Kongo
Počet všech úhlopříček konvexního n-úhelníku
(n•(n-3))/2
Odchylka rovnoběžek
0 stupňů
Součet vnitřních úhlu v trojúhelníku
180 stupňů
Nekonvexní mnohoúhelník
Alespoň jedna úsečka spojující dva různé vrcholy nepatří celá do tohoto útvaru
Existuje součet a rozdíl úseček?
Ano
Střed souměrnosti
Bod S :)
Definice polopřímky
Bod který leží na přímce ji rozděluje na dvě opačné polopřímky a tento bod je jejich společným počátkem
Samodružný bod
Bod který se při zobrazení zobrazí sám na sebe
Jaká muže být vzájemná poloha bodu a přímky?
Bod leží na přímce Bod neleží na přímce
Co je počátek?
Bod na polopřímce, kde ta polopřímka začíná
Vnitřní body mnohoúhelníku
Body mnohoúhelníku které neleží na lomené čáře
Věty o rovnoběžkách
Danym bodem lze k dané přímce vést jedinou rovnoběžku Jeli přímka a rovnoběžná s přímkou b a přímka b je rovnoběžná s přímkou c. Pak je i přímka a rovnoběžná s přímkou c
Do jaké poloroviny patří hraniční přímka?
Do obou Stejně tak i body na hraniční přímce patří do onou polorovin
Kružnice vepsaná trojúhelníku
Dotýká se všech jeho stran Středem kružnice vepsané je průsečík os vnitřních úhlů trojúhelníku
Co jsou vedlejší úhly a co pro ne platí?
Dva konvexní úhly které mají jedno rameno společné a další ramena jsou navzájem opačné polopřímky Součtem vedlejších úhlu je přímý uhel
Vrcholový úhel
Dva konvexní úhly, jejichž ramena jsou navzájem opačné polopřímky
Kruhová výseč
Dva poloměry které rozdělí kruh na dvě části - kruhové výseče
Souhlasné úhly
Dva shodné úhly takové, ze jedno jejich rameno leží na příčce a druhá ramena na rovnoběžkách a oba úhly leží ve stejné polorovině určené příčkou
Střídavé úhly
Dva shodné úhly, takové že jedno jejich rameno leží na příčce a druhá ramena na rovnoběžkách a oba úhly leží v různých polorovinách určených příčkou
Shodně orientované úhly
Dva úhly které jsou orientované oba ve stejném směru
Definice úhlu
Dvě polopřímky VA a VB dělí rovinu na 2 úhly AVB Polopřímky se nazývají ramena, V vrchol obou úhlů
Funkce ostrého úhlu jsou:
Goniometrické funkce
Polohová úloha
Hledaný útvar je z části již umístěn v rovině
Když bod leží na přímce, říkáme ze bod a přímka jsou:
Incidentní
Když bod neleží na přímce, říkáme ze bod a přímka NEjsou:
Incidentní
Součet vnitřních úhlu mnohoúhelníku
Je (n-2)•180
Tětivový čtyřůhelník
Je mu možné opsat kružnici -součet protějších uhlu je 180
Tečnový čtyčrůhelník
Je mu možné vepsat kružnici - Součet protějších stran je stálý
Sečna kružnice
Je přímka která má s kružnicí společně právě dva různé body
Obraz přímky p při otočení o úhel alfa
Je přímka p' která s přímkou p svírá úhel alfa
Obsah rovnoběžníku
Je roven součinu velikosti strany a příslušné výšky
Obsah pravidelného n-uhelníku
Je roven součtu obsahů n shodných rovnoramenných trojúhelníků, na které lze tento n-úhelník rozdelit
Základní velikost orientovaného úhlu KWL
Je rovna velikosti úhlu KWL který vytvoří polopřímku WK při otáčivém pohybu okolo bodu W do polopřímky WL v kladném smyslu
Stred mnohoúhelníku
Je střed kružnice opsané i vepsané
Definice středu úsečky
Je vnitřní bod úsečky, který ji rozděluje na dvě shodné úsečky
Úhlopříčka konvexního mnohoúhelníku
