Matematika - geometrie
Přenášení úseček
- Dle axiomu S2: (pro každou úsečku AB (A ≠ B) a pro každou polopřímu CD (C ≠ D), existuje právě jeden bod E polopřímky CD takový, že AB ≅ CE) přenášíme úsečky - danou úsečku lze přenést na danou polopřímku s jediným výsledkem
Trojúhelník
- body A,B,C prostoru E3 neleží v jedné úsečce - trojúhelník ABC je množina všech takových bodů X prostoru E3, že bod X náleží úsečce AY a zároveň Y náleží úsečce BC - body A,B,C se nazývají vrcholy
Komplanární body
- existence 4 a více bodů, které leží na jedné přímce
Koule
- je dán bod S a úsečka AB - koulí K o středu S a poloměru AB nazýváme množinu všech takových bodů X prostoru E3, že bod X náleží úsečce SY a zároveň úsečk SY je shodná s AB
Kulová plocha
- je dán bod S a úsečka AB - kulovou plochou o středu S a poloměru AB nazýváme množinu všech bodů X prostoru E3, že úsečka SX je shodná s úsečkou AB - kulová plocha je podmnožinou koule
Kružnice
- je dána rovina Ró s bodem S a úsečkou AB - kružnici k se středem S a poloměrem AB nazýváme množinu všech bodů X roviny Ró, že platí úsečka SX je shodná s úsečkou AB
Průměr
- je nejdelší tětiva kružnice
Rovnoběžnostěn
- je sjednocením 6 nepřekrývajících se čtyřbokých jehlanů - právě když ABCD je daný rovnoběžník a bod V neleží v rovině rovnoběžníku ABCD a je středem úseček AG, BH, CE, DF
Polopřímka
- je sjednocením úsečky AB a množiny všech bodů X z prostoru E3, pro které platí, že bod B leží mezi body A, X a bod A nazýváme počátkem polopřímky
Lomená čára - uzavřená
- jestliže vrcholy B0 = B6 lomené čáry B0, B1, B2, B3, B4, B5, B6 nazveme tuto lomenou čáru uzavřenou
Shodnost úhlů
- každé dva konvexní úhly AVB a CUD jsou shodné, právě když na rameni UC existuje takový bod A' a na rameni UD takový bod B', že UA' ≅ VA, UB' ≅ VB, A'B' ≅ AB - každé dva nekonvexní úhly jsou shodné, právě když jsou konvexní úhly shodné
Střed úsečky
- každé nenulové úsečce AB náleží takový bod S, že AS ≅ BS - Právě když bod S je bodem nenulové úsečky a platí AS ≅ BS, pak je bod S středem úsečky AB
Osa úhlu
- ke každému konvexnímu úhlu AVB lze určit právě jednu takovou polopřímku VO, že úhel AVO je shodný s úhlem BVO - právě když pro konvexní úhel AVB a polopřímku VO platí, že AVO ≅ BVO nazývá se polopřímka VO osou konvexního úhlu AVB
Úsečka
- ke každým dvěma bodům AB prostoru E3 existuje právě jedna úsečka AB, která je podmnožinou prostoru E3 a platí, že AB = BA
Rotační tělesa
- koule: rotace kruhu kolem přímky procházející středem kruhu - válec: rotace obdélníku kolem jedné své strany nebo kolem osy své strany - kužel: rotace pravoúhlého trojúhelníku kolem své odvěsny nebo rotace rovnoramenného trojúhelníku kolem osy základny
Kruh
- kruh k o středu S a poloměru AB je množina všech bodů X , které naleží úsečce SY a zároveň úsečka SY je shodná s úsečkou AB
Shodné zobrazení
- libovolnému bodu X ∈ U(vzoru) odpovídá jediný bod X' ∈ U' (obrazu) - libovolné body XY ∈ U a jejich obrazy X'Y' ∈ U' určují shodné úsečky - zachovává velikost s tvar
Čtyřúhelník
- mnohoúhelník, který má 4 vrcholy, 4 strany a 4 vnitřní úhly
Konvexní množina
- množina bodů M je konvexní, právě tehdy, když pro každé dva její body X,Y platí, že úsečka XY je podmnožinou množiny M - prázdná množina, jednobodová množina, úsečka, přímka, rovina, trojúhelník
Porovnávání úseček AB, CD
- mohou nastat 3 možnosti: 1. E µ C, D, potom AB < CD 2. E =D, potom AB ≅ CD 3. D µ CE, potom AB > CD
Jehlan
