Matura MAT VR Prilagojena

1. IZJAVNI RAČUN 1.1 Kaj je izjava? 1.2 Kaj je negacija dane izjave? Kdaj je negacija pravilna (resnična) in kdaj nepravilna (neresnična)? 1.3 Kaj je konjunkcija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za konjunkcijo. 1.4 Kaj je disjunkcija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za disjunkcijo.

1.1 ∙ Izjava je smiselna poved, za katero lahko določimo, ali je pravilna ali nepravilna. 1.2 ∙ Negacija dane izjave, je izjava, ki zanika dano izjavo. ∙ Je pravilna, če je dana izjava nepravilna in nepravilna, če je dana izjava pravilna. 1.3 ∙ Konjukcija izjav A in B je izjava, ki je pravilna, samo kadar sta pravilni obe delni izjavi (A ∧ B). 1.4 ∙ Disjunkcija izjav A in B je izjava, ki je pravilna, samo kadar je pravilna vsaj ena od delnih izjav (A v B).

10. DELJENJE NARAVNIH ŠTEVIL 10.1 Povejte osnovni izrek o deljenju naravnih števil. 10.2 Koliko je ostanek pri deljenju naravnega števila n z naravnim številom m, če je število n večkratnik števila m? 10.3 Izberite naravno število med 5 in 10 ter naštejte elemente množice vseh ostankov pri deljenju z izbranim naravnim številom.

10.1 ∙ a = kb + r; 0 ≤ r < b, k ∈ ℕ 10.2 Ostanek je 0 10.3 ∙ a ∈ ℕ ∙ r = {0, 1, ... , a - 1}

100. VERJETNOSTNI RAČUN 100.1 Definirajte vsoto in produkt dogodkov. 100.2 Kdaj sta dva dogodka nezdružljiva in kdaj združljiva? Kako izračunamo verjetnost vsote dveh združljivih dogodkov? 100.3 Kaj je nasprotni dogodek danega dogodka in kako izračunamo njegovo verjetnost? 100.4 Povejte primer dveh nezdružljivih dogodkov in primer dogodka in njemu nasprotnega dogodka.

100.1 ∙ Vsota dogodkov A in B je nov dogodek, ki ga označimo z A ∪ B. Ta se zgodi, ko se zgodi vsaj eden od dogodkov A ali B, torej A ali B ali oba. Zapis A ∪ B preberemo A ali B. ∙ Produkt dogodkov A in B je nov dogodek, ki ga označimo A ∪ B. Ta dogodek se zgodi, ko se hkrati zgodita A in B. Zapis A ∩ B preberemo A in B. 100.2 ∙ Dogodek A je združljiv z dogodkom B natanko tedaj, ko se lahko zgodita hkrati. V nasprotnem primeru sta dogodka nezdružljiva. ∙ Verjetnost vsote nezdružljivih dogodkov je enaka vsoti verjetnosti posameznih dogodkov. 100.3 ∙ Nasprotni dogodek dogodka A je nov dogodek, ki ga označimo z A′. Zgodi se natanko tedaj, ko se A ne zgodi. Zapis A′ preberemo ne A. ∙ P(A') = 1 − P(A) 100.4 ∙ Poskus: Enkrat vržemo pošteno igralno kocko. ∙ NEZDRUŽLJIVA DOGODKA N: pade liho in sodo število pik ∙ NASPROTNI DOGODEK A: Kocka pokaže več kot 2 piki. A′: Kocka pokaže 1 ali 2.

11. KRITERIJI DELJIVOSTI 11.1 Za vsako izmed števil 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 navedite kriterij deljivosti s tem številom. 11.2 Izpeljite kriterij deljivosti s številom 2.

