Kongo

Počet všech úhlopříček konvexního n-úhelníku

(n•(n-3))/2

Odchylka rovnoběžek

0 stupňů

Součet vnitřních úhlu v trojúhelníku

180 stupňů

Nekonvexní mnohoúhelník

Alespoň jedna úsečka spojující dva různé vrcholy nepatří celá do tohoto útvaru

Existuje součet a rozdíl úseček?

Ano

Střed souměrnosti

Bod S :)

Definice polopřímky

Bod který leží na přímce ji rozděluje na dvě opačné polopřímky a tento bod je jejich společným počátkem

Samodružný bod

Bod který se při zobrazení zobrazí sám na sebe

Jaká muže být vzájemná poloha bodu a přímky?

Bod leží na přímce Bod neleží na přímce

Co je počátek?

Bod na polopřímce, kde ta polopřímka začíná

Vnitřní body mnohoúhelníku

Body mnohoúhelníku které neleží na lomené čáře

Věty o rovnoběžkách

Danym bodem lze k dané přímce vést jedinou rovnoběžku Jeli přímka a rovnoběžná s přímkou b a přímka b je rovnoběžná s přímkou c. Pak je i přímka a rovnoběžná s přímkou c

Do jaké poloroviny patří hraniční přímka?

Do obou Stejně tak i body na hraniční přímce patří do onou polorovin

Kružnice vepsaná trojúhelníku

Dotýká se všech jeho stran Středem kružnice vepsané je průsečík os vnitřních úhlů trojúhelníku

Co jsou vedlejší úhly a co pro ne platí?

Dva konvexní úhly které mají jedno rameno společné a další ramena jsou navzájem opačné polopřímky Součtem vedlejších úhlu je přímý uhel

Vrcholový úhel

Dva konvexní úhly, jejichž ramena jsou navzájem opačné polopřímky

Kruhová výseč

Dva poloměry které rozdělí kruh na dvě části - kruhové výseče

Souhlasné úhly

Dva shodné úhly takové, ze jedno jejich rameno leží na příčce a druhá ramena na rovnoběžkách a oba úhly leží ve stejné polorovině určené příčkou

Střídavé úhly

Dva shodné úhly, takové že jedno jejich rameno leží na příčce a druhá ramena na rovnoběžkách a oba úhly leží v různých polorovinách určených příčkou

Shodně orientované úhly

Dva úhly které jsou orientované oba ve stejném směru

Definice úhlu

Dvě polopřímky VA a VB dělí rovinu na 2 úhly AVB Polopřímky se nazývají ramena, V vrchol obou úhlů

Funkce ostrého úhlu jsou:

Goniometrické funkce

Polohová úloha

Hledaný útvar je z části již umístěn v rovině

Když bod leží na přímce, říkáme ze bod a přímka jsou:

Incidentní

Když bod neleží na přímce, říkáme ze bod a přímka NEjsou:

Incidentní

Součet vnitřních úhlu mnohoúhelníku

Je (n-2)•180

Tětivový čtyřůhelník

Je mu možné opsat kružnici -součet protějších uhlu je 180

Tečnový čtyčrůhelník

Je mu možné vepsat kružnici - Součet protějších stran je stálý

Sečna kružnice

Je přímka která má s kružnicí společně právě dva různé body

Obraz přímky p při otočení o úhel alfa

Je přímka p' která s přímkou p svírá úhel alfa

Obsah rovnoběžníku

Je roven součinu velikosti strany a příslušné výšky

Obsah pravidelného n-uhelníku

Je roven součtu obsahů n shodných rovnoramenných trojúhelníků, na které lze tento n-úhelník rozdelit

Základní velikost orientovaného úhlu KWL

Je rovna velikosti úhlu KWL který vytvoří polopřímku WK při otáčivém pohybu okolo bodu W do polopřímky WL v kladném smyslu

