Limes funkcije

Uslov jednakosti lijevog i desnog limesa

Teorem 4 Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka postoji realna vrijednost δ > 0 tako da je a ∈ R taˇcka gomilanja skupova (a−δ,a)∩D i (a,a+δ)∩D. Limes funkcije f kada x→a postoji ako i samo ako postoji i lijevi i desni limes funkcije f u taˇcki a i jednaki su. Tada vrijedi lim x→a f (x) = lim x↗a f (x) = lim x↘a f (x).

Osnovni teoremi teorije limesa funkcije

Teorem 5 Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D. Tada može postojati samo jedan lim x→a f (x). Teorem 6 Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D i vrijedi lim x→a f (x) = A. Tada je lim x→a | f (x)| = |A|. Teorem 7 Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f . Neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D i neka postoji konaˇcan lim x→a f (x) = A. Tada postoji okolina U(a) taˇcke a takve da je funkcija f ograniˇcena na skupu D∩U(a). Teorem 8 Neka su funkcije f i g definisane na skupu D i neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D. Ako vrijedi i) f (x) ≤ g(x) za sve x ∈ D, ii) postoje lim x→a f (x) i lim x→a g(x), onda je lim x→a f (x) ≤ lim x→a g(x). Teorem uklještenja Teorem 9 (Teorem uklještenja) Neka su na skupu D ⊆ R definisane funkcije f , g i h i neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D. Ako vrijedi i) f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) za sve x ∈ D, ii) postoje lim x→a f (x) i lim x→a g(x), iii) lim x→a f (x) = lim x→a g(x), onda postoji i lim x→a h(x) i vrijedi lim x→a h(x) = lim x→a f (x) = lim x→a g(x).

Koje su vrste neodredjenog limesa?

U sluˇcaju kada su funkcije f i g definisane u nekoj okolini U taˇcke a ∈ R i pri tome obje teže nuli ili ±∞ kada x→a limes lim x→a f (x) g(x) . nazivamo neodred¯enim limesom ili izrazom " 0 0 " ili "∞ ∞". Pored koliˇcnika, neodred ¯eni su još i sljedec´i izrazi 0·∞, ∞−∞, 1∞, ∞0, 00.

Horizontalna asimptota(kada postoji)

Ukoliko je limes funkcije u beskonaˇcnoj taˇcki gomilanja konaˇcan, onda postoji horizontalna asimptota grafika funkcije. Definicija 2.12 Prava y = n je lijeva horizontalna asimptota grafika funkcije y = f (x) ako vrijedi lim x→−∞ f (x) = n. Prava y = n je desna horizontalna asimptota grafika funkcije y = f (x) ako vrijedi lim x→+∞ f (x) = n. Ako je prava y = n i desna i lijeva horizontalna asimptota grafika funkcije y = f (x), tj. ako vrijedi lim x→−∞ f (x) = lim x→+∞ f (x) = n, kažemo da je ona obostrana horizontalna asimptota funkcije f .

Def. tacke gomilanja

Definicija 2.1 Neka je dat skup S ⊆ R i neka je a ∈ R bilo koja taˇcka koja može a i ne mora pripadati skupu S. Za taˇcku a kažemo da je taˇcka gomilanja skupa S ako svaka okolina taˇcke a sadrži bar jednu taˇcku iz S koja je razliˇcita od a. Teorem 3 Taˇcka a ∈ R je taˇcka gomilanja skupa S ako i samo ako svaka okolina taˇcke a sadrži beskonaˇcno mnogo elemenata iz S.

Objasniti vertikalnu asimptotu (kada postoji)

Definicija 2.11 Pravu x = a je lijeva vertikalna asimptota grafika funkcije y = f (x) ako vrijedi lim x↗a f (x) = ±∞. Pravu x = a je desna vertikalna asimptota grafika funkcije y = f (x) ako vrijedi lim x↘a f (x) = ±∞. Ako je a i desna i lijeva taˇcka gomilanja domene funkcije i prava x = a i desna i lijeva asimptota grafika funkcije f , onda kažemo da je prava x = a obostrana vertikalna asimptota funkcije f u taˇcki a. Vertikalne asimptote funkcije tražimo u krajnjim taˇckama otvorenih intervala domena.

Kosa asimptota(kada postoji)

Definicija 2.13 Prava y = kx+ n je lijeva kosa asimptota grafika funkcije y = f (x) ako vrijedi lim x→−∞ ( f (x)−(kx+n)) = 0. Prava y = ax+b je desna kosa asimptota grafika funkcije y = f (x) ako vrijedi lim x→+∞ ( f (x)−(kx+n)) = 0.

