matekdoga (elmélet)

4. ⋄ ⋄ Ha A = {1, 2, 3} és B = {−1,−2,−3}, akkor [A] (1,−1) ∈ A × B. [B] A × B = {−1,−4,−9}. [C] A × B =  i j k 1 2 3 −1 −2 −3  [D] A × B = (−1) + (−4) + (−9) = −14

[A] (1,−1) ∈ A × B.

7. ⋄ Válassza ki a helyes állítást. [A] Monoton sorozat korlátos és konvergens. [B] Korlátos és monoton sorozat konvergens. [C] Konvergens sorozat monoton és korlátos. [D] Konvergens sorozat monoton.

[B] Korlátos és monoton sorozat konvergens.

3. ⋄ Abszolút konvergens sor [A] alternáló. [B] divergens. [C] szigorúan monoton. [D] konvergens.

[D] konvergens.

5. ⋄ Legyen E ⊂ R. A p ∈ R pontot az E halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha [A] a p pont bármely környezete tartalmaz olyan q ∈ E pontot, amelyre p ̸= q. [B] a p pontnak bármely környezete nyitott halmaz. [C] a p pontnak létezik olyan környezete, amely tartalmaz olyan q ∈ E pontot, amelyre p ̸= q. [D] a p pontnak létezik olyan környezete, amely tartalmaz q ∈ E pontot.

[A] a p pont bármely környezete tartalmaz olyan q ∈ E pontot, amelyre p ̸= q.

2. ⋄ Legyen f és g differenciálható értelmezési tartományának a belső pontjában. Ekkor [A] f/g differenciálható az a pontban. [B] (f(a)g(a))′ = f′(a)g′(a). [C] fg differenciálható az a pontban. [D] f′(a)g′(a) > 0.

[A] f/g differenciálható az a pontban.

4. ⋄ ⋄ Legyen f és g olyan függvény, amelyre Rg ∩Df ̸= ∅. Ekkor az f ◦ g összetett függvény értelmezési tartománya [A] Df◦g := {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df }. [B] Df◦g := {x ∈ Df | f(x) ∈ Dg }. [C] Df◦g :=Rg ∩ Df . [D] Df◦g :=Df ∩ {x ∈ Dg | g(x) ̸= 0}.

A] Df◦g := {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df }.

3. ⋄ A (szumma) an sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha [A] ha az abszolútértékének létezik a határértéke. [B] a (szumma) |an| sor konvergens. [C] konvergens, és az összege nemnegatív. [D] (szumma)an sor konvergens és ∞(szumma) an=1 an véges.

B] a (szumma) |an| sor konvergens.

1. ⋄ ⋄ Az (an) sorozat határértéke −1, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan N(ε) > 0 küszöbindex, hogy [A] bármely n > N esetén |an + 1| < N. [B] bármely n > N esetén |an + 1| < ε. [C] bármely n > N esetén |an − 1| < ε. [D] létezik n > N, hogy |an + 1| < ε.

B] bármely n > N esetén |an + 1| < ε.

1. ⋄ Legyen f és g differenciálható az a pontban, és g(a) ̸= 0. Ekkor a két függvény hányadosának deriváltja az a pontban [A] f′(a)g(a) + f(a)g′(a) g2(a) [B] f′(a)g(a) − f(a)g′(a) g2(a) [C] f′(a)g(a) − f(a)g′(a) g(a) [D] f′(a)g(a) − f(a)g′(a) f2(a)

B] f′(a)g(a) − f(a)g′(a) g2(a)

4. ⋄ Az A halmaz összes részhalmazából álló halmazt az [A] A hatványhalmazának nevezzük. [B] A relációjának nevezzük. [C] A ε sugarú környezetének nevezzük. [D] A határértékének nevezzük.

[A] A hatványhalmazának nevezzük.

7. ⋄ ⋄ ⋄ Válassza ki a helyes állítást! [A] Ha két sorozat közül az egyik nullához tart, akkor a szorzatuk is nullához tart. [B] Ha egy sorozat végtelenhez tart, akkor monoton növekvő. [C] Van olyan sorozat amely se alulról, se felülről nem korlátos. [D] Két konvergens sorozat hányadosa is konvergens.