Stred mnohoúhelníku

Je střed kružnice opsané i vepsané

Definice středu úsečky

Je vnitřní bod úsečky, který ji rozděluje na dvě shodné úsečky

Úhlopříčka konvexního mnohoúhelníku

Je úsečka spojující dva nesoutěžní vrcholy mnohoúhelníku

Pravouhly trojúhelník

Jeden úhel je pravý, stany u pravého úhlu se nazývají odvěsny, strana naproti pravému úhlu je přepona

Úsekový úhel kružnice

Jedním ramenem je polopřímka AB (A, B leží na kružnici a jsou koncovými body kruznicoveho oblouku) a druhé rameno AX je kolmé na na poloměr AS Úhel BAX se nazývá úsekový úhel

Poloměr kružnice

Jeli bod S střed kružnice a X bod na kružnici pak úsečka SX je poloměr kružnice

Mocnost bodu ke kružnici

Jeli dána kruznice, můžeme každému bodu M roviny přiřadit číslo |SM|^2 - r^2 Tomuto číslu říkáme mocnost bodu ke kružnici

Goniometrické funkce

Jsou funkce sinus, cosinus, tangens, kotangens

Vnitřní úhly trojúhelníku

Jsou konvexní úhly

Úsekový vs obvodový úhel

Jsou shodné

Úhlopříčky v obdélníku

Jsou stejně dlouhé Navzájem se půli

Úhlopříčky ve čtverci

Jsou stejně dlouhé, navzájem se půli a jsou na sebe kolmé

Vnější úhly trojúhelníku

Jsou vedlejší úhly k vnitřním úhlům

Definice rovinného pásu

Jsou-li přímky p, q různé rovnoběžky, P je libovolný bod na přímce p a Q je libovolný bod na přímce q, pak průnik polorovin pQ a qP je část roviny které říkáme rovinný pás

Definice přímky

Každá přímka je určena 2 různými body

Vlastnosti středních příček

Každá střední příčka je rovnoběžná s protější stranou trojúhelníku a má oproti ni poloviční velikost

Velikosti úhlu v kružnici

Každému oblouku přísluší nekonečně mnoho obvodových úhlů a všechny jsou shodné

Vlastnosti pravidelných mnohoúhelníků

Každý lze rozdělit na n shodných rovnoramenych trojúhelníku Ramena jsou poloměry kružnice opsané Výšky na základny jsou poloměry kružnice vepsané Paty výšek na základny jsou body dotyku kružnice vepsané Úhly u společného vrcholu (S) maji velikost 360/n

Kdy určují dvě polopřímky dva přímé úhly?

Když jsou polopřímka VA, VB opačné pak určují dva přímé úhly (Přímka AVB)

Kdy jsou dva úhly shodné?

Když mají stejnou velikost

Kdy říkáme ze jsou úsečky shodné

Když mají stejnou velikost

Kdy určují dvě polopřímky plný úhel?

Když polopřímky VA, VB

Kdy určují dvě polopřímky nulový úhel?

Když polopřímky VA, VB splývají (přímka VAB)

Kdy je úhel AVB konvexní?

Když v něm leží celá úsečka AB

Kdy je úhel AVB nekonvexní?

Když v něm neleží celá přímka AB

Jak se nazývají 3 body ležící na jedné přímce?

Kolineární

Jaké úhly jsou vnitřní úhly konvexního mnohoúhelníku?

Konvexní

Pravidelný mnohoúhelník

Konvexní mnohoúhelník který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly shodné

Tupý úhel

Konvexní úhel který je větší než pravý ale menší než přímý

Ostrý úhel

Konvexní úhel větší než nulový a menší než pravý

Jaký kůže být středový úhel?