11.1 k = 2, če je zadnja števka števila deljiva z 2 k = 3, če je vsota vseh števk števila deljiva s 3 k = 4, če sta zadnji dve števki števila deljivi s 4 k = 5, če je zadnja števka enaka 0 ali 5 k = 6, če je število deljivo z 2 in s 3 k = 8, če sta zadnji dve števki števila deljivi z 8 k = 9, če je vsota vseh števk števila deljiva z 9 k = 10, če je zadnja števka 0 11.2 Imamo število z števkami: n = ...dcba n = ...1000d + 100c + 10b + d / 2 n / 2 = 500d + 50c + 5b + d/2 + r Odvisno je samo od zadnje števke.

12. ULOMKI IN RACIONALNA ŠTEVILA 12.1 Kaj je ulomek? Kdaj dva ulomka predstavljata isto racionalno število? 12.2 Kako je definirana relacija ≤ v množici Q? Opišite vsaj dve lastnosti te relacije. 12.3 Pokažite, da za poljubni racionalni števili p in q, kjer je p < q , obstaja tako racionalno število r, da je p < r < q.

12.1 ∙ Ulomek je izraz oblike a/b, kjer sta a in b celi števili in b ≠ 0. ∙ Dva ulomka predstavljata isto racionalo število, ko sta njuna okrajšana števca in imenovalca enaka. 12.2 Množica Q je urejena z relacijo manjše ali manjše ali enako (večje ali večje ali enako). ∙ Refleksivnost: a ≤ a ∙ Tranzitivnost: (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) ⇒ a ≤ c ∙ a ≤ b => a + c ≤ b + c ∙ (a ≤ b) ∧ (c > 0) => ac ≤ bc 12.3 a, b ∈ Q; a < b a < (a + b) / 2 < b (a + b) / 2 ∈ Q Dokaži da je a + b racionalen.

13. ULOMKI IN DECIMALNI ZAPIS 13.1 Kako iz decimalnega zapisa števila prepoznamo, da lahko to število zapišemo z ulomkom? Kako poljubnemu ulomku priredimo njegov decimalni zapis? Kako iz zapisa ulomka ugotovimo, ali ima končen decimalni zapis? 13.2 Podajte primer ulomka, ki ima končen decimalni zapis, in primer ulomka, ki ima neskončen decimalni zapis. 13.3 Podajte primer periodičnega decimalnega števila s periodo reda (dolžine) vsaj 2 in ga zapišite kot ulomek.

13.1 ∙ Če ima neskončen periodičen decimalni zapis ali če je njegov decimalni zapis končen. ∙ Tako da zdelimo števec in imenovalec. ∙ Če sta v prafaktorjih imenovalca okrajšanega ulomka samo 2 in 5. 13.2 ∙ Končen decimalni zapis: 1/2 ∙ Neskončen decimalni zapis: 1/3 13.3 ∙ 0,272727... , = 3/11

14. REALNA ŠTEVILA 14.1 Kdaj je realno število racionalno in kdaj iracionalno? Kako se razlikujeta njuna decimalna zapisa? 14.2 Naštejte vsaj tri primere racionalnih števil in vsaj tri primere iracionalnih števil. 14.3 Dokažite, da 2 ni racionalno število.

14.1 ∙ Realno število je racionalno natanko takrat, ko je njen decimalni zapis končen ali pa periodičen. ∙ Iracionálno števílo je vsako realno število, ki ga ni moč zapisati v obliki ulomka a/b, kjer sta a in b celi števili in b ≠ 0. 14.2 ∙ Racionalna števila 1/2, 2, 1/3 ∙ Iracionalna števila π, √2, e 14.3 Dokaz z kontradikcijo a/b = √2; D(a, b) = 1 a²/b² = 2 a² = 2b² a² je sodo število a = 2n; a² = 4n² 4n² = 2b² b² = 2n²; b je sodo D(a, b) ≠ 1

15. ABSOLUTNA VREDNOST 15.1 Definirajte absolutno vrednost realnega števila in razložite njen geometrijski pomen. 15.2 Naštejte vsaj štiri lastnosti absolutne vrednosti realnega števila. 15.3 Dokažite, da za poljubni realni števili x in y velja |x + y| ≤ |x| + |y|.

