Analyse 1

L'intégrale ∫[de 0 à 1] cosh(x²³)dx est strictement inférieure à 2 S14

Faux cosh(x) ≥ 1 ∀x ∈ R donc 1 ≤ cosh(x²³)) ∀x ∈ R Ainsi 2 = ∫[−1,1] 1dx ≤ ∫[−1,1] cosh(x²³)dx (= ~2.02219)

La fonction f(x) = arccot(x) + arccot(1/x) est constante sur R* S12

Faux f(1) = π/2 et f(−1) = − π/2

Si f ∶ R → R est continue et bijective alors f possède un point fixe S10

Faux f(x) = x + 1 est bijective et continue mais elle n'a pas de point fixe

La fonction f(x) = sinh(x²) est impaire S13

Faux f(−x) = sinh((−x)2) = sinh(x2) = f(x), donc paire

La limite lim(x→+∞) 3^x/x¹⁰⁰⁰ vaut 0 S13

Faux lim(x→+∞)3^x/x¹⁰⁰⁰ = +∞ L'exponentielle l'emporte sur la puissance

La fonction f(x) = tan(x) est contractante sur l'intervalle [-(√2)/2, (√2)/2] S11

Faux tan est bornée, 2-limpide mais pas contractante (sa dérivée n'est pas strictement bornée par 1)

La fonction f(x) = (x − π)⁷ + π poss`ede un point fixe dans l'intervalle ]3, 4[ S11

Vrai

Le développement limité d'ordre 4 de cos²(x) en α = 0 vaut 1 − x² + x³/4 + x⁴ ε(x) S12

Vrai

Si f ∶ R → R est continue et impaire alors ∫[de −a→a] f(x)dx = 0 pour tout a ∈ R⁺ S14

Vrai

Si f ∶ |R → |R est continue et vérifie f(x + y) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈ |R alors f est |R-linéaire S10

Vrai

Soit (an) une suite convergente de nombres réels. Alors ∀ε > 0, ∃ k ∈ N tel que ∀n ≥ k on a |an+1 − an| ≤ ε

Vrai

Soit f ∶ R → R une fonction continue telle que lim(x→+∞) f(x) − x ≥ 0 et lim(x→−∞) f(x) − x ≤ 0. Alors f possède un point fixe S10

Vrai

Soit p un entier ≥ 1 et une série absolument convergente. Alors la série élevée à la puissance p est aussi absolument convergente

Vrai

Tout polynôme est dérivable une infinité de fois S11

Vrai

Pour tout x, y ∈ R on a ∣cos(x) − cos(y)∣ ≤ ∣x − y∣ S12

Vrai Conséquence de TAF

Toute fonction continue sur [a, b] possède une primitive sur [a, b] S14

Vrai Définition de la primitive

La fonction f(x): sin(1/x), si x ≠ 0 et 0, si x = 0 envoie tout intervalle sur un intervalle S10

Vrai Fonction impaire possède une symétrie axiale avec l'axe oblique = -x

Si f ∶ R→ R vérifie l'inégalité ∣f(x) − f(y)∣ ≤ ∣x − y∣² pour tous x, y ∈ R, alors f est constante S12

Vrai L'inégalité entra^ne que x≠y alors lim(x→y) (|(x)-f(y)|)/(|x-y|) ≤ lim(x→y)|x-y| = 0 et f est constante par conséquence du TAF

La fonction f(x) = e^sin²(x) possède un point stationnaire dans l'intervalle ]π/2, 3π/2[ S12

Vrai Par le théorème de Rolle, on trouve la dérivée f' = 2sin(x)cos(x)e^(sin²(x)) qui s'annule en x = π (∈ ]π/2, 3π/2[)

L'intégrale ∫[de 0 à 1] (du)/(1+√u) est strictement inférieure à 1 S14

Vrai Par le théorème de la moyenne, ∃c ∈ [0, 1] tel que: ∫[0,1] (du)/(√1+u) = (du)/(√1+c) (1 − 0) = (du)/(√1+c) < 1

Si f ∶ |R → |R est continue et vérifie f(q) = 0 ∀q ∈ |Q alors f(x) = 0 pour tout x ∈ |R S10

Vrai Propriété 1 des fonctions continues

Si f ∶ |R → |R est continue et lim(x→+∞) f(x) = −∞ et lim(x→−∞) f(x) = +∞, alors f s'annule S10