Konvexní, přímý (konvexní) a nekonvexní

Kosodélník

Kosoúhlý různostranný rovnoběžník

Kosočtverec

Kosoůhlý rovnostranný rovnoběžník

Soustředné kružnice

Kružnice se stejným středem

Příklady množiny bodů dané vlastnosti

Kružnice, osa úhlu, rovnoběžky, osa pásu, různoběžky, osa úhlu, soustředné kružnice, ekvigonála atd

Příklady středové souměrný útvaru

Kružnice, rovnoběžník, kruh

Uzavřená lomena čára

Lomenou čáru ABC ...Z nazveme uzavřena lomena čára jestliže platí A=Z

Co platí o pravidelném n-uhelníku?

Lze mu opsat i vepsat kružnice

Vnitřní úhel mnohoúhelníku

Mame-li konvexní mnohoúhelník s vrcholem A a X,Y jsou jeho sousední vrcholy, pak vnitřní úhel při úhlu A je průnik polorovin XAY a YAX

Mnohoúhelník

Mnohoúhelník ABC...Z je část roviny omezená uzavřenou lomenou čarou ABC...Z která sebe samu neprotíná

Čtyřúhelník

Mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami

Vnitřní oblast kružnice

Množina bodu které mají od středu kružnice menší vzdálenost než poloměr kružnice

Vnější oblast kružnice

Množina bodu které mají od středu kružnice větší vzdálenost než poloměr kružnice

Kružnice

Množina bodu v rovině které mání od daného pevného bodu stejnou vzdálenost Danému bodu říkáme střed kružnice

Ekvigonála úsečky

Množina bodu ze kterých je danou úsečky AB vidět pod uhlem alfa

Osa souměrnosti

Množina samodružných bodů zobrazení

Jak se značí polorovina?

Musíme mít bod v dané polorovine (třeba M) a hraniční primku (třeba p) Poté se polorovina nazývá pM

Výšky v kosodelníku

Má dvě výšky které maji různou velikost

Výšky v kosoctvreci

Má dvě výšky které maji stejnou velikost

Orientovaná usecka

Má počáteční a koncový bod

Tečna kružnice

Má s kružnici jeden společný bod

Středový úhel kružnice

Máme kruznicovy oblouk se středem S a koncovými body A, B Středový úhel je úhel ABS ve kterém leží uvažováný kružnicový oblouk AB

Úsek přepony přilehlý k odvěsně

Máme pravoúhlý trojúhelník s pravým uhlem u vrcholu C. Vyznacime výšku na stranu c. Pak úsek od bodu B po patu výšky se nazvaná úsek prepony přilehlý k odvesně a Úsek od bodu A po patu výšky se nazývá úsek prepony přilehlý k odvesne b

Poměr úseček

Máme-li dvě úsečky PQ a RS, pak existuje klidné číslo k tak, že |PQ|=k•|RS| Číslo k pak nazýváme poměr úseček

Thaletova kružnice

Máme-li kružnici s vyznačením průměrem AB pak všechny trojůhelniky ABC kde C leží na kružnici k jsou pravoúhlé

Lomená čára

Mějme body A,B,C,... takové, ze žádné tři po sobě jdoucí body neleží na stejně přímce. Tyto body určují n úseček. Sjednocení těchto úseček nazýváme lomena čára A, B, C, ... jsou vrcholy Úsečky jsou strany

Kružnicový oblouk

Mějme body K, L které leží na kružnici Pak nám vzniknou dva půlkruhy KL a LK Body K, L nazýváme koncové body kružnicového oblouku

Obvodový úhel kružnice

Mějme různé body A, V, B ležící na kružnici A, B tvoří kružnicový oblouk Úhel AVB nazveme obvodový úhel příslušný oblouku AB, který v tomto úhlu leží

Co je to oblouková míra?

Měření úhlu v radiánech 1 radian = 180 stupňů

Vnitřní střed stejnolehlosti kruznic

Na polopřímce S1S2

Vnější střed stejnolehlosti

Na úsečce S1S2

Když máme n-uhelnik kde n je sudé, co leží naproti vrcholu a naproti straně?

Naproti vrcholu další vrchol Naproti straně další strana Nazýváme je dvojice protékající vrcholu a dvojice protější stran

Když máme n-uhelnik kde n je liché, co leží naproti vrcholu a naproti straně?

