3. Pravdepodobnosť

Vzťah medzi normálnym rozdelením N(mí;sigma^2) a normovaným normálnym rozdelením N(0;1)

Ak má náhodná veličina X rozdelenie N(mí;sigma^2), potom náhodná veličina Y=(X-mí)/sigma má normované normálne rozdelenie N(0;1)

Nezávislé javy A a B

Ak výskyt javu A nie je žiadnym spôsobom ovplyvnený výskytom javu B, t.j. P(A/B)=P(A) P(A prienik B)=P(A)*P(B)

8 rozdelení diskrétneho typu

Binomické, alternatívne, geometrické, negatívne binomické, hypergeometrické, Poissonovo, diskrétne rovnomerné a multinomické rozdelenie

2 druhy aproximácie hypergeometrického rozdelenia

Binomickým rozdelením: ak n/N<0,1 a n je oveľa menší ako N, potom p=M/N a n=n Poissonovým rozdelením: ak n/N<=0,1 , M/N<=0,1 a n>=30 , potom lambda=(n*M)/N

Studentovo t-rozdelenie

Dôležité v prípade menších súborov. Ak je v dostatočne veľké (v>=30), graf t-rozdelenia je skoro totožný s grafom normálneho rozdelenia a blíži sa k normálnemu rozdeleniu, ak v ide do nekonečna. Týmto rozdelením sa riadi výberový priemer náhodného výberu zo súboru s normálnym rozdelením s neznámym rozptylom

Rovnomerné rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=(a+b)/2 D(X)=(b-a)^2/12

Diskrétne rovnomerné rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=(n+1)/2 D(X)=(n^2-1)/12

Studentovo t-rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=0 , v>=2 D(X)=v/(v-2) , v>=3

Geometrické rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=1/p D(X)=(1-p)/p^2

Exponenciálne rozdelenie - vzorce E(X), D(X) a medián

E(X)=A+(1/lambda) D(X)=1/lambda^2 medián=(ln 2/lambda)+A

Poissonovo rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=D(X)=lambda

Normálne rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=mí D(X)=sigma^2

Hypergeometrické rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=n*p D(X)=[(N-n)/(N-1)]*n *p *(1-p)

Binomické rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=n*p D(X)=n*p *(1-p)

Multinomické rozdelenie - vzorce E(Xi) a D(Xi)

E(X)=n*pi D(X)=n*pi *(1-pi)

Alternatívne rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=p D(X)=p*(1-p)

Negatívne binomické rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=r/p D(X)=[r*(1-p)]/p^2

Chí-kvadrát rozdelenie - vzorce E(X) a D(X)

E(X)=v D(X)=2v

Exponenciálne rozdelenie

Exponenciálne rozdelenie umožňuje výpočet pravdepodobnej životnosti výrobkov a zariadení, doba čakania v rade, doba medzi realizáciami 2 po sebe nasledujúcich náhodných javov (teória spoľahlivosti a životnosti, hromadnej obsluhy). Parameter A má význam dolnej hranice rozdelenia, v teórii spoľahlivosti a životnosti sa nazýva záručná/garančná hodnota

Distribučná funkcia zodpovedajúca náhodnej veličine X a jej rozdeleniu pravdepodobnosti (vzorec)

F(x)=P(X<=x) Funkcia F(x) vyjadruje pravdepodobnosť, že náhodná veličina X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú konkrétnej hodnote x

Čo dostaneme, ak každému prvku z E priradíme reálne číslo?

Funkciu definovanú nad priestorom elementárnych javov. Výsledok pokusu je potom chápaný ako konkrétna hodnota (realizácia) náhodnej veličiny

Náhodný pokus (experiment) - príklad

Hádzanie mincou Výsledok (jav, ktorý nastal) má náhodný charakter, nedá sa vopred určiť, pri rovnakých podmienkach nastane s rovnakou pravdepodobnosťou

Zjednotenie javov A a B

Jav spočívajúci v tvrdení, že nastal aspoň jeden z javov A alebo B

Prienik javov A a B

Jav spočívajúci v tvrdení, že obidva javy A a B nastali súčasne

Istý jav

Jav, ktorý musí nutne nastať

Nemožný jav

Jav, ktorý v žiadnom prípade nemôže nastať

Poissonovo rozdelenie

Je úplne definované jediným parametrom lambda. Napr. počet udalostí za určitú časovú jednotku (počet porúch zariadenia za 100 hodín prevádzky), počet častíc v jednotke plochy/objemu

Priestor všetkých elementárnych javov

Konečná, spočítateľná alebo nespočítateľná množina. Náhodný jav A je podmnožinou množiny všetkých elementárnych javov. Ozn. E