Je úsečka spojující dva nesoutěžní vrcholy mnohoúhelníku
Pravouhly trojúhelník
Jeden úhel je pravý, stany u pravého úhlu se nazývají odvěsny, strana naproti pravému úhlu je přepona
Úsekový úhel kružnice
Jedním ramenem je polopřímka AB (A, B leží na kružnici a jsou koncovými body kruznicoveho oblouku) a druhé rameno AX je kolmé na na poloměr AS Úhel BAX se nazývá úsekový úhel
Poloměr kružnice
Jeli bod S střed kružnice a X bod na kružnici pak úsečka SX je poloměr kružnice
Mocnost bodu ke kružnici
Jeli dána kruznice, můžeme každému bodu M roviny přiřadit číslo |SM|^2 - r^2 Tomuto číslu říkáme mocnost bodu ke kružnici
Goniometrické funkce
Jsou funkce sinus, cosinus, tangens, kotangens
Vnitřní úhly trojúhelníku
Jsou konvexní úhly
Úsekový vs obvodový úhel
Jsou shodné
Úhlopříčky v obdélníku
Jsou stejně dlouhé Navzájem se půli
Úhlopříčky ve čtverci
Jsou stejně dlouhé, navzájem se půli a jsou na sebe kolmé
Vnější úhly trojúhelníku
Jsou vedlejší úhly k vnitřním úhlům
Definice rovinného pásu
Jsou-li přímky p, q různé rovnoběžky, P je libovolný bod na přímce p a Q je libovolný bod na přímce q, pak průnik polorovin pQ a qP je část roviny které říkáme rovinný pás
Definice přímky
Každá přímka je určena 2 různými body
Vlastnosti středních příček
Každá střední příčka je rovnoběžná s protější stranou trojúhelníku a má oproti ni poloviční velikost
Velikosti úhlu v kružnici
Každému oblouku přísluší nekonečně mnoho obvodových úhlů a všechny jsou shodné
Vlastnosti pravidelných mnohoúhelníků
Každý lze rozdělit na n shodných rovnoramenych trojúhelníku Ramena jsou poloměry kružnice opsané Výšky na základny jsou poloměry kružnice vepsané Paty výšek na základny jsou body dotyku kružnice vepsané Úhly u společného vrcholu (S) maji velikost 360/n
Kdy určují dvě polopřímky dva přímé úhly?
Když jsou polopřímka VA, VB opačné pak určují dva přímé úhly (Přímka AVB)
Kdy jsou dva úhly shodné?
Když mají stejnou velikost
Kdy říkáme ze jsou úsečky shodné
Když mají stejnou velikost
Kdy určují dvě polopřímky plný úhel?
Když polopřímky VA, VB
Kdy určují dvě polopřímky nulový úhel?
Když polopřímky VA, VB splývají (přímka VAB)
Kdy je úhel AVB konvexní?
Když v něm leží celá úsečka AB
Kdy je úhel AVB nekonvexní?
Když v něm neleží celá přímka AB
Jak se nazývají 3 body ležící na jedné přímce?
Kolineární
Jaké úhly jsou vnitřní úhly konvexního mnohoúhelníku?
Konvexní
Pravidelný mnohoúhelník
Konvexní mnohoúhelník který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní úhly shodné
Tupý úhel
Konvexní úhel který je větší než pravý ale menší než přímý
Ostrý úhel
Konvexní úhel větší než nulový a menší než pravý
Jaký kůže být středový úhel?
Konvexní, přímý (konvexní) a nekonvexní
Kosodélník
Kosoúhlý různostranný rovnoběžník
Kosočtverec
Kosoůhlý rovnostranný rovnoběžník
Soustředné kružnice
Kružnice se stejným středem
Příklady množiny bodů dané vlastnosti
Kružnice, osa úhlu, rovnoběžky, osa pásu, různoběžky, osa úhlu, soustředné kružnice, ekvigonála atd
Příklady středové souměrný útvaru
Kružnice, rovnoběžník, kruh
Uzavřená lomena čára
Lomenou čáru ABC ...Z nazveme uzavřena lomena čára jestliže platí A=Z
Co platí o pravidelném n-uhelníku?