15.1 |a| = { a; a ≥ 0 −a; a < 0 ∙ Geometrijski pomen: Na številski premici je |a| oddaljenost točke a od izhodišča koordinatnega sistema. ∙ Razdalja med točkama a in b je enaka |b - a| 15.2 |a| ≥ 0 |a| = 0 ⇔ a = 0 |a| = |-a| |a / b| = |a| / |b| |a∙ b| = |a| ∙ |b| 15.3 0 ≤ |x| + |y| - |x + y| 3 primeri: - x in y sta pozitivna - x in y sta negativna - x in y imata različen predznak

16. KOMPLEKSNA ŠTEVILA * 16.1 Definirajte množico kompleksnih števil. Kako grafično upodobimo (predstavimo) kompleksna števila? 16.2 Definirajte seštevanje kompleksnih števil. 16.3 Navedite vsaj dve lastnosti seštevanja kompleksnih števil. 16.4 Kakšen geometrijski pomen ima seštevanje kompleksnih števil?

16.1 ∙ Množica kompleksnih števil je razširitev realnih števil, v kateri so lahko tudi negativni koreni. ∙ Kompleksno število zapisujemo v obliki z = a + bi, kjer je a realni del b pa imaginarni in i = √-1. ∙ Kompleksna števila lahko grafično upodobimo na kompleksni ravnini, kjer števili a in b predstavljata vektor. 16.2 ∙ Kompleksna števila seštevamo tako, da seštejemo realni del z realnim in imaginarni del z imaginarnim. 16.3 - komutativnost - asociativnost - z + (-z) = 0 16.4 ∙ Kompleksna števila se geometrijsko seštevajo po paralelogramskem pravilu.

17. MNOŽENJE KOMPLEKSNIH ŠTEVIL * 17.1 Definirajte operacijo množenja v množici C. 17.2 Opišite geometrijski pomen množenja kompleksnega števila z -1 in geometrijski pomen množenja kompleksnega števila z realnim številom. 17.3 Naštejte vsaj tri lastnosti množenja kompleksnih števil in vsaj eno od njih dokažite. 17.4 Naj bo n naravno število. Izračunajte i^n.

17.1 ∙ 2 kompleksni števili zmnožimo tako, da upoštevamo distributivnostni zakon (pomnožimo vsak člen prvega oklepaja z vsakim členom drugega oklepaja) in pravilo i^2 = −1. 17.2 ∙ Pri množenju z -1 vektor spremeni usmerjenost (kaže v nasprotno smer). Pri množenju z realnim številom, vektorju *a* priredimo tak vektor, da velja *a* = k×*a* (spremeni usmerjenost če množimo z negativnim številom) 17.3 - asociativnost - komutativnost - distributivnost 17.4 ∙ i^4n + 1 = i, ∙ i^4n + 2 = -1 ∙ i^4n + 3 = -i ∙ i^4n = 1

18. ABSOLUTNA VREDNOST KOMPLEKSNEGA ŠTEVILA 18.1 Definirajte absolutno vrednost kompleksnega števila in predstavite njen geometrijski pomen. 18.2 Naštejte vsaj dve lastnosti absolutne vrednosti kompleksnega števila in vsaj eno od njih dokažite. 18.3 Pojasnite absolutno vrednost kompleksnega števila z, če je Im(z) = 0 ali Re(z) = 0.

18.1 ∙ Absolutna vrednost kompleksnega števila nam pove oddaljenost števila z od koordinatnega izhodišča v kompleksni ravnini. ∙ Izračunamo jo kot koren produkta kompleksnega števila in konjugiranega števila tega števila. ∙ |z| = √(z*z) = √(a^2 + b^2) (* je oznaka za konjukcijo, ker pravilna ne obstaja v quizletu) 18.2 ∙ Naj bosta: z = a + bi, w = c + di ∙ |z| ≥ 0 ∙ |z| = 0 ⇔ 𝘻 = 0 ∙ |zw| = |z| ∙ |w| ∙ |z + w| ≤ |z| + |w| (trikotniška neenakost) 18.3 Izi

19. KONJUGIRANA VREDNOST KOMPLEKSNEGA ŠTEVILA 19.1 Definirajte konjugirano vrednost kompleksnega števila in razložite njen geometrijski pomen. 19.2 Naštejte vsaj tri lastnosti konjugiranja kompleksnih števil. 19.3 Dokažite, da je konjugirana vrednost vsote dveh kompleksnih števil enaka vsoti njunih konjugiranih vrednosti.