Hypergeometrické rozdelenie

Majme N predmetov, z ktorých práve M má určitú požadovanú vlastnosť. Z týchto N predmetov postupne náhodne bez vrátenia vyberáme n predmetov. Náhodná veličina X udáva počet vybratých predmetov, ktoré majú požadovanú vlastnosť. Napr. kontrola kvality pri skúmaní malého počtu výrobkov, kontrola deštrukčného typu

Podmienená pravdepodobnosť (príklad)

Meškanie električky v závislosti na počasí. Podmienená pravdepodobnosť javu A v závislosti od toho, či nastal iný jav B

Pravdepodobnosť

Miera istoty, že nastane jav A, ozn. P(A)

Náhodný jav

Možný výsledok pokusu. Označujeme veľkými písmenami

3 základné spôsoby určenia pravdepodobnosti výskytu javu

Na základe modelu Na základe údajov Subjektívne

Normálne rozdelenie (Gaussovo rozdelenie, Laplaceovo rozdelenie)

Najdôležitejšie spojité rozdelenie pravdepodobnosti. E(X)=mí D(X)=sigma^2 Ozn. N(mí; sigma^2) Graf rozdelenia je symetrický podľa mí, funkcia je konkávna na oboch stranách okolo strednej hodnoty mí po inflexné body mí-sigma a mí+sigma, kde sa mení na konvexnú

Opačný (komplementárny) jav k javu A

Nastane práve vtedy, keď nenastal jav A

Aproximácia Poissonovho rozdelenia

Normálnym rozdelením: ak lambda>5 , potom mí=lambda a sigma^2=lambda

Rovnomerné rozdelenie

Náhodnou veličinou, ktorá sa riadi rovnomerným rozdelením, je napríklad chyba pri zaokrúhľovaní čísla, alebo doba čakania na uskutočnenie javu, ktorý sa opakuje v pravidelných intervaloch. Pozdĺž intervalu <a,b> je pravdepodobnosť rovnomerne rozložená a mimo intervalu je pravdepodobnosť nulová. Napr. pravdepodobnosť že tovar bude dodaný v dobe predajnej špičky

Diskrétna náhodná veličina

Náhodná veličina nadobúda iba izolované hodnoty, konečný alebo spočítateľný počet hodnôt. Napr. počet študentov na prednáške, počet zákazníkov v rade

Elementárny jav

Náhodný jav v najjednoduchšej forme, nedá sa rozložiť na skupinu jednoduchších javov. Elementárne javy tvoria úplný rozklad priestoru elementárnych javov, t.j. ich zjednotenie je priestor E a ľubovoľné 2 el. javy majú prázdny prienik

Empirický (štatistický, scholastický) prístup k pravdepodobnosti

Opakovanie pokusu - čím viackrát pokus opakujeme, tým viac by sa podiel počtu priaznivých výsledkov a celkového počtu pokusov mal podobať na teoretickú pravdepodobnosť

Klasická definícia pravdepodobnosti (vzorec)

P(A)=m/n

Geometrická definícia pravdepodobnosti (vzorec)

P(A)=mí(lambda)/mí(omega)

Podmienená pravdepodobnosť (vzorec)

P(A/B)=[P(A prienik B)]/P(B) a teda P(A prienik B)=P(A/B)*P(B)=P(B/A) *P(A)

Vzorec na výpočet p., že náhodná veličina X nadobúda hodnoty z intervalu (x1;x2) (spojité rozdelenie)

P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1)

2 druhy aproximácie binomického rozdelenia

Poissonovým rozdelením: ak p<0,1 a n* p<10 , potom lambda=n*p Normálnym rozdelením: ak n* p>5 a n *(1-p)>=5 , potom mí=n *p a sigma^2=n* p*(1-p)

Náhodný pokus - definícia

Pokus, ktorého výsledok nie je jednoznačne určený podmienkami, za ktorých sa uskutoční

Stredná hodnota

Popisuje polohu "očakávanej hodnoty". Ozn. E(X)

Rozptyl a smerodajná odchýlka

Popisujú variabilitu hodnôt náhodnej veličiny. Rozptyl - D(X) Smerodajná odchýlka - odmocnina z rozptylu

Diskrétne rovnomerné rozdelenie

Popísanie náhodnej veličiny X, ktorá môže nadobúdať n rôznych hodnôt s rovnakými pravdepodobnosťami. Napr. hracia kocka s 12 stenami - aká je pravdepodobnosť, že padne číslo deliteľné 4