Naproti vrcholu letí protější strana Naproti straně letí protější vrchol

Úhlopříčky v kosodélníku

Navzájem se půlí

Vlastnosti úhlopříček v rovnoběžníku

Navzájem se půlí Jejich průsečík se nazývá střed rovnoběžníku

Úhlopříčky v kosočtverci

Navzájem se půlí a jsou na sebe kolmé

Existuje rovnostranný pravoúhlý trojúhelník?

Ne Všechny úhly v rovnostranném trojúhelníku musí mít 60 stupňů

Vnější přímka kružnice

Nemá s kružnici žádný společný bod

Co je to velikost úhlu?

Nezáporné číslo které dostaneme měřením úhlu

Typy čtyřúhelníků

Obecný Lichoběžnik Rovnoběžník

Eukleidova věta o odvěsně

Obsah obdélníku, jehož strany tvoří přepona pravoúhlého trojúhelníku ABC a úsek prepony přilehlý k odvesně, je roven obsahu čtverce sestrojeného nad touto odvěsnou

Eukleidova věta o výšce

Obsah obdélníku, jehož strany tvoří úseky přepony pravoúhlého trojúhelníku ABC, je roven obsahu čtverce sestrojeného nad výškou k předponě

Vlastnosti těznic

Od vrcholu 2 dílky Od středu strany 1 dílek Trojúhelníky oddělené těžnicí maji stejné obsahy

Rozbor

Odpovídáme na otázku proč? Premyslime nad vlastnostmi a vztahy

Nulová úsečka

Orientovaná úsečka kde počáteční bod splývá s jejím koncovým bodem

Jak se nazývá opticky jev, kdy vidíme koleje se protínat v dáli?

Perspektiva

Pohyb v zápornému smyslu

Po směru hodinových ručiček

Velikost orientovaného úhlu

Pokud je alfa základní velikost orientovaného úhlu Pak alfa + k • 360 je velikost orientovaného úhlu

Identita

Pokud je samodružný každý bod roviny

Příčka přímek

Pokud máme dvě rovnoběžky a přímku p různoběžnou s oběma přímkami pak p nazýváme příčku přímek Také říkáme ze rovnoběžné přímky jsou přeťaty přímkou p

Heronův vzorec

Pokud známe všechny strany trojúhelníku můžeme n výpočet obsahu využit tento vzorec S=(s•(s-a)•(s-b)•(s-c))^1/2, kde s=(a+b+c)/2

Pravidelný šestiúhelník

Poloměr kružnice opsané je roven velikosti strany r=a

Co je to osa úhlu?

Polopřímka, s počátkem ve vrcholu úhlu, která úhel rozdělí na dva shodné úhly

Ludolfovo číslo

Poměr délky libovolné kružnice a jejího průměru je konstantní Hodnota tohoto poměru je iracionální číslo které nazýváme ludolfovo

Obdélník

Pravidelný, různostranný rovnoběžník

Čtverec

Pravoúhlý rovnostranný rovnoběžník

Vzdálenost rovnoběžných přímek

Pro rovnoběžky a, b uvažujeme společnou kolmicí k a označíme její patu A na přímce a a B na přímce b. Vzdálenost rozvnobezek je rovna vzdálenosti bodu A a B

Kružnice opsaná trojúhelníku

Prochází všemi vrcholy Středem kružnice opsané je průsečík os stran trojúhelníku

Pohyb v kladném smyslu

Proti pohybu hodinových rucicek

Sinus

Protilehlá ku přeponě

Tangens

Protilehlá ku přilehlé

Pata kolmice

Průsečík kolmice s přímkou

Těžiště

Průsečík těžnic

Ortocentrum

Průsečík výšek v trojúhelníku

Zobrazení v rovině

Předpis který každému bodu X roviny přiřadí prave jeden bod Y téže roviny X je vzor Y je obraz