19.1 ∙ Kompleksnemu številu 𝘻 = 𝘢 + 𝘣𝘪 spremenimo predznak pred imaginarno komponento v nasprotnega. ∙ Geometrijski pomen: zrcaljenje čez realno os. 19.2 ∙ * je oznaka za konjukcijo, ker pravilna ne obstaja v quizletu ∙ **z = z ∙ *(z + w) = *z + *w ∙ *(zw) = *z ∙ *w 19.3 ∙ z = a + bi, w = c + di ∙ *(z + w) = a + c + - bi - di ∙ *𝘻 = a - bi, *w = c - di ∙ *z + *w = a + c + - bi - di

2. IZJAVNI RAČUN 2.1 Kaj je tavtologija? 2.2 Kaj je implikacija izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za implikacijo. 2.3 Kaj je ekvivalenca izjav? Napišite pravilnostno (resničnostno) tabelo za ekvivalenco. 2.4 Povejte primer dveh izjav in ugotovite pravilnost (resničnost) njune ekvivalence.

2.1 ∙ Tavtologija je sestavljena izjava, ki je vedno pravilna. 2.2 ∙ Implikacija izjav A in B je izjava, ki je pravilna, samo kadar je pravilno sklepanje, da iz A sledi B (torej kadar je izjava A nepravilna ali pa izjava B pravilna). 2.3 ∙ Ekvivalenca izjav A in B je izjava, ki je pravilna, samo kadar sta izjavi A in B po vrednosti enaki (obe hkrati pravilni ali obe hkrati napačni). 2.4 ∙ A: Število 1 je praštevilo. 1 ∙ B: Število 2 je liho. 0 ∙ A ⇔ B = 0

20. ENAČBE 20.1 Kaj je enačba in kaj je rešitev enačbe? Kdaj sta dve enačbi ekvivalentni (enakovredni)? 20.2 Opišite postopke, ki dano enačbo prevedejo v ekvivalentno enačbo. 20.3 Povejte primer enačbe, ki ni linearna, in jo rešite. 20.4 Povejte primer dveh enačb, ki nista ekvivalentni.

20.1 ∙ Enačba je zapis sestavljen iz dveh matematičnih izrazov, ki ju imenujemo leva in desna stran enačbe, in iz enačaja, ki stoji med njima. ∙ Rešitev enačbe je število, pri katerem je vrednost leve strani enačbe enaka kot vrednost desne strani. ∙ Dve enačbi sta enakovredni (ekvivalentni), če imata enaki množici rešitev. 20.2 ∙ Linearno enačbo z eno neznanko lahko preoblikujemo v ekvivalentno enačbo, če: ∙ levi in desni strani enačbe prištejemo ali odštejemo enako število ali člen, ∙ levo in desno stran enačbe množimo ali delimo z enakim številom, različnim od števila 0. 20.3 ∙ x^2 - 4 = 0 ⇒ (x - 2)(x + 2) ⇒ x1 = 2, x2 = -2 20.4 x = x + 1

21. POTENCE S CELIMI EKSPONENTI 21.1 Definirajte potenco z naravnim in potenco s celim eksponentom. 21.2 Naštejte vsaj tri pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti. 21.3 Dokažite vsaj dve izmed zgornjih pravil.

21.1 ∙ a^n, n ∈ ℕ ∙ a^n, n ∈ ℤ; n ≥ 0, a^n; n < 0, 1 => / a^n 21.2 ∙ a^n ∙ a^m = a^(n + m) ∙ (a^n)^m = a^(nm) ∙ (ab)^m = a^m ∙ b^m 21.3

22. KORENI 22.1 Za poljubno liho naravno število n in za poljubno realno število x definirajte n-ti koren števila x. 22.2 Za poljubno sodo naravno število n in za poljubno nenegativno realno število x definirajte n-ti koren števila x. 22.3 Povejte vsaj tri pravila za računanje s koreni in enega izmed njih dokažite.

