3. Pravdepodobnosť
Vzťah medzi normálnym rozdelením N(mí;sigma^2) a normovaným normálnym rozdelením N(0;1)
Ak má náhodná veličina X rozdelenie N(mí;sigma^2), potom náhodná veličina Y=(X-mí)/sigma má normované normálne rozdelenie N(0;1)
Nezávislé javy A a B
Ak výskyt javu A nie je žiadnym spôsobom ovplyvnený výskytom javu B, t.j. P(A/B)=P(A) P(A prienik B)=P(A)*P(B)
8 rozdelení diskrétneho typu
Binomické, alternatívne, geometrické, negatívne binomické, hypergeometrické, Poissonovo, diskrétne rovnomerné a multinomické rozdelenie
2 druhy aproximácie hypergeometrického rozdelenia
Binomickým rozdelením: ak n/N<0,1 a n je oveľa menší ako N, potom p=M/N a n=n Poissonovým rozdelením: ak n/N<=0,1 , M/N<=0,1 a n>=30 , potom lambda=(n*M)/N
Studentovo t-rozdelenie
Dôležité v prípade menších súborov. Ak je v dostatočne veľké (v>=30), graf t-rozdelenia je skoro totožný s grafom normálneho rozdelenia a blíži sa k normálnemu rozdeleniu, ak v ide do nekonečna. Týmto rozdelením sa riadi výberový priemer náhodného výberu zo súboru s normálnym rozdelením s neznámym rozptylom
Rovnomerné rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=(a+b)/2 D(X)=(b-a)^2/12
Diskrétne rovnomerné rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=(n+1)/2 D(X)=(n^2-1)/12
Studentovo t-rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=0 , v>=2 D(X)=v/(v-2) , v>=3
Geometrické rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=1/p D(X)=(1-p)/p^2
Exponenciálne rozdelenie - vzorce E(X), D(X) a medián
E(X)=A+(1/lambda) D(X)=1/lambda^2 medián=(ln 2/lambda)+A
Poissonovo rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=D(X)=lambda
Normálne rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=mí D(X)=sigma^2
Hypergeometrické rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=n*p D(X)=[(N-n)/(N-1)]*n *p *(1-p)
Binomické rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=n*p D(X)=n*p *(1-p)
Multinomické rozdelenie - vzorce E(Xi) a D(Xi)
E(X)=n*pi D(X)=n*pi *(1-pi)
Alternatívne rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=p D(X)=p*(1-p)
Negatívne binomické rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=r/p D(X)=[r*(1-p)]/p^2
Chí-kvadrát rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)
E(X)=v D(X)=2v
Exponenciálne rozdelenie
Exponenciálne rozdelenie umožňuje výpočet pravdepodobnej životnosti výrobkov a zariadení, doba čakania v rade, doba medzi realizáciami 2 po sebe nasledujúcich náhodných javov (teória spoľahlivosti a životnosti, hromadnej obsluhy). Parameter A má význam dolnej hranice rozdelenia, v teórii spoľahlivosti a životnosti sa nazýva záručná/garančná hodnota
Distribučná funkcia zodpovedajúca náhodnej veličine X a jej rozdeleniu pravdepodobnosti (vzorec)
F(x)=P(X<=x) Funkcia F(x) vyjadruje pravdepodobnosť, že náhodná veličina X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú konkrétnej hodnote x
Čo dostaneme, ak každému prvku z E priradíme reálne číslo?
