алгебра(колоквіум)

9. Правильні, неправильні, скоротні та нескоротні алгебраїчні дроби.

Алгебраїчна дріб - це вираз, який складається з поліномів (многочленів) у чисельнику та знаменнику, розділених знаком ділення. Алгебраїчні дроби можуть бути правильні, неправильні, скоротні та нескоротні. Правильні дроби - це алгебраїчні дроби, у яких степінь многочлену у чисельнику менший за степінь многочлену у знаменнику. Наприклад: (3x + 1)/(2x^2 + 5x + 3). Неправильні дроби - це алгебраїчні дроби, у яких степінь многочлену у чисельнику більший або дорівнює степеню многочлену у знаменнику. Наприклад: (3x^2 + 1)/(2x + 5). Скоротні дроби - це алгебраїчні дроби, у яких чисельник та знаменник мають спільний множник, який можна скоротити. Наприклад: (3x + 6)/(2x + 4) можна скоротити на 3 і отримати (x + 2)/(x + 2) = 1. Нескоротні дроби - це алгебраїчні дроби, у яких чисельник та знаменник не мають спільного множника, який можна скоротити. Наприклад: (3x^2 + 1)/(2x + 5) є нескоротною дробом.

8. Алгебраїчні дроби (дробово-раціональні функції). Дії над ними. Властивості цих дій.

Алгебраїчним дробом над полем P називається функція вигляду F(x)=f(x)/g(x),де f(x),g(x)є P[x]--- деякі многочлени з коефіцієнтами із поля P, причому g(x) не дорівнює 0(x)

3. Ділення многочленів. Теорема про ділення многочленів з остачею.

Дільником многочлена - називається ненульовий многочлен d(x)єP[x]; f(x)P[x] f(x)ділиться без остачі d(x)

5. Дільники многочлена. Спільні дільники двох многочленів. Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда. Зауваження про НСД кількох многочленів.

Дільником многочлена f(x) називається многочлен g(x), якщо існує многочлен q(x), такий що f(x) = g(x)q(x). Іншими словами, многочлен g(x) ділиться націло на многочлен f(x). Два многочлени f(x) і g(x) називаються мають спільний дільник, якщо існує многочлен h(x), такий що f(x) і g(x) діляться націло на h(x). Найбільший спільний дільник (НСД) двох многочленів f(x) і g(x) - це найбільший за ступенем многочлен h(x), який є спільним дільником f(x) і g(x). НСД може бути знайдений за допомогою алгоритму Евкліда для многочленів. Його суть полягає в послідовному діленні многочленів, доки не буде отриманий многочлен з нульовим коефіцієнтом. За цей час останній ненульовий многочлен є НСД f(x) і g(x). Алгоритм Евкліда для многочленів може бути використаний для знаходження НСД кількох многочленів. Зокрема, НСД кількох многочленів може бути знайдений як НСД першого многочлена і НСД решти многочленів. Таким чином, алгоритм Евкліда може бути застосований послідовно до кожної пари многочленів для знаходження НСД кількох многочленів. Якщо кількість многочленів досить велика, то можуть виникнути проблеми з визначенням НСД за допомогою алгоритму Евкліда через велику кількість операцій ділення. В цьому випадку можуть бути використані інші методи, такі як метод знаходження НСД через коефіцієнти многочленів, який базується на теорії ділення з остачею.

19.Означення та формули для обчислення верхньої та нижньої меж додатних і верхньої та нижньої меж від'ємних коренів многочлена від однієї змінної.

Межі додатних коренів многочлена від однієї змінної: Верхня межа додатніх коренів: це найбільше додатнє число, для якого значення многочлена від'ємне. Інакше кажучи, це найбільший додатний корінь рівняння f(x) = 0, де f(x) - заданий многочлен. Нижня межа додатніх коренів: це найменше додатнє число, для якого значення многочлена додатнє. Інакше кажучи, це найменший додатний корінь рівняння f(x) = 0. Межі від'ємних коренів многочлена від однієї змінної: Верхня межа від'ємних коренів: це найбільше від'ємне число, для якого значення многочлена додатнє. Інакше кажучи, це найбільший від'ємний корінь рівняння f(x) = 0. Нижня межа від'ємних коренів: це найменше від'ємне число, для якого значення многочлена від'ємне. Інакше кажучи, це найменший від'ємний корінь рівняння f(x) = 0. Формули для обчислення меж коренів многочлена можуть бути складними і залежать від структури многочлена. Однак, якщо многочлен заданий у вигляді коефіцієнтів, можна використати метод дискримінантів для знаходження коренів і обчислення меж. Зокрема, якщо многочлен має сталу першу коефіцієнт, то межі коренів можна обчислити з використанням тільки останніх коефіцієнтів. Наприклад, для квадратного многочлена ax^2 + bx + c межі коренів можна обчислити за формулами: Верхня межа додатніх коренів: -b/a

7. Звідні та незвідні многочлени над полем. Звідність поліномів: над полем раціо нальних чисел; над полем комплексних чисел.