22.1 ∙a = (n)√x ⇔ a^n = x x ∈ ℝ 22.2 ∙ a = (n)√x ⇔ x = a^n; n = 2m, m ∈ ℕ x ∈ ℝ_0+ 22.3 ∙ (n)√x ∙ (n)√𝘺 = (n)√(xy) ∙ (n)√x / (n)√y = (n)√(x/y) ∙ ((n)√x)^m = (n)√x^m

23. POTENCE Z RACIONALNIMI EKSPONENTI 23.1 Definirajte potenco s pozitivno osnovo in racionalnim eksponentom. 23.2 Povejte vsaj tri pravila za računanje s takimi potencami. 23.3 Dokažite vsaj eno izmed zgornjih pravil.

23.1 ∙ x ^ (m/n) = (n)√x^m 23.2 ∙ x ^ (m/n) ∙ x ^ (o/p) = x ^ (m/n + o/p) ∙ x ^ (m/n) / x ^ (o/p) = x ^ (m/n - o/p) ∙ (𝘹 ^ (m/n))^ (o/p) = x ^ (mo/np) 23.3

24. PREMICE 24.1 Definirajte vzporednost premic v ravnini. 24.2 Naštejte vse možne medsebojne lege dveh premic v ravnini. 24.3 Naštejte vsaj dve lastnosti relacije vzporednosti premic v ravnini. 24.4 Povejte aksiom o vzporednici.

24.1 ∙ 2 premici sta vzporedni v ravnini, če nimata nobene skupne točke, ali če se prekrivata. 24.2 ∙ Se sekata, sta vzporedni (ležita na isti ravnini), drugače mimobežni. 24.3 ∙ Refleksivnost: p || p ∙ Tranzitivnost: p || q ∧ q || r ⇒ p || r ∙ Simetričnost: p || q <=> q || p 24.4 ∙ Skozi poljubno točko T poteka točno ena vzporednica k dani premici p.

25. KOTI 25.1 Pojasnite pojme ničelni, pravi, iztegnjeni in polni kot. 25.2 Pojasnite pojme sosedna kota, sokota in sovršna kota. 25.3 Kdaj je dani kot oster in kdaj top? Največ koliko notranjih kotov poljubnega štirikotnika je lahko topih?

25.1 ∙ Ničelni kot - kraka sovpadata, notranjost je prazna množica. ∙ Pravi kot je kot, ki je skladen s svojim sokotom. ∙ Iztegnjeni kot - kraka tvorita premico ∙ Polni kot - kraka sovpadata, predstavlja celotno ravnino. 25.2 ∙ Sosednja kota imata skupen vrh in en krak. ∙ Sokota - njuna unija predstavlja iztegnjeni kot. ∙ Sovršna kota - sta skladna, imata skupen vrh. njuna kraka se dopolnjujeta v premico. 25.3 ∙ Oster: < 90° ∙ Top: 90° < 𝛼 < 180° ∙ 3

26. KOTI 26.1 Definirajte skladnost kotov. 26.2 Kaj velja za kota, ki imata paroma vzporedne krake? Narišite skice in razložite. 26.3 Kaj velja za kota, ki imata paroma pravokotne krake? Narišite skice in razložite. 26.4 Notranji kot BAD enakokrakega trapeza ABCD, meri α. Koliko merijo ostali notranji koti tega trapeza?