- n-boký jehlan ABCD...RV je množina všech takových bodů X z prostoru E3, že bod X náleží úsečce VY a zároveň Y náleží danému n-úhelníku ABCD...R a daný bod V nenáleží rovině n-úhelníku ABCD...R
Mnohoúhelník ve čtvercové síti
- n-úhelník, jehož vrcholy jsou v průsečících přímek čtvercové sítě a strany jsou podmnožinou přímek čtvercové sítě
Tětiva
- na kružnici zvolíme dva různé body A, B - když je spojíme vznikne tětiva
N-násobek úsečky
- pro každou úsečku AB a každou úsečku s ní shodnou platí, že 1 × AB = AB
Přímý úhel
- právě když bod V leží mezi body A,B, nazývá se kterákoliv část z polorovin s hraniční přímkou AB přímý úhel
Rovina
- právě když body A,B,C prostoru E3 neleží v úsečce, nazývá se rovinou ABC množina všech takových bodů X prostoru E3, že body A,B,C,X leží v trojúhelníku
Čtyřstěn
- právě když body A,B,C,D prostoru E3 jsou nekomplanární, nazýváme čtyřstěn ABCD množinu všech takových bodů X prostoru E3, že body X náleží úsečce AY a zároveň Y náleží trojúhelníku BCD
Konvexní úhel
- právě když body A,V,B jsou tři různé body roviny, které neleží v jedné úsečce, nazýváme konvexním úhlem AVB množinu všech takových bodů X roviny AVB, že bod X náleží polopřímce VY a zároveň bod Y náleží úsečce AB
Pravý úhel
- právě když je polopřímka VO osou přímého úhlu AVB, nazývá se úhel AVO (nebo BVO) pravý
Hranol
- právě když n-úhelníky U1, U2 jsou shodné a U1 leží v rovině alfa, U2 v rovine beta a platí, že alfa je rovnoběžná s betou, nazýváme hranolem množinu všech takových bodů X z prostoru E3, že bod X náleží úsečce YZ a zároveň Y náleží n-úhelníku U1 (dolní podstava) a bod Z náleží n-úhelníku U2 (dolní podstava) - hranol může být kolmý nebo kosý
Těžiště
- průsečík těžnic
Přímka
- přímka <->, kde A je různé od B, se nazývá sjednocení polopřímek AB a BA
n - úhelník
- sjednocení jednoduché uzavřené čáry a její vnitřní oblasti se nazývá mnohoúhelník
Lomená čára - jednoduchá
- sjednocením konečného počtu úseček z nichž každé dvě mají společný pouze jeden krajní bod a neleží v téže přímce
Trojúhelníková nerovnost
- součet velikostí dvou libovolných stran je vždy větší než velikost strany třetí
Střední příčka
- spojnice středů každých dvou stran - je rovnoběžná se stranou, kterou neprotíná
Těžnice
- spojnice vrcholu se středem protilehlé strany
Kružnice opsaná
- střed je průsečík os stran a poloměr je úsečka spojující střed s libovolným vrcholem
Kružnice vepsaná
- střed je průsečík os vnitřních úhlů a poloměr je úsečka vedená ze středu kolmo na libovolnou stranu
Shodnost trojúhelníku
- trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem KLM právě když je strana AB shodná se stranou KL, strana BC je shodná se stranou LM a strana AC je shodná se stranou KM
Posunutí (translace)
- u posunutí je bod A' obrazem bodu A, velikost a směr je určen orientovanou úsečkou AA', každý bod se pohybuje při posunutí stejným směrem a o stejnou dráhu
Orientovaný úhel
- uspořádané dvojice polopřímek VA, VB se společným počátkem V - polopřímky VA, VB se nazývají ramena
Válec
- v definici hranolu zaměníme shodné n-úhelníky za shodné kruhy
Kužel
- v definici jehlanu zaměníme n-úhelník za kruh
Středová souměrnost
- v rovině E2 je dán bod S - středovou souměrností se nazývá množina všech uspořádaných dvojic [x,x'], že pro každý bod x=S platí x=x'=S a pro každý bod x, který se nerovná bodu S je bod S středem úsečky XX' - bod S se nazývá střed středové souměrnosti
Osová souměrnost