[A] A hatványhalmazának nevezzük.

2. ⋄ Legyen az f függvény differenciálható az ]a; b[ intervallumon. Ha [A] az f függvénynek a c ∈ ]a; b[ pontban lokális szélsőértéke van, akkor f′(c) = 0. [B] létezik c ∈ ]a; b[, amelyre f′(c) = 0, akkor az f függvénynek a c pontban lokális szélsőértéke van. [C] az f folytonos az a pontban, akkor ott integrálható. [D] az f′ függvény monoton csökkenő, akkor az f függvény monoton nő.

[A] az f függvénynek a c ∈ ]a; b[ pontban lokális szélsőértéke van, akkor f′(c) = 0.

4. ⋄ Az f függvény invertálható, ha [A] az inverze függvény. [B] reláció. [C] inverze is reláció. [D] Df = Rf .

[A] az inverze függvény.

1. ⋄ ⋄ Az (an) sorozat határértéke 2, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan N(ε) > 0 küszöbindex, hogy [A] bármely n > N esetén |an − 2| < ε. [B] létezik n > N, hogy |an + 2| < ε. [C] bármely n > N esetén |an + 2| > ε. [D] bármely n > N esetén |an − 2| < N.

[A] bármely n > N esetén |an − 2| < ε.

5. ⋄ ⋄ Legyen A rendezett halmaz, E ⊂ A. A K ∈ A elemet az E halmaz felső korlátjának nevezzük, ha [A] bármely x ∈ E esetén x ≤ K. [B] bármely x ∈ A esetén x ≤ K. [C] létezik x ∈ E, hogy x ≤ K. [D] létezik x ∈ A, hogy x ≤ K.

[A] bármely x ∈ E esetén x ≤ K.

1. ⋄ ⋄ ⋄ Legyen az a = 1 az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. Az f határértéke az a = 1 pontban 2, ha [A] bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x ∈ Df , |x − 1| < δ, x ̸= 1, akkor |f(x) − 2| < ε. [B] létezik olyan ε > 0, hogy bármely δ > 0, hogy ha x ∈ Df , |x − 1| < δ, akkor |f(x) − 2| < ε. [C] létezik olyan ε > 0, hogy bármely δ > 0, hogy ha x ∈ Df , |x − 1| < δ, x ̸= 1, akkor |f(x) − 2| < ε. [D] bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x ∈ Df , |x − 2| < δ, x ̸= 1, akkor |f(x) − 1| < ε.

[A] bármely ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy ha x ∈ Df , |x − 1| < δ, x ̸= 1, akkor |f(x) − 2| < ε.

7. ⋄ Konvergens sorozat [A] korlátos. [B] monoton. [C] határértéke 0. [D] monoton és korlátos.

[A] korlátos.

6. ⋄ ⋄ Legyen a az f függvény értelmezési tartományának pontja, és torlódási pontja. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha [A] lim x→a f(x) = f(a). [B] lim x→∞ f(x) = f(a). [C] lim x→0 f(x) = f(a). [D] f differenciálható az a pontban.

[A] lim x→a f(x) = f(a).

2. ⋄ ⋄ Legyen az f függvény folytonos az [a; b] intervallumon, és differenciálható az ]a; b[ intervallumon. [A] Ekkor f′′(x) > 0 bármely x ∈ ]a; b[ esetén. [B] Ha f′(x) > 0 bármely x ∈ ]a; b[ esetén, akkor f szigorúan monoton növő az [a; b] intervallumon. [C] Ha létezik c ∈ ]a; b[, amelyre f′(c) = 0, akkor f szigorúan monoton. [D] Ha f szigorúan monoton növő az [a; b] intervallumon, akkor f′(x) > 0 bármely x ∈ ]a; b[ esetén.

[B] Ha f′(x) > 0 bármely x ∈ ]a; b[ esetén, akkor f szigorúan monoton növő az [a; b] intervallumon.