26.1 ∙ Koti, ki se natanko prekrivajo, so skladni koti. Uporabljamo znak za skladnost ≅. Dva kota sta skladna, če obstaja togi premik, ki preslika enega v drugega. 26.2 ∙ Kota s paroma vzporednima krakoma sta bodisi enaka (vrh je v kotu) bodisi suplementarna (vrh je izven kota). 26.3 ∙ Kota s paroma pravokotnima krakoma sta bodisi enaka bodisi suplementarna. 26.4 ∙ 𝛽 = 𝛼, ∙ 𝛾 = 𝛿 = 180° - 𝛼

27. TRIKOTNIK 27.1 Definirajte trikotnik. 27.2 Definirajte notranji in zunanji kot trikotnika. 27.3 Kolikšna je vsota notranjih kotov trikotnika? Trditev dokažite. 27.4 Kolikšna je vsota zunanjih kotov trikotnika? Trditev dokažite.

27.1 ∙ Trikotnik je geometrijski lik omejen z tremi daljicami. 27.2 ∙ Zunanji kot je sokot pripadajočega notranjega kota. Zunanji koti so konveksni. 27.3 ∙ 180° ∙ Osnovnici AB narišeš vzporednico skozi oglišče C. 27.4 ∙ 360° 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180° 180° - 𝛼 + 180° - 𝛽 + 180° - 𝛾 = = 360° + 180° - (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) = = 360°

28. ZNAMENITE TOČKE TRIKOTNIKA 28.1 Opišite konstrukcije simetrale daljice, simetrale kota in višine na stranico trikotnika. 28.2 Kako poiščemo središče trikotniku očrtanega kroga, središče trikotniku včrtanega kroga in višinsko točko trikotnika?

28.1 ∙ Ponovi v glavi, ker je res preveč za pisat. 28.2 ∙ Središče očrtanega kroga - presečišče simetral stranic. ∙ Središče včrtanega kroga - presečišče simetral kotov. ∙ Višinska točka - presečišče višin.

29. SKLADNOST LIKOV 29.1 Definirajte skladnost likov. 29.2 Povejte štiri izreke o skladnosti trikotnikov. 29.3 V paralelogramu narišemo obe diagonali. Koliko parov skladnih trikotnikov dobimo?

29.1 ∙ Lika sta skladna, če obstaja togi premik, ki enega preslika na drugega. 29.2 ∙ SSK - Trikotnika sta skladna, če imata skladni dve stranici in kot med njima. ∙ SKK - Trikotnika sta skladna, če imata skladno eno stranico in kota ob njej. ∙ SSS - Trikotnika sta skladna, če imata paroma skladne stranice. ∙ SsK - Trikotnika sta skladna, če imata skladni dve stranici in kot, ki je daljši od teh stranic nasproti. 29.3 2.

3. MNOŽICE 3.1 Kaj je prazna množica in kaj je univerzalna množica? 3.2 Kaj je razlika dveh množic? Kako označimo razliko dveh množic in kako jo grafično predstavimo? 3.3 Kaj je komplement množice? Kako označimo komplement in kako ga grafično predstavimo?

3.1 ∙ Prazna množica, je množica, ki ne vsebuje nobenega elementa. ∙ Univerzalna množica je množica vseh članov, ki jih opazujemo 3.2 ∙ Razlika dveh množic je množica, ki vsebuje vse elemente množice A, ki niso elementi iz množice B. ∙ Označimo jo z -, \. ∙ Grafično ga predstavimo z Vennovim diagramom. 3.3 ∙ V komplementu množice A so vsi elementi univerzalne množice, ki niso v množici A. ∙ Grafično ga predstavimo z Vennovim diagramom.

30. PODOBNOST LIKOV 30.1 Definirajte podobnost likov. 30.2 Povejte tri izreke o podobnosti trikotnikov. 30.3 V pravokotnem trikotniku narišemo višino na hipotenuzo. Koliko podobnih trikotnikov nastane? Dokažite Evklidov ali višinski izrek.