Stupeň voľnosti

Počet parametrov, ktoré je možné voliť. Napr. ak poznáme priemer n prvkov, potom môžeme zvoliť voľne iba n-1 prvkov, pre zostávajúci prvok už možnosť voľby nemáme. Je určený priemerom a n-1 ostatnými prvkami

Zákon rozdelenia pravdepodobnosti

Pravidlo, ktoré určuje pravdepodobnosť, že náhodná veličina nadobudne určité hodnoty

Multinomické rozdelenie

Prirodzené zovšeobecnenie binomického rozdelenia, ak výsledkom pokusu sú viac ako 2 možnosti. Napr. pri 12 hodoch kockou padne každá hodnota presne dvakrát, pri 6 hodoch kockou je súčet presne 10

Rozhodovacie stromy - závislé javy

Prvý ťah je nepodmienená pravdepodobnosť, druhý a ďalšie ťahy sú podmienené pravdepodobnosti. Napr. ťahanie bielej a čiernej loptičky z vrecka, pričom ich nevkladáme naspäť

Chí-kvadrát rozdelenie

Riadi sa ním rozptyl náhodného výberu zo súboru s normálnym rozdelením

7 rozdelení spojitého typu

Rovnomerné, exponenciálne, normálne, lognormálne, Studentovo t-rozdelenie, chí-kvadrát, F-rozdelenie

Lognormálne rozdelenie (logaritmicko-normálne)

Rozdelenie je asymetrické, zošikmené doprava. Napr. pri modelovaní príjmových rozdelení, teória spoľahlivosti a životnosti, normovanie práce - ak náhodná veličina nadobúda len nezáporné hodnoty a tvar rozdelenia je asymetrický s jedným vrcholom Ozn. LN(mí;sigma^2)

Geometrické rozdelenie

Skúmame náhodný pokus, v ktorom náhodný jav A nastane s pravdepodobnosťou p. Tento pokus opakujeme dovtedy, kým jav A nenastane prvýkrát. Pravdepodobnosť, že jav A nastal práve pri x-tom pokuse vypočítame ako p., že (x-1)-krát za sebou nenastal, čomu zodpovedá p. (1-p)^[x-1], a v x-tom pokuse jav A s pravdepodobnosťou p nastal.

Binomické rozdelenie

Skúmame náhodný pokus, v ktorom náhodný jav A nastane s pravdepodobnosťou p. Tento pokus opakujeme nezávisle n-krát za sebou. Napr. opakované hádzanie mincou, kockou

2 číselné charakteristiky náhodných veličín

Stredná hodnota a rozptyl, resp. smerodajná odchýlka

Popíšte strednú hodnotu a smerodajnú odchýlku normálneho rozdelenia

Stredná hodnota mí určuje všeobecnú polohu rozdelenia. Smerodajná odchýlka sigma udáva, ako veľmi sú hodnoty rozdelenia rozptýlené

Nezlučiteľné javy A a B

Také javy A a B, ktoré nemôžu nastať súčasne, čiže ich prienik je prázdna množina

Negatívne binomické rozdelenie (Pascalovo rozdelenie)

Uvažujme opäť Bernoulliho postupnosť pokusov. Nech r je pevne dané prirodzené číslo. Nezávislé pokusy opakujeme dovtedy, kým jav A nastane práve r-tý raz. Napr. pravdepodobnosť, že hlava padne piatykrát práve pri ôsmom hode mincou

Rozhodovacie stromy - nezávislé javy

Výber z predchádzajúceho kola nemá vplyv na aktuálne kolo. Napr. Napr. ťahanie bielej a čiernej loptičky z vrecka, pričom loptičky po ťahu naspäť vkladáme do vrecúška

Spojitá náhodná veličina

Výsledkom pokusu je ľubovoľné reálne číslo z konečného alebo nekonečného intervalu. Napr. hmotnosť balíčka kávy, čas príchodu do práce, cena akcie na burze

Normované normálne rozdelenie

fí(x) - distribučná funkcia náhodnej veličiny X, ktorá má rozdelenie N(0;1), čiže mí=0 a sigma^2=1 fí(0)=0,5

Ak je X spojitá náhodná veličina, potom pravdepodobnosť, že X nadobúda nejakú konkrétnu hodnotu...

je vo všeobecnosti rovná 0. Vieme iba určiť pravdepodobnosť výskytu hodnoty v ľubovoľne malom intervale.

Štatistická definícia pravdepodobnosti (vzorec)

rn(A)=hn(A)/n pre n idúce do nekonečna

Alternatívne rozdelenie

Špeciálny prípad binomického rozdelenia, keď daný pokus opakujeme len jedenkrát (n=1). Výsledkom pokusu môžu byť len 2 situácie - jav nastal (x=1) alebo jav nenastal (x=0)