Lze mu opsat i vepsat kružnice
Vnitřní úhel mnohoúhelníku
Mame-li konvexní mnohoúhelník s vrcholem A a X,Y jsou jeho sousední vrcholy, pak vnitřní úhel při úhlu A je průnik polorovin XAY a YAX
Mnohoúhelník
Mnohoúhelník ABC...Z je část roviny omezená uzavřenou lomenou čarou ABC...Z která sebe samu neprotíná
Čtyřúhelník
Mnohoúhelník se čtyřmi vrcholy a čtyřmi stranami
Vnitřní oblast kružnice
Množina bodu které mají od středu kružnice menší vzdálenost než poloměr kružnice
Vnější oblast kružnice
Množina bodu které mají od středu kružnice větší vzdálenost než poloměr kružnice
Kružnice
Množina bodu v rovině které mání od daného pevného bodu stejnou vzdálenost Danému bodu říkáme střed kružnice
Ekvigonála úsečky
Množina bodu ze kterých je danou úsečky AB vidět pod uhlem alfa
Osa souměrnosti
Množina samodružných bodů zobrazení
Jak se značí polorovina?
Musíme mít bod v dané polorovine (třeba M) a hraniční primku (třeba p) Poté se polorovina nazývá pM
Výšky v kosodelníku
Má dvě výšky které maji různou velikost
Výšky v kosoctvreci
Má dvě výšky které maji stejnou velikost
Orientovaná usecka
Má počáteční a koncový bod
Tečna kružnice
Má s kružnici jeden společný bod
Středový úhel kružnice
Máme kruznicovy oblouk se středem S a koncovými body A, B Středový úhel je úhel ABS ve kterém leží uvažováný kružnicový oblouk AB
Úsek přepony přilehlý k odvěsně
Máme pravoúhlý trojúhelník s pravým uhlem u vrcholu C. Vyznacime výšku na stranu c. Pak úsek od bodu B po patu výšky se nazvaná úsek prepony přilehlý k odvesně a Úsek od bodu A po patu výšky se nazývá úsek prepony přilehlý k odvesne b
Poměr úseček
Máme-li dvě úsečky PQ a RS, pak existuje klidné číslo k tak, že |PQ|=k•|RS| Číslo k pak nazýváme poměr úseček
Thaletova kružnice
Máme-li kružnici s vyznačením průměrem AB pak všechny trojůhelniky ABC kde C leží na kružnici k jsou pravoúhlé
Lomená čára
Mějme body A,B,C,... takové, ze žádné tři po sobě jdoucí body neleží na stejně přímce. Tyto body určují n úseček. Sjednocení těchto úseček nazýváme lomena čára A, B, C, ... jsou vrcholy Úsečky jsou strany
Kružnicový oblouk
Mějme body K, L které leží na kružnici Pak nám vzniknou dva půlkruhy KL a LK Body K, L nazýváme koncové body kružnicového oblouku
Obvodový úhel kružnice
Mějme různé body A, V, B ležící na kružnici A, B tvoří kružnicový oblouk Úhel AVB nazveme obvodový úhel příslušný oblouku AB, který v tomto úhlu leží
Co je to oblouková míra?
Měření úhlu v radiánech 1 radian = 180 stupňů
Vnitřní střed stejnolehlosti kruznic
Na polopřímce S1S2
Vnější střed stejnolehlosti
Na úsečce S1S2
Když máme n-uhelnik kde n je sudé, co leží naproti vrcholu a naproti straně?
Naproti vrcholu další vrchol Naproti straně další strana Nazýváme je dvojice protékající vrcholu a dvojice protější stran
Když máme n-uhelnik kde n je liché, co leží naproti vrcholu a naproti straně?