30.1 Dva trikotnika sta podobna, če se ujemata paroma v vseh treh kotih. Zapišemo z ~. 30.2 Dva trikotnika sta si podobna, če se ujemata: ∙ v dveh kotih ∙ v dveh razmerjih enakoležnih stranic ∙ v razmerju dveh stranic in vmesnem kotu ali ∙ v razmerju dveh stranic in kotu, ki leži večji stranici nasproti 30.3 Dobimo 3 podobne trikotnike. Dokaž višinski izrek v^2 = a1*b1. Z podobnostjo in razmerjem => v : a1 = b1 : v

31. PARALELOGRAM 31.1 Definirajte paralelogram. 31.2 Navedite lastnosti kotov in stranic paralelograma. 31.3 Navedite posebne vrste paralelogramov in opišite njihove lastnosti. 31.4 Dokažite, da se diagonali v rombu sekata pod pravim kotom.

31.1 ∙ Paralelogram je štirikotnik, ki ima 2 para vzporednih stranic. 31.2 ∙ Po dva nasprotna notranja kota sta skladna, po dva sosednja kota pa suplementarna. ∙ Nasprotni stranici sta vzporedni in enako dolgi. 31.3 ∙ Romb - paralelogram, ki ima vse 4 stranice enako dolge, diagonali se sekata pod pravim kotom. ∙ Pravokotnik - paralelogram, ki ima vse 4 notranje kote skladne. ∙ Kvadrat - paralelogram, ki ima vse 4 stranice in notranje kote skladne. 31.4 ∙ S skladnostjo kotov ali z vektorji in dot productom.

32. TRAPEZ 32.1 Definirajte trapez. 32.2 Navedite lastnosti kotov trapeza. 32.3 Kaj je srednjica trapeza in katere lastnosti ima? 32.4 Pri katerih trapezih sta diagonali enako dolgi? Naj bo S presečišče diagonal takšnega trapeza. Izrazite razmerje dolžin |AS| : |SC| z dolžinama osnovnic trapeza, kjer je AC ena izmed diagonal trapeza.

32.1 ∙ Trapez je štirikotnik z enim parom vzporednih stranic. Imenujemo ju osnovnici, drugi dve stranici pa kraka. 32.2 ∙ Vsota notranjih kotov je 360°. ∙ Notranja kota ob istem kraku sta suplementarna. 32.3 ∙ Srednjica trapeza je daljica, ki povezuje razpolovišči obeh krakov. Njena dolžina je enaka polovici vsote dolžin osnovnic trapeza. 32.4 ∙ Pri enakokrakih trapezih. |AS| : |SC| = a : c

33. PREMICE IN KROŽNICE 33.1 V kakšni medsebojni legi sta lahko premica in krožnica, ki ležita v isti ravnini? 33.2 Podrobno opišite konstrukcijo tangente na krožnico skozi dano točko zunaj krožnice.

33.1 ∙ Nimata skupnih točk. ∙ Imata 1 skupno točko. ∙ Imata 2 skupni točki. 33.2 ∙ Z ravnilom povežemo točki S in T. ∙ Konstruiramo razpolovišče daljice ST in ga označimo s točko A. ∙ V šestilo vzamemo polovično dolžino daljice ST. ∙ Šestilo zapičimo v točko A. ∙ S šestilom zarišemo krožnico. ∙ Presečišči krožnic označimo s točkama B in C. ∙ Z ravnilom narišemo premico skozi točki T in B in jo označimo s t. ∙ Z ravnilom narišemo premico skozi točki T in C in jo označimo z u.

34. SREDIŠČNI IN OBODNI KOT 34.1 Definirajte središčni in obodni kot v krogu. 34.2 V kakšni zvezi sta, če ležita nad istim lokom v krogu? 34.3 Povejte in dokažite Talesov izrek o kotu v polkrogu. 34.4 Kako uporabimo Talesov izrek pri konstrukciji pravokotnega trikotnika s podano hipotenuzo in višino na hipotenuzo?

34.1 ∙ Središčni kot - kot pod katerim vidimo krožni lok iz središča krožnice ∙ Naj točka C leži na krožnici, vendar ne na krožnem loku l = AB. Kot, ki ga oklepata tetivi CA in CB , tedaj imenujemo obodni kot nad krožnim lokom L. 34.2 ∙ Središčni kot je enak 2-kratniku obodnega kota. 34.3 ∙ Obodni kot nad premerom je pravi kot. ∙ Povežeš središče in vrh pa dokažš s koti 34.4 Vzporednizo na hipotenuzo z visino, presečišče z krožnico je vrh trikotnika.