Vrai f prend des valeurs positifs et négatifs, donc s'annule forcément

La fonction f(x) = tanh(sinh(x)) est strictement croissante S13

Vrai f ′(x) = cosh cosh 2(sinh (x) (x)) > 0 Donc f est strictement croissante

Si f ∶ R → R est dérivable et périodique alors f′ est périodique S11

Vrai f(x + T) = f(x) f′(x + T) = f′(x), donc bien périodique

Si f est paire et infiniment dérivable alors f^(k)(0) = 0 pour tout k impair S12

Vrai f(−x) = f(x) f ′(x) = −f ′(−x) et donc f ′(0) = 0 De même avec les dérivés d'ordre impair

Si f ∶ R→ R est dérivable et paire alors f′ est impaire S11

Vrai f(−x) = f(x) −f′(−x) = f′(x), donc bien impair

Si f ∶ R→ R est dérivable et impaire alors f′ est paire S11

Vrai f(−x) = −f(x) −f′(−x) = −f′(x) ⇔ f′(−x) = f′(x) donc bien pair

Si f ∶ R → R est 2 fois dérivable et f′′(x) = 0 ∀x ∈ R, alors f est un polynôme de degré ≤ 1 S12

Vrai g(x) = ax (f−g)′(x) = f′(x)−g′(x) = a−a = 0 Donc f-g=b est constante et on a f(x) = b*g(x)

On a lim(x→+∞) arctan(x²) − tanh(x³) = (π − 2)/2 S13

Vrai lim(x→+∞) arctan(x²) − tanh(x³) = lim(x→+∞) arctan(x²) − lim(x→+∞) tanh(x³) = (π/2)− 1 = (π − 2)/2

La fonction e^∣x∣*log3(∣x∣) admet une limite lorsque x→ 0 S13

Vrai lim(x→0) e^x = 1 lim(x→0) log3(|x|) = 0

Si f n'est continue en aucun point, alors f² à la même propriété S9

faaaaux f(x) = -1 si x appartient à IQ et f(x) = 1 si x n'app. pas à IQ pas continue fais f² = f(f(x)) = 1 donc continue

L'équation ∣z∣ = −1 possède une solution dans C S4

faux

La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est rationnelle. S3

faux

La suite xn = (−1)^n * n tend vers +∞. S6

faux

Le produit de deux imaginaires purs est imaginaire pur. S4

faux

Si f est injective, alors f⁺ aussi. S8

faux

Si f est une fonction bornée alors lim(x→±∞) f(x) existe et est ≠ ±∞ S9

faux

Si f² est paire, alors f aussi S8

faux

Une suite convergente peut admettre plusieurs limites. S5

faux

Une suite géométrique est toujours de Cauchy S7

faux

Le produit d'un rationnel et d'un irrationnel est rationnel. S3

faux (1 * √2)

La limite supérieure d'une suite existe toujours. S6

faux (si suite pas bornée supremum existe pas)

Si lim(n→∞) xn = 0 et xn ≠ 0 pour tout n. alors (1/xn) tend vers +∞. S6

faux (si xn est >0) xn = (-1)^n / n

Toute suite croissante tend vers +∞. S6

faux (suites croissantes et bornées)

La somme de deux irrationnels est irrationnelle. S3

faux (√2 + (-√2))

Le produit de deux irrationnels est irrationnel. S3

faux (√2 irrationele mais 2 non)

Si lim(x→x₀) f(x) = +∞ et si f(x) ≥ 0 alors lim(x→+∞) √f(x) = +∞ S9

faux On ne peut pas déterminer lim(x→+∞) à partir de lim(x→0)

Si f est injective, alors ∣f∣ aussi. S8

faux dans IR f(x)=x |f(x)| = |x| pas injectif car f(-1) = f(1)

Si f est surjective, alors ∣f∣ aussi S8

faux dans IR f(x)=x |f(x)| = |x| pas surjectif

Si f est surjective, alors f⁺ aussi. S8

faux duuh

Si f² est périodique, alors f aussi. S8

faux f(x) = -1 si x<0 et 1 si x>0 f² est constant donc periodique

Si ∣f∣ est périodique, alors f aussi. S8

faux f(x) = -1 si x<0 et 1 si x>0 |f| est cst donc périodique

Si f⁺ est continue en tout point, alors f aussi est continue en tout point S9

faux f(x) = 0 si x>0 et f(x) =-1 si =<0 pas continue en 0 mais f⁺ oui

Si lim(x→+∞) f(x) = +∞ alors il existe α ∈ R tel que f est croissante sur [α,+∞[. S9

faux f(x) = x −([x]/2) la fonction n'est pas croissante sur les intervalles mais tend vers l'infini .