2. ⋄ ⋄ Legyen az f függvény folytonos az [a; b] intervallumon, és differenciálható az ]a; b[ intervallumon. [A] Ha f szigorúan monoton növő az [a; b] intervallumon, akkor f′(x) > 0 bármely x ∈ ]a; b[ esetén. [B] Ha f′(x) > 0 bármely x ∈ ]a; b[ esetén, akkor f szigorúan monoton növő az [a; b] intervallumon. [C] Ha létezik c ∈ ]a; b[, amelyre f′(c) = 0, akkor f szigorúan monoton. [D] Ekkor f′′(x) > 0 bármely x ∈ ]a; b[ esetén.

[B] Ha f′(x) > 0 bármely x ∈ ]a; b[ esetén, akkor f szigorúan monoton növő az [a; b] intervallumon.

7. ⋄ ⋄ Legyen (an), (bn), (cn) tetszőleges sorozat, amelyre an → a és cn → a. [A] Ha létezik olyan n index, hogy an ≤ bn ≤ cn, akkor bn → a [B] Ha létezik olyan n0 index, hogy bármely n > n0 esetén an ≤ bn ≤ cn, akkor bn → a. [C] Ha létezik olyan n0 index, hogy bármely n > n0 esetén an ≤ bn, akkor bn → a. [D] Ha létezik olyan n index, hogy an ≤ bn, akkor bn → a.

[B] Ha létezik olyan n0 index, hogy bármely n > n0 esetén an ≤ bn ≤ cn, akkor bn → a.

1. ⋄ Az f függvény differenciálható az értelmezési tartományának a = 3 belső pontjában, ha [A] f integrálható. [B] a lim x→3 f(x) − f(3) x − 3 határérték létezik és véges. [C] f létezik és véges. [D] f′(3) = lim x→∞ f(x) − f(3) x − 3

[B] a lim x→3 f(x) − f(3) x − 3

5. ⋄ Az [a; b] intervallumom értelmezett f függvényt lépcsős függvénynek nevezzük, ha [A] ha létezik az [a; b] intervallumnak olyan {x0, x1, . . . xn} felosztása, hogy bármely ]xi−1; xi[ (i = 1, 2, . . . , n) intervallumon f folytonos. [B] ha létezik az [a; b] intervallumnak olyan {x0, x1, . . . xn} felosztása, hogy bármely ]xi−1; xi[ (i = 1, 2, . . . , n) intervallumon f konstans. [C] ha létezik az [a; b] intervallumnak olyan {x0, x1, . . . xn} felosztása, hogy bármely ]xi−1; xi[ (i = 1, 2, . . . , n) intervallumon f szigorúan monoton nő. [D] ha f konstans.

[B] ha létezik az [a; b] intervallumnak olyan {x0, x1, . . . xn} felosztása, hogy bármely ]xi−1; xi[ (i = 1, 2, . . . , n) intervallumon f konstans.

4. ⋄ ⋄ Az f függvénynek lokális maximuma van az a ∈ Df pontban, ha [A] létezik olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ Df , x ∈ ]a − δ; a + δ[ esetén f(x) ≥ f(a). [B] létezik olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ Df , x ∈ ]a − δ; a + δ[ esetén f(x) ≤ f(a). [C] f kétszer differenciálható a-ban és f′′(a) < 0. [D] f differenciálható a-ban és f′(a) = 0.

[B] létezik olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ Df , x ∈ ]a − δ; a + δ[ esetén f(x) ≤ f(a).

8. ⋄ Legyen f integrálható az [a; b] intervallumon, F primitív függvénye f-nek az ]a; b[ intervallumon és F folytonos az [a; b] intervallumon. Ekkor [A] (Z b a) f(x) dx = F(b)F(a). [B] (Z b a) f(x) dx = f(b) − f(a). [C] (Z b a) f(x) dx = F(b) − F(a). [D] 1/(b − a) (Z b a) f(x) dx = F(b) − F(a).

[C] (Z b a) f(x) dx = F(b) − F(a).

