Nizovi

2.9 Definicija konvergiranja kompleksnih nizova

Niz kompleksnih nizova konvergira ka a(n) ili teži ka broju a iz C, ako svaki otvoreni krug oko a polumjera ε>0 oko točke a sadrži gotovo sve članove niza. ∀ε>0∃n₀∈N ∀n∈N (n>n₀)→|a(n)-a|<ε

Teorem 2.7 (Weierstrass) Ograničen niz u R ima konvergentan podniz

Podniz ograničenog niza je ograničen. Svakom nizu možemo naći monoton podniz, pa je taj ograničen i monoton podniz konvergentan.

Teorem 2.2. Svaki podniz konvergentnog niza u R je i sam konvergentan i ima isti limes kao i niz

p(n) >= n

Teorem 2.10 Skup C je polje

(a,b)- = (a/(a^2+b^2),-b/(a^2+b^2))

Teorem 2.8. Ograničen niz u R he konvergentan u R ako i samo ako je liminf(a(n))=limsup(a(n))

- podniz konvergentnog niza je konvergentan pa ima samo jedno gomilište koje je ujedno i liminf i limsup - ako je liminf = limsup = a, onda je skup svih gomilišta jednočlan te je jednak a, kako za gotovo sve članove niza vrijedi: |a-a(n)|<ε za svaki ε>0, a je ujedno i limes niza

Teorem 2.9 Niz je konvergentan ako i samo ako je Cauchyjev

-kada je niz konvergentan iskoristiti |a(n)-a(m)|=|a(n)-a+a-a(m)| -kada je niz Cauchyjev: a) dokazati ograničenost - fiskirati m i ε b) dokazati da niz ima isti limes kao i konvergentan podniz (iskoristiti konvergentnost podniza i Cauchyjev niz)

Korolar Cesaro Ako je c(n) konvergentan niz, a s(n) je aritmetička sredina do n-tog člana iz c(n), tada je i s(n) konvergentan s jednakim limesom kao i c(n)

...

Primjer 2.10 Ako je a iz C, i |a|<1, tada je lim(a^n)=0

promotriti infimum niza A = {a^n;n iz N}

Teorem 2.3. Svaki ograničen i monoton niz u R je konvergentan

skup A = {a(n); n iz N} je ograničen

2.2.Definicija podniza niza a(n)

za niz b:N →S kažemo da je podniz niza a:N →S, ako postoji strogo rastući niz p:N→N , takav da je b = a*p

Primjer 2.8 dokaži da nizovi a(n)=(1+1/n)^n i b(n)=suma [0 do n](1/k!)

1.b(n) je rastući i ograničen sa 3 (indukcija) 2.a(n) je manji od b(n) ∀n 3.a(n) je rastući 4.lim(a(n))≥b(p) za svaki p iz N

Teorem 2.6 Stolz Neka su a(n) i b(n) nizovi, takvi da je b(n) strogo rastući i neograničen, ako postoji lim(((a(n+1)-a(n))/(b(n+1)-b(n))) = L onda postoji i lim(a(n)/b(n)) = L

1.definicija limesa 2.pomnožiti sa nazivnikom 3.sumacija od n₀ do n 4.podijeliti sa b(n+1) 5.dodati a(n₀)/b(n+1) 6.primijetiti da lijeva i desna strana imaju limes te iz njihove definicije limesa, izvući isti epsilon, i max (n₀,n₀',n₀'')

Teorem 2.5. ,teorem o sendviču ako su a(n) i b(n) konvergentni nizovi i lim(a(n) = a i lim(b(n))=b, onda 1.ako je ∀nεN, a(n)≤b(n) onda a≤b 2.ako je c(n) niz za kojeg vrijedi a(n)≤c(n)≤b(n) i a=b, onda je c(n) konvergentan i lim(c(n))=a=b.

1.definiramo nenegativni niz c(n) i pokažemo da njegov limes ne može biti negativan.

Propozicija 2.2. Niz funkcija f(n):[0,∞>→<0,∞> f(n)(x)=(1+x/n)^n, konvergira na skupu [0,∞> ka funkciji f : [0,∞>→<0,∞>, f ima sljedeća svojstva: 1.f(0)=1 2.f(1)=e 3.f(x+y)=f(x)f(y)

1.f(n)(x) je strogo rastući niz - raspisati f(n)(x) i usporediti s f(n+1)(x) 2.f(n)(x) je omeđen odozgo - uzmemo fiksni m>x, i pogledamo niz f(nm)(m) = [f(n)(1)]^m, iskoristimo f(n)(1)<3 3.dokazati svojstva: 1.jasno, 2. dokazano u primjeru, 3.iskoristiti; a)(1+x/n)(1+y/n) ≥ (1+(x+y)/n) b)raspisati pomoću razlike kvadrata (1+x/n)^n(1+y/n)^n - (1+(x+y)/n)^n c)iskoristiti teorem o sendviču i a) sa oba produkta iz b)