Naproti vrcholu letí protější strana Naproti straně letí protější vrchol
Úhlopříčky v kosodélníku
Navzájem se půlí
Vlastnosti úhlopříček v rovnoběžníku
Navzájem se půlí Jejich průsečík se nazývá střed rovnoběžníku
Úhlopříčky v kosočtverci
Navzájem se půlí a jsou na sebe kolmé
Existuje rovnostranný pravoúhlý trojúhelník?
Ne Všechny úhly v rovnostranném trojúhelníku musí mít 60 stupňů
Vnější přímka kružnice
Nemá s kružnici žádný společný bod
Co je to velikost úhlu?
Nezáporné číslo které dostaneme měřením úhlu
Typy čtyřúhelníků
Obecný Lichoběžnik Rovnoběžník
Eukleidova věta o odvěsně
Obsah obdélníku, jehož strany tvoří přepona pravoúhlého trojúhelníku ABC a úsek prepony přilehlý k odvesně, je roven obsahu čtverce sestrojeného nad touto odvěsnou
Eukleidova věta o výšce
Obsah obdélníku, jehož strany tvoří úseky přepony pravoúhlého trojúhelníku ABC, je roven obsahu čtverce sestrojeného nad výškou k předponě
Vlastnosti těznic
Od vrcholu 2 dílky Od středu strany 1 dílek Trojúhelníky oddělené těžnicí maji stejné obsahy
Rozbor
Odpovídáme na otázku proč? Premyslime nad vlastnostmi a vztahy
Nulová úsečka
Orientovaná úsečka kde počáteční bod splývá s jejím koncovým bodem
Jak se nazývá opticky jev, kdy vidíme koleje se protínat v dáli?
Perspektiva
Pohyb v zápornému smyslu
Po směru hodinových ručiček
Velikost orientovaného úhlu
Pokud je alfa základní velikost orientovaného úhlu Pak alfa + k • 360 je velikost orientovaného úhlu
Identita
Pokud je samodružný každý bod roviny
Příčka přímek
Pokud máme dvě rovnoběžky a přímku p různoběžnou s oběma přímkami pak p nazýváme příčku přímek Také říkáme ze rovnoběžné přímky jsou přeťaty přímkou p
Heronův vzorec
Pokud známe všechny strany trojúhelníku můžeme n výpočet obsahu využit tento vzorec S=(s•(s-a)•(s-b)•(s-c))^1/2, kde s=(a+b+c)/2
Pravidelný šestiúhelník
Poloměr kružnice opsané je roven velikosti strany r=a
Co je to osa úhlu?
Polopřímka, s počátkem ve vrcholu úhlu, která úhel rozdělí na dva shodné úhly
Ludolfovo číslo
Poměr délky libovolné kružnice a jejího průměru je konstantní Hodnota tohoto poměru je iracionální číslo které nazýváme ludolfovo
Obdélník
Pravidelný, různostranný rovnoběžník
Čtverec
Pravoúhlý rovnostranný rovnoběžník
Vzdálenost rovnoběžných přímek
Pro rovnoběžky a, b uvažujeme společnou kolmicí k a označíme její patu A na přímce a a B na přímce b. Vzdálenost rozvnobezek je rovna vzdálenosti bodu A a B
Kružnice opsaná trojúhelníku
Prochází všemi vrcholy Středem kružnice opsané je průsečík os stran trojúhelníku
Pohyb v kladném smyslu
Proti pohybu hodinových rucicek
Sinus
Protilehlá ku přeponě
Tangens
Protilehlá ku přilehlé
Pata kolmice
Průsečík kolmice s přímkou
Těžiště
Průsečík těžnic
Ortocentrum
Průsečík výšek v trojúhelníku
Zobrazení v rovině
Předpis který každému bodu X roviny přiřadí prave jeden bod Y téže roviny X je vzor Y je obraz
Nepřímá shodnost
Při pohybu od vzoru k obrazu jsme museli převrátit vzor
Přímá shodnost
Při pohybu od vzoru k obrazu nebyl vzor převrácený
Vnitřní úhly v rovnoramenném lichobězňíku
Při základně jsou shodné
Kotangens
Přilehlá ku protilehlé
Cosinus
Přilehlá ku přeponě
Definice poloroviny
Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich hranicí nebo též hraniční přímkou
Osa úsečky
Přímka, která prochází středem úsečky a je k ní kolmá
Základy v lichoběžniku
Rovnoběžné strany
Jaké můžou být rovnoramenné trojúhelníky?
