.

1. 새로운 수학적 개념을 도입하고나 수학적 개념을 새로운 상황에 적용하는데 유용하다. 2. 따라서 중요한 수학적 아이디어와 문제해결 과정에 강력한 수단이 된다.

폴리아가 말하는 '완성된 수학'과 '발생 과정의 수학'에 대하여 설명하시오.

1. 완성된 수학 : 연역적 과학 2. 발생 과정의 수학 : 실험적이고 귀납적인 과학 그리고 수학적 사고 과정에서 먼저 귀납, 유추, 추측이 있은 다음 증명이 뒤따라야 한다. 따라서 수학자의 창조적인 연구의 결과는 연역적 추론, 즉 증명이지만, 그 증명은 개연적 추론과 추측에 의하여 발견된다고 보았다.

숀펠드의 문제해결의 성공을 위한 행동관련 요인 4가지의 명칭, 뜻, 예시

1. 자원 : 문제를 해결하기 위해 개인이 사용할 수 있는 도구와 기법 ex) 문제와 관련된 수학적 지식, 직관, 알고리즘, 법칙에 대한 이해 2. 발견술 : 생소하고 비정형적인 문제를 해결하기 위한 전략과 기술 ex) 유추, 일반화, 특수화, 보조문제 이요하기, 거꾸로 풀기 3. 통제 : 자원과 전략의 선택과 수행에 관한 전반적인 결정 능력 ex) 계획하기, 감시와 평가, 의사결정, 의식적인 메타인지적 결정 4. 신념체계 : 학습자가 수학에 대해 가지고 있는 가치관이나 선입견 ex) 문제 해결 방법이 한가지 밖에 없다는 신념은 문제해결 활동에 많은 영향을 미침

정형문제 / 비정형 문제에 대하여 설명하시오.

1. 정형문제 : 이미 제시된 알고리즘을 사용하여 해결할 수 있는 문제나 전형적인 예제의 풀이 방법을 그대로 적용하여 해결할 수 있는 문제 2. 비정형문제 : 문제를 해결하는 알고리즘이나 답을 얻는 방법을 모르는 상태에서 문제해결 전략이나 독자적인 해결 방법을 구안하여 풀어야 하는 문제

종합법과 분석법의 뜻을 설명하시오.

1. 종합법 : 공준이나 공리, 정의에 근거해서 가정으로부터 결론을 이끌어내는 선형적 방식 2. 분석법 : 결론에서 시작하여, 그 결론이 참이기 위해서 성립되어야 할 선행 조건들을 거꾸로 올라가면서 가정과 연결시키는 방식 (수교론에 있는 내용 너무 길어서 수교재 내용으로 썼음)

폴리아, 숀펠드, 버튼의 수학적 문제해결 과정에 대하여 설명하시오.

1. 폴리아 : 문제 이해 - 계획 작성 - 계획 실행 - 반성 2. 숀펠드 : 이해 - 계획 - 탐구 - 실행 - 검증 3. 버튼 : 도입(문제이해) - 공략(문제풀기) - 검토(풀이검토) - 확장(문제일반화) (폴리아의 단계 중 반성단계를 중시한 것)

폴리아와 쉐플러의 지식의 분류

1. 폴리아 : 정보 / 방법적 지식 2. 쉐플러 : 명제적 지식 / 절차적 지식 - know that (정보 / 명제적 지식) - know how (방법적 지식 / 절차적 지식) * 폴리아의 방법적 지식은 문제 해결력과 거의 동일한 의미이다.

좋은 문제란 무엇인지 설명하시오.

1. 해결 과정에서 여러 종류의 개념과 기능을 필요로 하고, 2. 다른장면으로 일반화, 확장될 수 있어야 하며, 3. 다양한 해법이 존재하는 것 이라 할 수 있다.

수학적 모델링의 4단계 과정과 그 특징 대하여 설명하시오.

1. 현상을 관찰하여 그 현상 속에 내재되어 있는 문제 상황을 명료히 밝히고 문제에 영향을 미치는 중요한 요인들을 찾는다. 2. 요인들의 관계를 추측하고 그 요인들을 수학적으로 해석하여 현상에 적합한 모델을 구축한다. 3. 적절한 수학적 분석을 그 모델에 적용한다. 4. 결과를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 재해석하여 결론을 도출한다. 특징 : 수모델 과정은 순환적이다.

베르트하이머가 말하는 '생산적 사고'의 의미는 무엇인가.