Многочлен над полем - це многочлен, кожен коефіцієнт якого належить до даного поля. Наприклад, многочлен 2x^2 + 3x - 1 є многочленом над полем раціональних чисел Q, тому що кожен коефіцієнт (2, 3, -1) є раціональним числом. Многочлен називається звідним над певним полем, якщо він може бути розкладений на множники з коефіцієнтами з цього поля. Наприклад, многочлен x^2 - 2 називається звідним над полем раціональних чисел, оскільки може бути розкладений на множники (x - √2)(x + √2) з раціональними коефіцієнтами. З іншого боку, многочлен називається незвідним над певним полем, якщо він не може бути розкладений на множники з коефіцієнтами з цього поля. Наприклад, многочлен x^2 + 1 є незвідним над полем раціональних чисел, оскільки не має розв'язків в Q, але звідний над полем комплексних чисел C, оскільки може бути розкладений на множники (x + i)(x - i) з комплексними коефіцієнтами. Отже, звідність многочленів залежить від властивостей певного поля. Наприклад, над полем комплексних чисел будь-який многочлен може бути розкладений на множники, тому що кожне комплексне число можна представити у вигляді добутку двох комплексних чисел з одиничною модулем. Однак, над полем раціональних чисел не кожен многочлен може бути розкладений на множники з раціональними коефіцієнтами.

2. Многочлени від однієї змінної. Додавання, віднімання та множення многочленів. Властивості цих дій.

Многочлени від однієї змінної - це вирази, що складаються зі змінної (наприклад, x) та констант (чисел), з'єднаних операціями додавання, віднімання та множення. Наприклад, 3x^2 + 2x - 1 - це многочлен. Додавання многочленів полягає в додаванні коефіцієнтів многочленів з однаковими степенями змінної. Наприклад, (3x^2 + 2x - 1) + (2x^2 - 3x + 4) = 5x^2 - x + 3. Віднімання многочленів можна розглядати як додавання многочлена та його оберненого елемента (тобто многочлена, кожний коефіцієнт якого протилежний відповідному коефіцієнту першого многочлена). Наприклад, (3x^2 + 2x - 1) - (2x^2 - 3x + 4) = x^2 + 5x - 5. Множення многочленів полягає в множенні кожного коефіцієнту одного многочлена на кожний коефіцієнт іншого многочлена та складанні отриманих добутків за степенями змінної. Наприклад, (3x^2 + 2x - 1) * (2x^2 - 3x + 4) = 6x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 17x + 4. Для многочленів виконуються наступні властивості додавання та множення: комутативність: порядок доданків чи множників не впливає на результат дії (наприклад, a + b = b + a); асоціативність: порядок застосування операції не впливає на результат дії (наприклад, (a + b) + c = a + (b + c)); дистрибутивність множення відносно додавання: a * (b + c) = a * b + a * c;

6. Найменше спільне кратне двох многочленів. Зауваження про НСК кількох много членів.

Найменше спільне кратне (НСК) двох многочленів - це найменший многочлен, який ділиться на обидва многочлени без остачі. Щоб знайти НСК двох многочленів, треба спочатку розкласти кожен многочлен на множники, а потім взяти максимальну ступінь кожного множника і зберегти кожен множник з максимальною ступенем. Далі потрібно перемножити збережені множники, щоб отримати НСК. Наприклад, для многочленів 4x^3 - 12x^2 + 8x і 6x^2 - 18x + 12, спочатку їх розкладають на множники: 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x-1)(x-2) 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2) Далі взяти максимальну ступінь кожного множника: 4x: ступінь 1 (x-1): ступінь 1 (x-2): ступінь 1 6: ступінь 0 Тому НСК цих двох многочленів буде дорівнює 4x(x-1)(x-2)(6) = 24x(x-1)(x-2). Зауваження про НСК кількох многочленів: НСК кількох многочленів - це найменший многочлен, який ділиться на всі ці многочлени без остачі. Якщо треба знайти НСК кількох многочленів, то слід взяти максимальну ступінь кожного множника, що зустрічається в розкладі кожного з цих многочленів, і зберегти кожен множник з максимальною ступенем. Потім перемножити збережені множники, щоб отримати НСК. Наприклад, якщо треба знайти НСК многочленів x^2 - 4, x^2 - 1, і x - 2, то спочатку їх розкладають на множники: x^2 - 4 = (x+2)(x-2) x^2 - 1 = (x+1)(x-1) x - 2 = (x-2) Далі взяти максимальну ступі

4. Подільність многочленів. Властивості подільності.