Nepřímá shodnost

Při pohybu od vzoru k obrazu jsme museli převrátit vzor

Přímá shodnost

Při pohybu od vzoru k obrazu nebyl vzor převrácený

Vnitřní úhly v rovnoramenném lichobězňíku

Při základně jsou shodné

Kotangens

Přilehlá ku protilehlé

Cosinus

Přilehlá ku přeponě

Definice poloroviny

Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich hranicí nebo též hraniční přímkou

Osa úsečky

Přímka, která prochází středem úsečky a je k ní kolmá

Základy v lichoběžniku

Rovnoběžné strany

Jaké můžou být rovnoramenné trojúhelníky?

Rovnoramenný a rovnostranný Ano je to tak

Typy rovnoběžníků

Rovnostranný - čtverec, kosočtverec Ruznostranny - obdélník, kosodélník Pravoúhlý - čtverec, obdélník Kosoůhlý - kosočtverec, kosodélník

Jaká muže být vzájemná poloha 2 přímek?

Různobězné Rovnoběžné Totožné

Kolmice

Různoběžky, jejichž odchylka je 90 stupňů

Ramena v lichoběžníku

Různoběžné protější strany

Obsah rovnostranného trojúhelníku

S=((3^(1/2))/4)•a^2

Obsah lichoběžníku

S=((a+c)•v)/2

Výpočet obsahu trojúhelníku pomoci sinu

S=(1/2) •b•c•sinalfa

Vztah pro výpočet obsahu trojúhelníku pomoci poloměru kružnice opsané

S=(a•b•c)/(4•r)

Vztah pro výpočet obsahu trojúhelníku pomoci poloměru kružnice vepsané

S=r•((a+b+c)/2)

Obvod pravidelného n-uhelníku

Se stranou délky a je roven součinu velikosti strany a počtu stran

Shodnost

Shodné zobrazení v rovině, které každé úsečce AB přiřadí úsečku A'B' shodnou s úsečkou AB

Množina bodů dané vlastnosti

Souhrn všech bodu X roviny pro které platí • každý bod této množiny má danou vlastnost • každý bod, který má danou vlastnost, patří do této množiny

Totožné kružnice

Soustředné kružnice se stejným poloměrem

Obvod trojúhelníku

Součet velikosti jeho stran

Jaká muže být vzájemná poloha dvou bodu?

Splývají (jsou totožné) Jsou různé

Střední příčka lichoběžníku

Spojnice středů ramen

Obvodový vs středový úhel

Středový je 2x obvodový

Hlavní úhlopříčka deltoidu

Ta která je osou obou vnitřních úhlu u vrcholu z nich vychází Ta druhá se nazývá vedlejší Hlavní úhlopříčka prochází středem vedlejší úhlopříčky

Osově souměrný útvar

Takový útvar, který je v osové souměrnosti podle osy o samodružný

Shodnost trojúhelníků

Trojúhelníky jsou shodné jestliže přemístěním jednoho na druhý oba trojúhelníky splynou Trojúhelníky jsou shodné jestliže se shodují - sss, sus, usu, ssu

Co všechno splývá v rovnostranném trojúhelníku?

Těžnice, výšky, osy stran, osy úhlů Těžiště, ortocentrum, střed kružnice vepsané i opsané

Trojúhelník

Tři různé body v rovině, které neleží na jedné přímce určují trojúhelník ABC Je průnikem 3 polorovin

Středná kružnic k1 a k2

Usecka S1S2, taková ze S1 se nerovná S2

Trojúhelníková nerovnost

V trojúhelníku je vždy součet dvou stran větší než poslední třetí strana

Obsah trojúhelníku

Velikost jedné strany násobíme velikostí příslušné výšky a dělíme dvěma

Odchylka různoběžek p, q

Velikost každého z ostrých úhlů nebo pravých úhlu jimi sevřených

Velikost úsečky

Velikost úsečky AB je rovna vzdálenosti jejich krajních bodů A a B

Vzdálenost bodu od přímky

Vzdálenost bodu k patě na přímce

Konvexní mnohoúhelník

Všechny úsečky spojující dva různě vrcholy mnohoúhelníku patří do tohoto útvaru

Výška trojúhelníku

Z vrcholu spustíme kolmici na protější stranu

Stejnolehlost (homotetie)