Funkciu definovanú nad priestorom elementárnych javov. Výsledok pokusu je potom chápaný ako konkrétna hodnota (realizácia) náhodnej veličiny
Náhodný pokus (experiment) - príklad
Hádzanie mincou Výsledok (jav, ktorý nastal) má náhodný charakter, nedá sa vopred určiť, pri rovnakých podmienkach nastane s rovnakou pravdepodobnosťou
Zjednotenie javov A a B
Jav spočívajúci v tvrdení, že nastal aspoň jeden z javov A alebo B
Prienik javov A a B
Jav spočívajúci v tvrdení, že obidva javy A a B nastali súčasne
Istý jav
Jav, ktorý musí nutne nastať
Nemožný jav
Jav, ktorý v žiadnom prípade nemôže nastať
Poissonovo rozdelenie
Je úplne definované jediným parametrom lambda. Napr. počet udalostí za určitú časovú jednotku (počet porúch zariadenia za 100 hodín prevádzky), počet častíc v jednotke plochy/objemu
Priestor všetkých elementárnych javov
Konečná, spočítateľná alebo nespočítateľná množina. Náhodný jav A je podmnožinou množiny všetkých elementárnych javov. Ozn. E
Hypergeometrické rozdelenie
Majme N predmetov, z ktorých práve M má určitú požadovanú vlastnosť. Z týchto N predmetov postupne náhodne bez vrátenia vyberáme n predmetov. Náhodná veličina X udáva počet vybratých predmetov, ktoré majú požadovanú vlastnosť. Napr. kontrola kvality pri skúmaní malého počtu výrobkov, kontrola deštrukčného typu
Podmienená pravdepodobnosť (príklad)
Meškanie električky v závislosti na počasí. Podmienená pravdepodobnosť javu A v závislosti od toho, či nastal iný jav B
Pravdepodobnosť
Miera istoty, že nastane jav A, ozn. P(A)
Náhodný jav
Možný výsledok pokusu. Označujeme veľkými písmenami
3 základné spôsoby určenia pravdepodobnosti výskytu javu
Na základe modelu Na základe údajov Subjektívne
Normálne rozdelenie (Gaussovo rozdelenie, Laplaceovo rozdelenie)
Najdôležitejšie spojité rozdelenie pravdepodobnosti. E(X)=mí D(X)=sigma^2 Ozn. N(mí; sigma^2) Graf rozdelenia je symetrický podľa mí, funkcia je konkávna na oboch stranách okolo strednej hodnoty mí po inflexné body mí-sigma a mí+sigma, kde sa mení na konvexnú
Opačný (komplementárny) jav k javu A
Nastane práve vtedy, keď nenastal jav A
Aproximácia Poissonovho rozdelenia
Normálnym rozdelením: ak lambda>5 , potom mí=lambda a sigma^2=lambda
Rovnomerné rozdelenie
Náhodnou veličinou, ktorá sa riadi rovnomerným rozdelením, je napríklad chyba pri zaokrúhľovaní čísla, alebo doba čakania na uskutočnenie javu, ktorý sa opakuje v pravidelných intervaloch. Pozdĺž intervalu <a,b> je pravdepodobnosť rovnomerne rozložená a mimo intervalu je pravdepodobnosť nulová. Napr. pravdepodobnosť že tovar bude dodaný v dobe predajnej špičky
Diskrétna náhodná veličina
Náhodná veličina nadobúda iba izolované hodnoty, konečný alebo spočítateľný počet hodnôt. Napr. počet študentov na prednáške, počet zákazníkov v rade
Elementárny jav
Náhodný jav v najjednoduchšej forme, nedá sa rozložiť na skupinu jednoduchších javov. Elementárne javy tvoria úplný rozklad priestoru elementárnych javov, t.j. ich zjednotenie je priestor E a ľubovoľné 2 el. javy majú prázdny prienik
Empirický (štatistický, scholastický) prístup k pravdepodobnosti
Opakovanie pokusu - čím viackrát pokus opakujeme, tým viac by sa podiel počtu priaznivých výsledkov a celkového počtu pokusov mal podobať na teoretickú pravdepodobnosť
Klasická definícia pravdepodobnosti (vzorec)
P(A)=m/n
Geometrická definícia pravdepodobnosti (vzorec)
P(A)=mí(lambda)/mí(omega)
Podmienená pravdepodobnosť (vzorec)
P(A/B)=[P(A prienik B)]/P(B) a teda P(A prienik B)=P(A/B)*P(B)=P(B/A) *P(A)
Vzorec na výpočet p., že náhodná veličina X nadobúda hodnoty z intervalu (x1;x2) (spojité rozdelenie)
P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1)
2 druhy aproximácie binomického rozdelenia
Poissonovým rozdelením: ak p<0,1 a n* p<10 , potom lambda=n*p Normálnym rozdelením: ak n* p>5 a n *(1-p)>=5 , potom mí=n *p a sigma^2=n* p*(1-p)
Náhodný pokus - definícia
Pokus, ktorého výsledok nie je jednoznačne určený podmienkami, za ktorých sa uskutoční
Stredná hodnota