Rovnoramenný a rovnostranný Ano je to tak
Typy rovnoběžníků
Rovnostranný - čtverec, kosočtverec Ruznostranny - obdélník, kosodélník Pravoúhlý - čtverec, obdélník Kosoůhlý - kosočtverec, kosodélník
Jaká muže být vzájemná poloha 2 přímek?
Různobězné Rovnoběžné Totožné
Kolmice
Různoběžky, jejichž odchylka je 90 stupňů
Ramena v lichoběžníku
Různoběžné protější strany
Obsah rovnostranného trojúhelníku
S=((3^(1/2))/4)•a^2
Obsah lichoběžníku
S=((a+c)•v)/2
Výpočet obsahu trojúhelníku pomoci sinu
S=(1/2) •b•c•sinalfa
Vztah pro výpočet obsahu trojúhelníku pomoci poloměru kružnice opsané
S=(a•b•c)/(4•r)
Vztah pro výpočet obsahu trojúhelníku pomoci poloměru kružnice vepsané
S=r•((a+b+c)/2)
Obvod pravidelného n-uhelníku
Se stranou délky a je roven součinu velikosti strany a počtu stran
Shodnost
Shodné zobrazení v rovině, které každé úsečce AB přiřadí úsečku A'B' shodnou s úsečkou AB
Množina bodů dané vlastnosti
Souhrn všech bodu X roviny pro které platí • každý bod této množiny má danou vlastnost • každý bod, který má danou vlastnost, patří do této množiny
Totožné kružnice
Soustředné kružnice se stejným poloměrem
Obvod trojúhelníku
Součet velikosti jeho stran
Jaká muže být vzájemná poloha dvou bodu?
Splývají (jsou totožné) Jsou různé
Střední příčka lichoběžníku
Spojnice středů ramen
Obvodový vs středový úhel
Středový je 2x obvodový
Hlavní úhlopříčka deltoidu
Ta která je osou obou vnitřních úhlu u vrcholu z nich vychází Ta druhá se nazývá vedlejší Hlavní úhlopříčka prochází středem vedlejší úhlopříčky
Osově souměrný útvar
Takový útvar, který je v osové souměrnosti podle osy o samodružný
Shodnost trojúhelníků
Trojúhelníky jsou shodné jestliže přemístěním jednoho na druhý oba trojúhelníky splynou Trojúhelníky jsou shodné jestliže se shodují - sss, sus, usu, ssu
Co všechno splývá v rovnostranném trojúhelníku?