Zobrazeni v rovině dané bodem S a číslem k (nenulové) které bodu S přiřadí bod S a každému bodu P přiřadí bod P' takto: |SP'|=|k| • |SP| Pro kladné k leží bod P' na polopřímce SP Pro k záporné leží bod P' na polopřímce opačné k přímce SP

Otočení (rotace)

Zobrazení v rovině určené bodem S a orientovaným uhlem o velikosti alfa

Středová souměrnost

Zobrazení v rovině určené bodem S které: Bodu S přiřazuje bod S Každému bodu P přiřazuje bod P' tak, ze přímka PP' prochází středem

Posunutí (translace)

Zobrazení v rovině určené orientovanou úsečkou KL které každému bodu P přiřadí bod P' tak, ze orientované úsečky PP' a KL jsou shodně orientované a mají stejnou velikost

Osová souměrnost

Zobrazení v rovině určené přímkou o které: Každému bodu Q přiřazuje bod Q'

Podobné zobrazení

Zobrazení v rovině, které každé úsečce AB přiřadí úsečku A'B' s vlastností: |A'B'|=k • |AB|

Zvětšení, zmenšení, shodnost

k>1, k<1, k=1

Delka střední příčky lichoběžníku

s=(a+c)/2

Pravý úhel

Úhel který je shodný se svým vedlejším uhlem Všechny pravé úhly jsou shodné

Definice orientovaného úhlu

Úhel u kterého víme velikost i pořadí ramen

Orientovaný úhel

Úhel, pro který rozlišujeme počáteční a koncové rameno AVB VA je počáteční VB je koncové

Konstrukční úloha

Úloha v již máme sestrojit či zkonstruovat geometricky útvar vyhovující zadaným podmínkám

Kruhová úseč

Úsek na který rozdělí tětiva kružnici

Definice úsečky

Úsečka MN je průnikem polopřímky MN s polopřímkou NM. Body M, N nazýváme krajní body úsečky, ostatní body nazýváme vnitřní body úsečky

Těžnice

Úsečka mezi vrcholem a středem protější strany

Tětiva kružnice

Úsečka spojující dva body na kružnici

Střední příčka trojúhelníku

Úsečka spojující středy sousedních stran trojúhelníku

Nepolohová úloha

Útvar je zadán jen svými metrickými vlastnostmi

Samodružný útvar

Útvar v rovině který se při zobrazení zobrazí sám na sebe

Středové souměrný útvar

Útvar, který je ve středové souměrnosti se středem S samodružný.

Deltoid

Čtyřúhelník který má dvě dvojice sousedních stejně dlouhých stran

Lichoběžník

Čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a dvě protější strany různobězné

Kruh

Část roviny omezena kružnici Kružnice je hranice kruhu

Mezikruží

Část roviny vymezena dvěma různými soustřednými kružnicemi

Koeficient stejnolehlosti

Číslo k pro ktere platí |SP'|=|k| • |SP|

Poměr podobnosti a jeho vlastnosti

Číslo k pro které platí |A'B'|=k • |AB| Jeli k>1 jde o zvětšení k<1 jde o zmenšení k=1 jde o shodnost

Podobnost trojúhelníků, poměr podobnosti, věty

Řekneme, ze trojůhelniky jsou podobné, jestliže existuje číslo k tak, že |KL|=k•|AB|, |LM|=k•|BC|, |KM|=k•|AC|. Číslo k se pak nazývá poměr podobnosti Věta uu, sus, ssu

Shodně orientované úsečky

• Jsou rovnoběžné, různé a koncové body B a D leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC • přímky AB a CD splývají a jedna je části druhé