Heinova def. limesa

Definicija 2.14 Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D. Realan broj A je limes ili graniˇcna vrijednost funkcije f u a ako za svaki niz taˇcaka (xn)n∈N iz D, xn ̸= a, takav da je lim n→∞ xn = a vrijedi lim n→∞ f (xn) = A.

Def. beskonacno malih velicina

Definicija 2.15 Kažemo da je f , f :⊆ R→R, beskonaˇcno mala veliˇcina kada x→a ili da je f beskonaˇcno mala kada x→a ako vrijedi f (x)→0 kada x→a.

Def. beskonacno velike velicine

Definicija 2.18 Za funkciju f kažemo da je beskonaˇcno velika kada x → a ako vrijedi | f (x)|→+∞ kada x→a.

Kosijeva definicija limesa

Definicija 2.2 Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D. Kažemo da je broj A ∈ R limes ili graniˇcna vrijednost funkcije f kada x teži ka a i pišemo lim x→a f (x) = A ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 koji zavisi od ε, tj. δ = δ(ε), i takav je da vrijedi |x−a| < δ =⇒ | f (x)− A| < ε, x ̸= a, x ∈ D.

Def. limesa pomocu pojma okoline

Definicija 2.3 Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D. Kažemo da je broj A limes funkcije f kada x teži ka a, lim x→a f (x) = A, ako za svako ε > 0 postoji okolina ◦ U(a) taˇcke a takva da vrijedi f µ ◦ U(a)∩D ¶ ⊆ (A−ε, A+ε). Umjesto ε-okoline u prethodnoj definiciji možemo posmatrati bilo koju okolinu taˇcke A i oznaˇciti je sa V (A).

Beskonaˇcni limes u beskonaˇcnim taˇckama gomilanja domene

Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je +∞ taˇcka gomilanja skupa D. Kažemo da f teži ka +∞ kada x→+∞ i pišemo lim x→+∞ f (x) = +∞ ako za svako L > 0 postoji M(L) > 0 takav da vrijedi x >M =⇒ f (x) > L, x ∈ D. Kažemo da f teži ka −∞ kada x→+∞ i pišemo lim x→+∞ f (x) = −∞ ako za svako L > 0 postoji M(L) > 0 takav da vrijedi x >M =⇒ f (x) < −L, x ∈ D. Definicija 2.8 Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je −∞ taˇcka gomilanja skupa D. Kažemo da f teži ka +∞ kada x→−∞ i pišemo lim x→−∞ f (x) = +∞ ako za svako L > 0 postoji M(L) > 0 takav da vrijedi x < −M =⇒ f (x) > L, x ∈ D. Kažemo da f teži ka −∞ kada x→−∞ i pišemo lim x→−∞ f (x) = −∞ ako za svako L > 0 postoji M(L) > 0 takav da vrijedi x < −M =⇒ f (x) < −L, x ∈ D.

Konaˇcni limes u beskonaˇcnim taˇckama gomilanja domene

Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je +∞ taˇcka gomilanja skupa D. Kažemo da je broj A ∈ R limes funkcije f kada x→+∞ i pišemo lim x→+∞ f (x) = A ako za svako ε > 0 postoji M(ε) > 0 takav da vrijedi x >M =⇒ | f (x)− A| < ε, x ∈ D. Slika 2.6: Konaˇcni limes A funkcije f u beskonaˇcnoj taˇcki gomilanja −∞ ako za svako ε > 0 postoji M(ε) > 0 takav da vrijedi x < −M =⇒ | f (x)− A| < ε, x ∈ D.

Beskonaˇcni limes u konaˇcnim taˇckama gomilanja domene

Neka je na skupu D ⊆ R definisana funkcija f i neka je a ∈ R taˇcka gomilanja skupa D. Kažemo da f teži ka +∞ kada x→a i pišemo lim x→a f (x) = +∞ ako za svako L > 0 postoji δ(L) > 0 takav da vrijedi |x−a| < δ =⇒ f (x) > L, x ̸= a, x ∈ D. 69 Kažemo da f teži ka −∞ kada x→a i pišemo lim x→a f (x) = −∞ ako za svako L > 0 postoji δ(L) > 0 takav da vrijedi |x−a| < δ =⇒ f (x) < −L, x ̸= a, x ∈ D.