Подільність многочленів відбувається за допомогою операції ділення многочленів. Кажуть, що многочлен f(x) ділиться на многочлен g(x) (або g(x) є дільником f(x)), якщо існує многочлен q(x), такий що f(x) = g(x)q(x). В цьому випадку ми кажемо, що g(x) є фактором многочлена f(x). Властивості подільності многочленів: Рефлексивність: будь-який многочлен ділиться на себе, тобто f(x) ділиться на f(x). Симетричність: якщо f(x) ділиться на g(x), то g(x) ділиться на f(x). Транзитивність: якщо f(x) ділиться на g(x) і g(x) ділиться на h(x), то f(x) ділиться на h(x). Існування і єдиності частки та залишку: для будь-яких многочленів f(x) та g(x), де g(x) не є нульовим многочленом, існують єдині многочлени q(x) та r(x), такі що f(x) = g(x)q(x) + r(x), де степінь r(x) менше степеня g(x). Лінійність: якщо f(x) ділиться на g(x) та h(x), то f(x) ділиться на суму g(x) та h(x), а також на будь-який многочлен, що є добутком g(x) та іншого многочлена. Перемноження: якщо f(x) ділиться на g(x) та g(x) ділиться на h(x), то f(x) ділиться на добуток g(x) та h(x). Перенесення: якщо f(x) ділиться на g(x), то f(x + a) ділиться на g(x + a) для будь-якого числа a.

12.Схема Горнера та її застосування: до знаходження значення многочлена та його похідних в точці, до розкладу многочлена за степенями (x-a); до встановлення кратності кореня.

При розв'язуванні рівнянь з цілими коефіцієнтами часто використовують схему Горнера. Схема Горнера - це спосіб ділення многочлена n-го степеня на a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an лінійний двочлен х-а, яка дозволяє знаходити коефіцієнти многочлена (n - 1) степеня. У частці отримуємо многочлен (n -1) степеня і остачу . Якщо остача bn=0, то число є коренем многочлена. Cхема Горнера дає змогу швидко обчислити коефіцієнти неповної частки й остачу, записується у вигляді таблиці: а0 а1 а2... аn α а0 αа0 + а1=b1 αb1+а2=b2 abn-1+аn=bn Використання схеми Горнера дає можливість послідовно знижувати степінь многочлена, що стоїть у лівій частині алгебраїчного рівняння. У результаті будь-який многочлен, степінь якого більше 1, розкладається на добуток лінійних двочленів і квадратних тричленів з дійсними коефіцієнтами та від'ємними дискримінантами.

10.Прості дроби 1-го та 2-го типу. Основна теорема про алгебраїчні дроби.

Прості дроби - це дроби, у яких чисельник є константою або лінійною функцією, а знаменник - лінійною функцією. Прості дроби першого типу мають знаменник у вигляді (ax + b), де a і b - константи, тоді дріб може бути записаний як A/(ax + b), де A - також константа. Прості дроби другого типу мають знаменник у вигляді (ax^2 + bx + c), де a, b і c - константи, і корені знаменника є різними, тоді дріб може бути записаний як (Ax + B)/(ax^2 + bx + c), де A і B - константи. Основна теорема про алгебраїчні дроби стверджує, що кожен раціональний дріб може бути представлений у вигляді суми простих дробів. Для знаходження коефіцієнтів у таких розкладах можна скористатися методом не визначених коефіцієнтів або методом часткових дробів.

11.Корінь многочлена. Теорема Безу. Кратні корені.

Теорема Безу: Для довільного числа с є P остача при діленні многочлена f(х) є P[х] на лінійний двочлен (х-с) дорівнює (с) цього многочлена х=с

1. Числові кільця та поля ‒‒ означення, властивості, приклади.

Числовим кільцем- називається непорожня множина чисел К, якщо вона замкнена відносно додавання, віднімання, множення; для довільних а,b є К : 1) (a+b) є K; 2)(a-b) є K; 3)(a*b) є K; Закон комутативності: a + b = b + a та a • b = b • a для будь-яких a, b ∈ R. Закон асоціативності: (a + b) + c = a + (b + c) та (a • b) • c = a • (b • c) Існування нейтрального елементу: існують такі елементи 0 і 1, що a + 0 = a та a • 1 = a для будь-якого a ∈ R. Існування протилежного елементу: для будь-якого елемента a ∈ R існує протилежний елемент -a, такий, що a + (-a) = 0. Дистрибутивність: a • (b + c) = (a • b) + (a • c) та (a + b) • c = (a • c) + (b • c) для будь-яких a, b, c ∈ R.; Числовим поле-називають числове кільцем P , яке містить хоча б одне відмінне від нуля число : 1) (a+b) є P; 2)(a-b) є P; 3)(a*b) є P ; 4)(a/b)є P,b не дорівнює 0