Si ∣f∣ est continue en tout point, alors f aussi est continue en tout point S9

faux f(x) =-1 si x<0 et f(x) = 1 si x>=0 pas continue en zéro mais valeur absolue oui

Si lim(n→+∞) ∣x(n+4) − xn∣ = 0 alors (xn) est de Cauchy S7

faux on peut prendre xn =√n qui vérifie la condition mais qui est non bornée, donc pas de Cauchy

Une suite divergente tend forcément vers +∞ ou −∞. S6

faux suites bornées et divergentes

Si f est une fonction non bornée alors lim(x→+∞) f(x) = ±∞ . S9

faux x* cos(x) pas bornée et sa limite n'existe pas

Si (xn^2) est de Cauchy alors (xn) est aussi de Cauchy S7

faux xn = (-1)^n

Une suite bornée est toujours convergente. S5

faux xn = (-1)^n

Une suite divergente est forcément non-bornée S5

faux xn = (-1)^n

Une suite qui ne tend pas vers +∞ est bornée. S6

faux xn = (-1)^n

Si une suite tend vers −∞ alors son carré aussi. S6

faux xn = -n

Toute suite décroissante converge. S5

faux xn = -x

Si (xn) est de Cauchy et xn≠0 pour tout n ∈ N, alors (1/xn) est de Cauchy S7

faux xn = 1/(n+1) convergente mais 1/xn = n+1 pas bornée

Si xn > 0 pour tout n ∈ N et (xn) converge vers x, alors x > 0. S5

faux xn = 1/n

La multiplication par i correspond à une rotation d'angle π dans le plan. S4

faux π/2

Si une suite converge alors sa racine aussi. S5

faux en général si suite < 0 impossible. si suite > 0 vrai

L'équation z³ = −1 possède 3 solutions dans C. S4

vrai

La somme de deux nombres imaginaires purs est imaginaire pure. S4

vrai

La somme de deux rationnels est rationnelle. S3

vrai

Le produit de deux rationnels est rationnel. S3

vrai

Pour tout z ∈ C et pour tout n ∈ N on a ∣z^n∣ = ∣z∣^n S4

vrai

Si (xn) est bornée alors toute sous-suite de (xn) est bornée aussi. S5

vrai

Si f est bornée alors f² l'est aussi. S8

vrai

Si f est impaire et lim(x→+∞) f(x) = l ∈ |R alors lim(x→−∞) f(x) = −l. S9

vrai

Si f est paire et lim(x→−∞) f(x) = +∞ alors lim(x→+∞) f(x) = +∞.

vrai

Si f est paire, alors f² aussi S8

vrai

Si f est périodique, alors f² aussi S8

vrai

Si f est périodique, alors ∣f∣ aussi. S8

vrai

Si f² est bornée alors f aussi. S8

vrai

Si une suite tend vers +∞ alors son carré aussi. S6

vrai

Si une suite tend vers +∞ alors toutes ses sous-suites aussi. S6

vrai

Si ∣f∣ est injective, alors f aussi S8

vrai

Une suite de Cauchy est toujours bornée. S7

vrai

Une suite qui est à la fois croissante et décroissante est forcément constante. S6

vrai

Une suite qui vérifie ∣x(n+1)−xn∣ < 10^(−n) pour tout n ∈ N est de Cauchy. S7

vrai Cas particulier du critère

Si une suite converge alors son carré aussi. S5

vrai le produit de 2 suites convergentes est une suite convergente

Si (xn) est de Cauchy alors lim(n→+∞) ∣x(n+k) − xn∣ = 0 pour tout k ∈ N S7

vrai selon def ∣xm − xn∣ < ε on prend m = n+k

Si ∣z∣ = 1 alors z⁻¹ = conjugué de z. S4

vrai |z|=1 alors z*z = |z|² = 1 et dont z⁻¹ = conjugué de z

Si f ∶ R→ R est telle que f(I) est un intervalle, pour tout intervalle I, alors f est continue S10