8. ⋄ Válassza ki az alábbi tulajdonságok közül melyik igaz bármely az [a; b] intervallumon Riemann-integrálható f és g függvényekre. [A] (Z b a) cf(x) dx = a (Z c b) f(x) dx. [B] (Z b a) f(x)g(x) dx = (Z b a) f′(x)g′(x) dx. [C] (Z b a) f(x)g(x) dx = (Z b a) f(x) dx * (Z b a) g(x) dx. [D] (Z b a) cf(x) dx = c (Z b a) f(x) dx.

[C] (Z b a) f(x)g(x) dx = (Z b a) f(x) dx * (Z b a) g(x) dx.

3. ⋄ ⋄ ⋄ Legyen (Sz) an és (Sz) bn nemnegatív tagú sor. [A] Ha a (Sz) bn sor konvergens, és létezik olyan N ∈ N, hogy bármely n ∈ N, n > N esetén an ≤ bn, akkor a (Sz) an sor divergens. [B] Ha a (Sz) bn sor divergens, és létezik olyan N ∈ N, hogy bármely n ∈ N, n > N esetén an ≤ bn, akkor a (Sz) an sor divergens. [C] Ha a (Sz) bn sor konvergens, és létezik olyan N ∈ N, hogy bármely n ∈ N, n > N esetén an ≤ bn, akkor a (Sz) an sor konvergens. [D] Ha a (Sz)bn sor divergens, és létezik olyan N ∈ N, hogy bármely n ∈ N, n > N esetén an ≤ bn, akkor a (Sz)an sor konvergens.

[C] Ha a (Sz) bn sor konvergens, és létezik olyan N ∈ N, hogy bármely n ∈ N, n > N esetén an ≤ bn, akkor a (Sz) an sor konvergens.

6. ⋄ ⋄ ⋄ Legyen a az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. Az f függvény határértéke a-ban A ∈ R, akkor és csak akkor, ha [A] létezik olyan (xn) sorozat, amelyre f(xn) → A. [B] bármely (xn) sorozatra, amelyre xn → a (xn ∈ Df ) f(xn) konvergens. [C] bármely (xn) sorozatra, amelyre xn → a (xn ∈ Df ) igaz, hogy f(xn) → A. [D] bármely (xn) sorozatra, amelyre xn → A (xn ∈ Df ) igaz, hogy f(xn) → a.

[C] bármely (xn) sorozatra, amelyre xn → a (xn ∈ Df ) igaz, hogy f(xn) → A.

1. ⋄ ⋄ Az (an) sorozat határértéke 0, ha bármely ε > 0 esetén létezik olyan N(ε) > 0 küszöbindex, hogy [A] bármely n > N esetén |an − ε| ≤ 0. [B] bármely n > N esetén |an| > ε. [C] bármely n > N esetén |an| < ε. [D] létezik n > N, hogy |an| < ε.

[C] bármely n > N esetén |an| < ε.

8. ⋄ ⋄ Tegyük fel, hogy az f függvény Riemann-integrálható az [a; b] intervallumon. Ekkor [A] f differenciálható az ]a; b[ intervallumon. [B] (Z b a) f(x) dx = 0. [C] f folytonos az [a; b] intervallumon. [D] (Z b a) cf(x) dx = c (Z b a) f(x) dx.

[C] f folytonos az [a; b] intervallumon.

8. ⋄ ⋄ ⋄ Legyen f és g függvény integrálható az [a; b] intervallumon. Ekkor [A] f és g primitív függvénye legfeljebb konstansban térnek el egymástól. [B] az f és g függvény differenciálható az ]a; b[ intervallumon. [C] fg is integrálható az [a; b] intervallumon. [D] (Z b a) f(x)g(x) dx =(Z b a)f(x) dx* (Z b a) g(x) dx.

[C] fg is integrálható az [a; b] intervallumon.

2. ⋄ ⋄ Legyen az f és g függvény folytonos az [a; b] intervallumon, és differenciálható az ]a; b[ intervallumon, és tegyük fel f′(x) = g′(x) bármely x ∈ ]a; b[ esetén. Ekkor [A] létezik c ∈ R, hogy f(c) − g(c) = 0. [B] bármely c ∈ R esetén létezik x ∈ [a; b], hogy f(c) = g(c) + x. [C] létezik c ∈ R, hogy f(x) = g(x) + c bármely x ∈ [a; b] esetén. [D] f(x) = g(x) bármely x ∈ [a; b] esetén.