구조적 이해를 기초로 하는 사고

문제해결에서 말하는 '문제'에 대하여 설명하시오.

구체적이고 확실한 해결의 방법을 쉽게 구하기 어렵고 문제해결을 위해서는 다단계에 걸친 다양한 사고가 요구되는 문제를 말한다.

귀납추론의 정의와 보완점

귀납추론 : 관찰,실험,측정,구체적 조작 등을 통하여 몇가지 사례에 대하여 어떤 명제가 참임을 보인 다음 이 사례들이 속한 전체 범주의 대상들에 대해 그 명제가 참임을 주장하는 것 보완점 : 개연성이 높은 추론 방식이기는 하지만 증명을 통해 수학적 참을 확인해야 한다.

문제제기에서 도전의 전략

도전 : 새로운 방향으로 나아가기 위하여 주어진 것을 뒤집어 보고, 거꾸로 해 보고, 조금 변형해 보는 단계 'What if not'전략 1. 출발점 선택하기 2. 속성열거하기 : 문제를 구성하고 있는 요소나 속성을 모두 열거해 본다. 3. 속성부정하기 : 전 단계에서 열거한 속성이 '만약 그렇지 않다면 어떻게 될 것인가'라는 의문을 가져 본다. 4. 문제제기하기 : 전 단계에서 생각한 의문을 기초로 새로운 문제를 만든다. 5. 설정된 문제 분석하기 : 새로 만든 문제를 분석하거나 해를 구한다.

폴리아가 주장한 문제에 수반되는 3가지 요인

목표, 장애요인, 해결자의 의식

문제해결에서 중요한 것은 무엇인가.

문제해결에서는 문제의 정답이 맞았는가 하는 결과뿐 아니라 문제를 해결하는 사고 과정 그 자체가 매우 중요하게 여겨진다.

생산적 사고를 강조하는 형태주의 심리학자들이 설명한 생산적인 사고 과정은 무엇인가.

분리, 분류, 조직화 등의 사고 조작에 의해 문제의 내적인 관련성을 파악해 가는 것으로 설명한다. 과거의 경험이 중요한 것은 명백하긴 하지만, 보다 중요한 것은 과거 경험에서 구조적인 내적 관련성을 보는 통찰력을 얻었는가, 또 무엇을 어떻게 회상하며 회상한 것을 상황이 요구하는 것과 관련해서 어떻게 적용시키는가 하는 것이다.

종합법과 분석법을 비교하시오.

분석법이 풀이 계획을 발견하는 과정이라면, 종합법은 그 계획을 실행하는 과정이다.

문제제기에서 수용의 전략

수용 : 주어진 것을 그대로 유지하면서 탐구하여 문제를 제기하는 것 수용 단계에서 문제생성을 위한 전략 1. 현상을 가지고 할 수 있는 일 : 현상을 탐구하여 관찰, 질문, 추측을 하는 것이다. 2. 내적 탐구 대 외적 탐구 : 사물이나 대상을 탐구할 때, 전체적으로 다른 현상과 관련성을 보는것과 그 사물이나 대상의 각 부분들의 관련성을 보는것이다. 3. 정확한 탐구 대 근사적 탐구 : 문제 제기에서 정확한 정답을 구할 수 있는 것만을 제기해야 하는 것이 아니라 근사적 답을 구하여 부족한 부분이 무엇인지를 알아보는 것이다. 4. 역사적 탐구 : 역사적 사고에 따라 의미 있는 문제를 제기하는 것이다. 5. 사용하기 간편한 질문 목록 : 문제생성을 위한 출발점이 될 수 있는 질문 목록이다.

문제제기의 중요성(폴리아)

수학자들의 창조적인 사고에서 결정적인 단계는 문제를 선택하고, 자신의 능력을 크게 벗어나지 않으면서 가치있고 매력적인 문제를 발견하고 만들어 내는 것이다. 이처럼 문제를 제기하는 것은 수학을 창조하는 결정적인 사고 단계인바, 문제를 제기하고 형식화 하는 데 학생들을 참여시키는 것은 학습동기를 유발시켜줌은 물론이고 바람직한 과학적 태도를 가르치는 것이다.

수학적 모델링의 정의를 설명하시오.

수학적 모델링은 비수학적 대상에서 수학적 표상을 찾는 것으로, 대상이나 체계 또는 과정의 중요한 특징을 조정하는 수학적 구조나 이론을 세우는 것을 말한다. (수학화 중시)

수학적 모델의 의미를 설명하고 예시를 드시오.