Těžnice, výšky, osy stran, osy úhlů Těžiště, ortocentrum, střed kružnice vepsané i opsané
Trojúhelník
Tři různé body v rovině, které neleží na jedné přímce určují trojúhelník ABC Je průnikem 3 polorovin
Středná kružnic k1 a k2
Usecka S1S2, taková ze S1 se nerovná S2
Trojúhelníková nerovnost
V trojúhelníku je vždy součet dvou stran větší než poslední třetí strana
Obsah trojúhelníku
Velikost jedné strany násobíme velikostí příslušné výšky a dělíme dvěma
Odchylka různoběžek p, q
Velikost každého z ostrých úhlů nebo pravých úhlu jimi sevřených
Velikost úsečky
Velikost úsečky AB je rovna vzdálenosti jejich krajních bodů A a B
Vzdálenost bodu od přímky
Vzdálenost bodu k patě na přímce
Konvexní mnohoúhelník
Všechny úsečky spojující dva různě vrcholy mnohoúhelníku patří do tohoto útvaru
Výška trojúhelníku
Z vrcholu spustíme kolmici na protější stranu
Stejnolehlost (homotetie)
Zobrazeni v rovině dané bodem S a číslem k (nenulové) které bodu S přiřadí bod S a každému bodu P přiřadí bod P' takto: |SP'|=|k| • |SP| Pro kladné k leží bod P' na polopřímce SP Pro k záporné leží bod P' na polopřímce opačné k přímce SP
Otočení (rotace)
Zobrazení v rovině určené bodem S a orientovaným uhlem o velikosti alfa
Středová souměrnost
Zobrazení v rovině určené bodem S které: Bodu S přiřazuje bod S Každému bodu P přiřazuje bod P' tak, ze přímka PP' prochází středem
Posunutí (translace)
Zobrazení v rovině určené orientovanou úsečkou KL které každému bodu P přiřadí bod P' tak, ze orientované úsečky PP' a KL jsou shodně orientované a mají stejnou velikost
Osová souměrnost
Zobrazení v rovině určené přímkou o které: Každému bodu Q přiřazuje bod Q'
Podobné zobrazení
Zobrazení v rovině, které každé úsečce AB přiřadí úsečku A'B' s vlastností: |A'B'|=k • |AB|
Zvětšení, zmenšení, shodnost
k>1, k<1, k=1
Delka střední příčky lichoběžníku
s=(a+c)/2
Pravý úhel
Úhel který je shodný se svým vedlejším uhlem Všechny pravé úhly jsou shodné
Definice orientovaného úhlu
Úhel u kterého víme velikost i pořadí ramen
Orientovaný úhel
Úhel, pro který rozlišujeme počáteční a koncové rameno AVB VA je počáteční VB je koncové
Konstrukční úloha
Úloha v již máme sestrojit či zkonstruovat geometricky útvar vyhovující zadaným podmínkám
Kruhová úseč
Úsek na který rozdělí tětiva kružnici
Definice úsečky
Úsečka MN je průnikem polopřímky MN s polopřímkou NM. Body M, N nazýváme krajní body úsečky, ostatní body nazýváme vnitřní body úsečky
Těžnice
Úsečka mezi vrcholem a středem protější strany
Tětiva kružnice
Úsečka spojující dva body na kružnici
Střední příčka trojúhelníku
Úsečka spojující středy sousedních stran trojúhelníku
Nepolohová úloha
Útvar je zadán jen svými metrickými vlastnostmi
Samodružný útvar
Útvar v rovině který se při zobrazení zobrazí sám na sebe
Středové souměrný útvar
Útvar, který je ve středové souměrnosti se středem S samodružný.
Deltoid
Čtyřúhelník který má dvě dvojice sousedních stejně dlouhých stran
Lichoběžník
Čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a dvě protější strany různobězné
Kruh
Část roviny omezena kružnici Kružnice je hranice kruhu
Mezikruží
Část roviny vymezena dvěma různými soustřednými kružnicemi
Koeficient stejnolehlosti
Číslo k pro ktere platí |SP'|=|k| • |SP|
Poměr podobnosti a jeho vlastnosti
Číslo k pro které platí |A'B'|=k • |AB| Jeli k>1 jde o zvětšení k<1 jde o zmenšení k=1 jde o shodnost
Podobnost trojúhelníků, poměr podobnosti, věty
Řekneme, ze trojůhelniky jsou podobné, jestliže existuje číslo k tak, že |KL|=k•|AB|, |LM|=k•|BC|, |KM|=k•|AC|. Číslo k se pak nazývá poměr podobnosti Věta uu, sus, ssu
Shodně orientované úsečky
• Jsou rovnoběžné, různé a koncové body B a D leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC • přímky AB a CD splývají a jedna je části druhé