[C] létezik c ∈ R, hogy f(x) = g(x) + c bármely x ∈ [a; b] esetén.

5. ⋄ Legyen B:= {x0, x1, . . . , xn} az [a; b] intervallum egy tetszőleges beosztása. A beosztás finomsága [A] min {xi − xi−1 | i = 1, 2, . . . , n}. [B] a = x0 < x1 < . . . < xn = b. [C] max {xi − xi−1 | i = 1, 2, . . . , n}. [D] max {f(xi) − f(xi−1) | i = 1, 2, . . . , n}.

[C] max {xi − xi−1 | i = 1, 2, . . . , n}.

3. ⋄ ⋄ A (sz) an végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha [A] lim n→∞ n √an < 1. [B] az (an) sorozat határértéke 0. [C] minden ε > 0 esetén létezik olyan N ∈ N, hogy bármely n,m ∈ N, n > m > N esetén ak = |am+1 + am+2 + . . . + an| < ε. [D] minden ε > 0 esetén létezik olyan N ∈ N, hogy bármely n,m ∈ N, n > m > N esetén ak = |am+1 + am+2 + . . . + an| > ε.

[C] minden ε > 0 esetén létezik olyan N ∈ N, hogy bármely n,m ∈ N, n > m > N esetén ak = |am+1 + am+2 + . . . + an| < ε.

3. ⋄ ⋄ Legyen (an) egy számsorozat. Az (an)-ből képezett végtelen (numerikus) soron az alábbit értjük: [A] (a1 + a2 + · · · + an). [B] (an). [C] a1 + a2 + · · · + an. [D] (a1, a2, . . . , an).

[D] (a1, a2, . . . , an).

5. ⋄ A p ∈ R pont δ (> 0)-sugarú környezetén [A] torlódási pontok halmazát értjük. [B] az összes olyan E ⊂ R halmazt értjük, amelyre létezik q ̸= p, hogy q ∈ E. [C] a ]δ − p, δ + p[ intervallumot érjük. [D] a ]p − δ, p + δ[ intervallumot érjük.

[D] a ]p − δ, p + δ[ intervallumot érjük.

6. ⋄ ⋄ Legyen f függvény folytonos az [a; b] intervallumon. Ekkor [A] f folytonosan differenciálható. [B] létezik olyan c ∈ ]a; b[, hogy f′(c) = 0. [C] f differenciálható ]a; b[ intervallumon. [D] az f függvény felveszi a maximumát és minimumát.

[D] az f függvény felveszi a maximumát és minimumát.

5. ⋄ Az f függvény határozatlan integráljának [A] a határozott integrál inverz műveletét nevezzük. [B] az összes olyan F függvényt nevezzük, amelyre f′ = F. [C] a Darboux-féle alsó és felső közelítőösszegek halmazát nevezzük. [D] az f primitív függvényeinek halmazát nevezzük.

[D] az f primitív függvényeinek halmazát nevezzük.

6. ⋄ Legyen az f függvény korlátos az [a; b] intervallumon. Ekkor [A] bármely x0 ∈ [a; b] pontban létezik határértéke az f függvénynek. [B] bármely x0 ∈ [a; b] pontban az f függvény differenciálható. [C] f(a)f(b) lehet negatív. [D] f folytonos az [a; b] intervallumon.

[D] f folytonos az [a; b] intervallumon

7. ⋄ ⋄ Legyen (an) monoton növő, (bn) monoton csökkenő sorozat, amelyre bármely n indexre an ≤ bn, és limn→∞(bn− an) = 0. Ekkor [A] bármely c ∈ R valós számra c ∈ [an; bn] minden n ∈ N esetén. [B] az (an) sorozatnak létezik maximális eleme. [C] az (an) sorozat határértéke 0. [D] pontosan egy olyan c ∈ R létezik, amelyre c ∈ [an; bn] minden n ∈ N esetén.

[D] pontosan egy olyan c ∈ R létezik, amelyre c ∈ [an; bn] minden n ∈ N esetén.