Teorem 2.11 Neka je niz a(n) u C, gdje je a(n) = x(n)+y(n)i tada vrijedi lim(a(n))=a=x+yi, ako i samo ako je lim(x(n))=x, lim(y(n))=y

1.primjeniti |x(n)-x|≤|a(n)-a|,|y(n)-y|≤|a(n)-a| 2.primjeniti definiciju |a-a(n)| - (modul kompleksnog broja)

Teorem 2.1. 1.Konvergentan niz u R ima samo jednu graničnu vrijednost 2.Konvergentan niz u R je ograničen

1.|a-b|>0 2.maksimum

Lema 2.1. Svaki niz iz R ima monoton podniz Korolar - konačno mnogo nizova ima jednak monoton podniz

A(m) = {a(n); n ≥ m}, 2 suprotna slučaja 1. neka postoji m takav da A(m) nema maksimum 2.neka za svaki m, A(m) ima maksimum 1.BSO m = 1, jer onda vrijedi za svaki A(m) za svaki n=1 nađemo najmanji k>n takav da je a(1) < a(k), k označimo sa p(1), sada za k nađemo p(2) i tako dalje... 2.uzmemo b(1) = max(A(1)), uzmemo najmanji k za koji vrijedi a(k) = b(1) i označimo ga sa p(1), sada nađemo max(A(k+1))= b(2) te najmanji a(k) za koji je a(k) = b(2) i označimo ga sa p(2) itd. 3.nađemo monton podniz za prvi niz i komponiramo ga sa svim nizovima. zatim nađemo monoton podniz za A(2)*q(1) i komponiramo ga sa svim kompozicijama itd dok nismo prošli sve nizove. q(1)*q(2)*...*q(k)=p je monoton podniz za sve nizove

2.6.Definicija gomilišta

Kažemo da je a gomilište niza a(n) realnih brojeva ako postoji podniz a(p(n)) takav da vrijedi lim(a(p(n)))=a, tj svaka okolina od a sadrži beskonačno mnogo članova niza a(n)

2.8. Definicija Cauchyjevog niza

Kažemo da je niz a(n) Cauchyjev ili fundamentalan ako vrijedi: ∀ε>0∃n₀∈N ∀n,m∈N (n,m>n₀)→|a(n)-a(m)|<ε

2.3. Definicija konvergencije niza

Kažemo da niz a(n) konvergira ili teži k realnom broju a, ako svaki otvoreni interval polumjera ε oko a sadrži gotovo sve članove niza tj. ∀ε>0,∃n₀∈N,∀n∈N,(n>n₀)→(|a-a(n)|<ε) ako niz ne konvergira onda kažemo da divergira

2.4 Definicije konvergencije u ∞

Kažemo da niz a(n) konvergira k ∞, ako svaka okolina od ∞ sadrži gotovo sve članove niza tj ∀E>0,∃n₀∈N,∀n∈N,(n>n₀)→(a(n)>E)

2.5.Definicija niza funkcija po točkama

Kažemo da niz funkcija f(n), gdje je f(n):I→R konvergira po točkama, k funkciji f:I→R na intervalu I, ako niz brojeva f(n)(k) konvergira ka f(x), ∀x∈I

2.7. Definicija limes superiora i limes inferiora

Neka je a(n) ograničen niz realnih brojeva i A⊂R je skup svih gomilišta tog niza. 1.supremum skupa A nazivamo limes superior i pišemo limsup(a(n)) 2.infimum skupa A nazivamo limes inferior i pišemo liminf(a(n)) ako limsup(a(n))=L, onda vrijedi: a)∀ε>0, L+ε>a(n) za gotovo sve članove niza b)∀ε>0, L-ε<a(n) za beskonačno članova niza ako liminf(a(n))=d, onda vrijedi: a)∀ε>0, d-ε<a(n) za gotovo sve članove niza b)∀ε>0, d+ε>a(n) za beskonačno članova niza

2.1.Definicija monotonih nizova

Neka je a(n) u R: 1.Niz a(n) je strogo rastući ako: ∀n∈N, a(n)<a(n+1) 2.Niz a(n) je strogo padajući ako: ∀n∈N, a(n)>a(n+1) 3.Niz a(n) je rastući ako: ∀n∈N, a(n)≤a(n+1) 4.Niz a(n) je padajući ako: ∀n∈N, a(n)≥a(n+1)