Faux

Si f ∶ ]a, b[→ R est continue alors f(]a, b[) est un intervalle ouvert S10

Faux Contre-exemple vu en classe

La fonction f(x) = x − [x] envoie tout intervalle sur un intervalle S10

Faux Contre-exemple: I = [ ½ , ¾ ] f(I) = [0, ¹/₃ ] ∪ [ ½ , 1[

Si f a un développement limité d'ordre n en 0 qui est nul pour tout n alors f est nulle S12

Faux Contre-exemple: f(x) = e^(−1/x²) si x ≠ 0 et f(0) = 0.

a, b, c, d ∈ R avec a < b et c < d Si f ∶ [a, b] → [c, d] est une fonction bijective alors f est continue S10

Faux Contre-exemple: [0, 1]→[0, 1] f(x) = x, si 0<x<1 1 si x = 0 0 si x = 1

Si f ∶ [a, b]→ R est telle que f([a, b]) = [a, b] alors f est continue S10

Faux Contre-exemple: f ∶ [0, 1] → R définie par f(x) = x, ∀x ∈]0, 1[ f(0) = 1 f(1) = 0

Si f ∶ [0, 1] → R est continue et telle que f(0) = −1 et f(1) = 1 alors f(½) = 0 S10

Faux Contre-exemple: f ∶ [0, 1] →|R définie par f(x) = 4x − 1 si x ∈ [0, 1/2] f(x) = 1 si x ∈] 1/2, 1[

Si f ∶ I→ R est continue sur I est si I est un intervalle fermé, alors f(I) est un intervalle fermé S10

Faux Contre-exemple: f ∶ [1,+∞[→ [0, 1[ définie par f(x) = 1− 1/x

Si f ∶ I→ R est continue sur I et I est un intervalle ouvert, alors f(I) est un intervalle ouvert S10

Faux Contre-exemple: f ∶] − 1, 2[→ [0, 1] f(x) = 0, si −1 ≤ x < 0 f(x) = x, si 0 ≤ x ≤ 1 f(x) = 1, si 1 < x ≤ 2

a, b ∈ R avec a < b Si f ∶ [a, b] → [a, b] possède un point fixe e ∈ [a, b] alors f est continue en e S10

Faux Contre-exemple: f(x) = 0, si x = 0 et f(x) = si x ≠ 0

Si f ∶ R → R est telle que f² est continue alors f est continue S10

Faux Contre-exemple: f(x) = 1, ∀∈|R* et f(0) = -1

Soit f ∶ [−1, 1]→ R continue. Si ∫[de -1 à 1] f(x)dx = 0 alors f(x) = 0 pour tout x ∈ [−1, 1] S14

Faux Contre-exemple: f(x) = x

Si f ∶ R→ R est bijective et dérivable alors f′ ∶ R→ R est bijective S11

Faux Contre-exemple: f(x) = x³

Si x₀ ∈ R est un point stationnaire de f ∶ R → R alors x₀ est un extremum local de f S11

Faux Contre-exemple: f(x) = x³

Si f ∶ R → R est contractante alors f est dérivable

Faux Contre-exemple: f(x) = ∣x|/2

a, b∈ R avec a < b Si f ∶ [a, b]→ [a, b] est bijective alors f possède un point fixe S10

Faux Contre-exemple: f: [-1,1]→[-1,1] f(x) = -x si -1≤x<0 f8x) = x-1 si 0≤x≤1

Si f ∶ I→ R est continue sur I est si I est un intervalle borné, alors f(I) un intervalle borné S10

Faux Contre-exemple: tan: ]-π/2,π/2[ → |R

Si f ∶ [−1, 1] → R est telle que f(−1) = 1 3 et f(1) = 3 alors il existe c ∈ [−1, 1] tel que f(c) = 1 S10

Faux La fonction n'est pas continue

Si f ∶ [0, 1] → [0, 1] vérifie f(1/n)=1/n et f(1/m)=1/m pour n≠m alors f est contractante sur [0, 1] S11

Faux Par le théorème de Banach, pas contractant car f possède deux points fixes (1/n et 1/m)

Un polynôme de degré 34 possède au moins 33 points stationnaires S12

Faux P³⁴ possède AU PLUS 33 solutions