- v rovině E2 je dána přímka o - osovou souměrností O v prostoru E2 se nazývá množina všech takových uspořádaných dvojic [x, x'], že pro každý bod x ∈ o je x' = x a pro každý bod x ∉ O je úsečka xx' kolmá k ose o a zároveň střed úsečky xx' náleží přímce o - přímka o se nazývá osou souměrnosti
Polorovina
- v rovině Ró je dána přímka p a bod M, který neleží na přímce p - polorovinou pM nazýváme množinu všech takových bodů X roviny Ró, že průnik úsečky MX s přímkou p je prázdná množina
Otáčení (rotace)
- v rovině je dán bod S a orientovaný úhel AVB - otáčení je množina všech uspořádaných bodů [x,x'], že pro každý bod X=S platí, že X=X'=S a pro každý bod X ≠ S platí, že orientovaný úhel XSX' je shodný s orientovaným úhlem AVB a úsečka SX' je shodná s SX
Kvádr
- všechny jeho stěny jsou pravoúhelníky a alespoň jedna z nich není čtverec
Krychle
- všechny jeho stěny jsou čtverce
Identita
- zobrazení I v prostoru E2, které přiřazuje každému bodu X roviny E2 týž bod X (X' = X), se nazývá identita - každý bod se zobrazí sám na sebe
Porovnávání úhlů
- úhel α je menší než úhel ß, právě když existuje úhel α' shodný s úhlem α, který má týž vrchol jako úhel ß a je pravou podmnožinou úhlu ß - úhel α je větší než úhel ß, právě když existuje úhel α' shodný s úhlem α, který má týž vrchol jako ß a je pravou nadmnožinou úhlu ß
Grafický součet úhlů
- úhel ω se nazývá grafickým součtem úhlů α, ß právě když je úhel ω sjednocením úhlů α', ß', přičemž α' ≅ α ∧ ß' ≅ ß ∧ úhly α', ß' jsou úhly styčné
Kolmost
- úhel, který je shodný s úhlem k němu vedlejším, nazýváme pravý úhel - dvě různoběžné přímky AP a BP nazýváme kolmé, když je úhel APB pravý - kolmost je symetrická, antireflexivní a není tranzitivní
Grafický rozdíl úseček
- úsečka AB se nazývá grafický rozdíl úseček EF a CD právě když je úsečka EF grafickým součtem úseček AB a CD
Grafický součet úseček
- úsečka EF se nazývá grafickým součtem úseček AB a CD, právě tehdy, když je sjednocením úseček EF a HF, přitom platí EH ≅ AB ∧ HF ≅ CD ∧ úsečky EH a HF mají jediný společný bod H
Poloměr r
- úsečka, jejímž krajními body je střed kružnice S a libovolný bod kružnice
Rovnoběžník
- čtyřúhelník, ve kterém jsou každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné - rovnoběžník je souměrný podle středu - třídíme je na pravoúhelníky a kosoúhelníky - každému pravidelnému mnohoúhelníku lze opsat i vepsat kružnici
Vzájemná poloha přímky a roviny
1. a leží rovině alfa = a//alfa 2. a neleží v rovině - a průnik alfa = prázdná množina - pak a//alfa - a průnik alfa = bod P (průsečík) - pak a je různoběžná s rovinou alfa
Vzájemná poloha dvou přímek
1. a,b jsou rovnoběžné - platí a=b nebo a průnik b = prázdná množina 2. a // b platí: - reflexivní: každá přímka je rovnoběžná sama se sebou - symetrická: a//b -> b//s - tranzitivní 3. a,b jsou různoběžné - mají společný právě jeden pod = průsečík 4. a,b jsou mimoběžné, nemají-li žádný společný bod a neleží v jedné rovině
Vzájemná poloha dvou bodů
1. body se rovnají, jsou totožné A=B 2. body se nerovnají 3. bod A náleží přímce p 4. bod A nenáleží přímce p 5. bod A náleží rovině alfa
Kritéria rovnoběžnosti
1. přímka a||α právě když existuje alespoň jedna přímka b roviny β, že platí a||b 2. α||β, právě když existují v rovině α dvě různoběžky a,b tak, že a||β a zároveň b||β
Vzájemná poloha dvou rovin
1. rovnoběžné = pokud se roviny alfa a beta rovnají (splývají) nebo když je jejich průnik prázdná množina 2. různoběžné = pokud je průnikem rovin alfa a beta přímka (průsečnice)