수학적 모델이란 현실 상황을 정리하고 조직하고 분석하기 위해 만들어진 수학적 구체물이다. ex) 간단한 문장, 표, 그래프, 수식, 다이어그램, 구체물, 은유, 시뮬레이션도구 등

문제해결의 전략

예상과 확인 표만들기 그림그리기 식 세우기 규칙성 찾기 거꾸로 풀기 단순화 하기 특수화 하기 유추하기 간접 증명법(귀류법, 분할법, 동일법)

유추의 정의와 보완점

유추 : A라는 대상과 B라는 대상이 서로 유사할 때, A에서 성립하는 성질 P(A)와 유사한 성질 P(B)가 대상B에서 성립할 것이라고 주장하는 것 보완점 : 증명을 통해 수학적으로 참인가를 확인해야 한다.

전통 논리학, 연합주의 심리학, 형태심리학의 목적을 비교하시오.

전통논리학 : 개념을 파악하고 판단을 하는 다수의 상황에서 공통 성질을 찾아내어 보편적인 원리를 확립하는 것 연합주의 : 연결을 수립하기 위한 것이 목적으로 이를 위해 많은 문제에 대한 반복적 훈련 강조 형태심리학 : 의미 있는 구조화가 목적

손다이크의 추론 또는 추리적 사고에 대한 입장은 무엇인가.

추론 또는 추리적 사고는 습관의 법칙과 상반되거나 독립된 것이 결코 아니며, 인간의 본성과 훈련에 의하여 어떤 조건이 갖추어지면 반드시 얻게 되는 것으로 본다.

문제해결을 위한 게슈탈트 연구의 초점은 무엇인가.

통찰력의 현상

평행사변형의 넓이를 구하는 예를 통해 형태주의 심리학자들의 주장을 설명하시오.

평행사변형과 직사각형 사이의 기능적 동질성을 이해하였더라면 아이들의 실수는 없었을 것이라고 지적한다. 동질성이야말로 이 문제의 실제적 기초 구조인 셈이며, 이런 식으로 문제를 생각하는 것이 그 문제의 상황과 전체에 대한 부분의 관계를 모두 고려하는 것

베르트하이머가 제시한 사실이나 규칙에 대한 기계적 암기와 통찰에 기초한 이해 간의 차이에 대해 평행사변형의 넓이 구하는 것으로 설명하시오.

평행사변형의 넓이를 구하는 방법을 표준 방식으로 가르친 뒤, 학생들이 표준적인 방식으로 제시된 평행사변형의 넓이를 구할 수 있지만, 학생들은 비표준적인 방식으로 제시되거나 혹은 평행사변형과는 다른 기하하적 형태의 넓이를 구하라고 했을 때 혼란스러워 한다. (알고리즘의 기초가 되는 구조적 원리를 이해하지 못하는 '규칙에 얽매인'아이들은 도형의 밑변과 수직이 되게 선을 긋는 것이 아니라 종이의 아래쪽과 수직이 되게 선을 긋는다.)

형태심리학에서 게슈탈트의 개념은 무엇인가.

하나의 전체로서의 짜임새, 거기에도 그 안에 몇 개의 부분으로 분절되어 기능적으로 하나의 단위를 이루면서 다른 게슈탈트와는 구별되는 각자의 개성을 지니는 것

카토나가 말하는 '학습'을 설명하시오.

학습은 다른 유사한 구조화된 문제들을 설명할 수 있는 힘을 가진 구조를 형성하도록 정보를 재조직화하는 것을 뜻한다. 즉, 그 문제의 기초가 되는 원리를 발견함으로써 그와 유사한 문제들을 보다 쉽게 해결할 수 있을 뿐만 아니라 한참 후에도 그 문제의 답을 재구성하는 것이 가능하였다.

손다이크가 주장하는 학습은 무엇인가.

학습은 외부 자극과 그에 대한 유기체의 반응으로 이루어진다는 입장을 취한다. 이러한 자극-반응의 관계를 나타내는 것이 연결 또는 결합이라고 부르는 것이다.

폴리아의 문제해결과정 중 '보조문제'를 고려해야 하는 상황이 언제인지 설명하시오.

해결 계획 단계로, 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관련성을 즉각적으로 발견할 수 없을 때 보조문제를 고려해야한다.