Popisuje polohu "očakávanej hodnoty". Ozn. E(X)
Rozptyl a smerodajná odchýlka
Popisujú variabilitu hodnôt náhodnej veličiny. Rozptyl - D(X) Smerodajná odchýlka - odmocnina z rozptylu
Diskrétne rovnomerné rozdelenie
Popísanie náhodnej veličiny X, ktorá môže nadobúdať n rôznych hodnôt s rovnakými pravdepodobnosťami. Napr. hracia kocka s 12 stenami - aká je pravdepodobnosť, že padne číslo deliteľné 4
Stupeň voľnosti
Počet parametrov, ktoré je možné voliť. Napr. ak poznáme priemer n prvkov, potom môžeme zvoliť voľne iba n-1 prvkov, pre zostávajúci prvok už možnosť voľby nemáme. Je určený priemerom a n-1 ostatnými prvkami
Zákon rozdelenia pravdepodobnosti
Pravidlo, ktoré určuje pravdepodobnosť, že náhodná veličina nadobudne určité hodnoty
Multinomické rozdelenie
Prirodzené zovšeobecnenie binomického rozdelenia, ak výsledkom pokusu sú viac ako 2 možnosti. Napr. pri 12 hodoch kockou padne každá hodnota presne dvakrát, pri 6 hodoch kockou je súčet presne 10
Rozhodovacie stromy - závislé javy
Prvý ťah je nepodmienená pravdepodobnosť, druhý a ďalšie ťahy sú podmienené pravdepodobnosti. Napr. ťahanie bielej a čiernej loptičky z vrecka, pričom ich nevkladáme naspäť
Chí-kvadrát rozdelenie
Riadi sa ním rozptyl náhodného výberu zo súboru s normálnym rozdelením
7 rozdelení spojitého typu
Rovnomerné, exponenciálne, normálne, lognormálne, Studentovo t-rozdelenie, chí-kvadrát, F-rozdelenie
Lognormálne rozdelenie (logaritmicko-normálne)
Rozdelenie je asymetrické, zošikmené doprava. Napr. pri modelovaní príjmových rozdelení, teória spoľahlivosti a životnosti, normovanie práce - ak náhodná veličina nadobúda len nezáporné hodnoty a tvar rozdelenia je asymetrický s jedným vrcholom Ozn. LN(mí;sigma^2)
Geometrické rozdelenie
Skúmame náhodný pokus, v ktorom náhodný jav A nastane s pravdepodobnosťou p. Tento pokus opakujeme dovtedy, kým jav A nenastane prvýkrát. Pravdepodobnosť, že jav A nastal práve pri x-tom pokuse vypočítame ako p., že (x-1)-krát za sebou nenastal, čomu zodpovedá p. (1-p)^[x-1], a v x-tom pokuse jav A s pravdepodobnosťou p nastal.
Binomické rozdelenie
Skúmame náhodný pokus, v ktorom náhodný jav A nastane s pravdepodobnosťou p. Tento pokus opakujeme nezávisle n-krát za sebou. Napr. opakované hádzanie mincou, kockou
2 číselné charakteristiky náhodných veličín
Stredná hodnota a rozptyl, resp. smerodajná odchýlka
Popíšte strednú hodnotu a smerodajnú odchýlku normálneho rozdelenia
Stredná hodnota mí určuje všeobecnú polohu rozdelenia. Smerodajná odchýlka sigma udáva, ako veľmi sú hodnoty rozdelenia rozptýlené
Nezlučiteľné javy A a B
Také javy A a B, ktoré nemôžu nastať súčasne, čiže ich prienik je prázdna množina
Negatívne binomické rozdelenie (Pascalovo rozdelenie)
Uvažujme opäť Bernoulliho postupnosť pokusov. Nech r je pevne dané prirodzené číslo. Nezávislé pokusy opakujeme dovtedy, kým jav A nastane práve r-tý raz. Napr. pravdepodobnosť, že hlava padne piatykrát práve pri ôsmom hode mincou
Rozhodovacie stromy - nezávislé javy
Výber z predchádzajúceho kola nemá vplyv na aktuálne kolo. Napr. Napr. ťahanie bielej a čiernej loptičky z vrecka, pričom loptičky po ťahu naspäť vkladáme do vrecúška
Spojitá náhodná veličina
Výsledkom pokusu je ľubovoľné reálne číslo z konečného alebo nekonečného intervalu. Napr. hmotnosť balíčka kávy, čas príchodu do práce, cena akcie na burze
Normované normálne rozdelenie
fí(x) - distribučná funkcia náhodnej veličiny X, ktorá má rozdelenie N(0;1), čiže mí=0 a sigma^2=1 fí(0)=0,5
Ak je X spojitá náhodná veličina, potom pravdepodobnosť, že X nadobúda nejakú konkrétnu hodnotu...
je vo všeobecnosti rovná 0. Vieme iba určiť pravdepodobnosť výskytu hodnoty v ľubovoľne malom intervale.
Štatistická definícia pravdepodobnosti (vzorec)
rn(A)=hn(A)/n pre n idúce do nekonečna
Alternatívne rozdelenie
Špeciálny prípad binomického rozdelenia, keď daný pokus opakujeme len jedenkrát (n=1). Výsledkom pokusu môžu byť len 2 situácie - jav nastal (x=1) alebo jav nenastal (x=0)