35. SINUSNI IN KOSINUSNI IZREK 35.1 Povejte kosinusni izrek. Na primeru opišite njegovo uporabo. 35.2 Povejte sinusni izrek. Na primeru opišite njegovo uporabo. 35.3 Dokažite enega izmed zgornjih izrekov.

35.1 ∙ c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos𝛾 ∙ Imamo trikotnik s podano dolžino stranice 𝘢, podanim kotom 𝛾 ter s podano dolžino stranice 𝘣. Izračunajmo dolžino stranice 𝘤... 35.2 ∙ a / sin𝛼 = b / sin𝛽 = c / sin𝛾 ∙ Imamo trikotnik s podano dolžino stranice a, podanim kotom 𝛼 ter s podano dolžino stranice b. Izračunajmo kot 𝛽. ∙ 𝛽 = arcsin(b ∙ sin𝛼 / a) ; nato lahko izračunamo še kot 𝛾 in dolžino stranice c. 35.3 ∙ kosinusov izrek - vektorji in dot product ∙ sinusov izrek - narišeš višino in jo izraziš z a in sin𝛼 , potem pa še z b in sin𝛽.

36. PLOŠČINE LIKOV 36.1 Navedite formulo za izračun ploščine trikotnika. 36.2 Navedite formulo za izračun ploščine paralelograma. 36.3 Navedite formulo za izračun ploščine deltoida in jo dokažite. 36.4 Navedite formulo za izračun ploščine trapeza in jo dokažite.

36.1 ∙ S = av / 2 36.2 ∙ S = av = bv = absin(alfa) 36.3 ∙ S = ef / 2 36.4 ∙ S = v(a + c) / 2 Razdeliš na pravokotnik c * v in trikotnik (v * (a - c)) / 2.

37. PLOŠČINE LIKOV 37.1 Navedite formuli za izračun ploščine kvadrata in ploščine pravokotnika. 37.2 Navedite formulo za izračun ploščine romba in jo dokažite. 37.3 Izpeljite formulo za izračun višine enakostraničnega trikotnika. 37.4 Navedite formuli za izračun ploščine enakostraničnega in ploščine pravokotnega trikotnika.

37.1 ∙ Kvadrat: S = aa ∙ Pravokotnik: S = ab 37.2 ∙ S = ef / 2 37.3 ∙ Pitagorov izrek - v^2 = a^2 - (a/2)^2 ... 37.4 ∙ Enakostranični: (a^2 ∙ √3) / 4 ∙ Pravokotni: ab/2 (a in b sta kateti).

38. KROG * 38.1 Navedite formuli za izračun ploščine in obsega kroga. 38.2 Povejte in izpeljite formulo za izračun dolžine krožnega loka. 38.3 Povejte in izpeljite formulo za izračun ploščine krožnega izseka.

38.1 ∙ S = 𝜋r^2 ∙ o = 2𝜋r 38.2 ∙ l = 𝜋r(alfa) / 180° 38.3 ∙ S = 𝜋r^2(alfa) / 360°

39. PRIZMA 39.1 Definirajte prizmo. 39.2 Kdaj je prizma enakoroba. 39.3 Kdaj je prizma n-strana. 39.4 Kdaj je prizma pravilna. 39.5 Navedite formuli za izračun prostornine in površine pokončne prizme. 39.6 Izpeljite formulo za izračun prostornine pravilne enakorobe šeststrane prizme z robom a.

39.1 ∙ Prizma je oglato telo, omejeno s skladnima vzporednima večkotnikoma (osnovni ploskvi) in plaščem iz paralelogramov (stranske ploskve). 39.2 ∙ Prizma je enakoroba, če ima vse robove enako dolge. 39.3 ∙ Prizma je n-strana, če ima za osnovno ploskev n-kotnik. 39.4 ∙ Prizma je pravilna, če je pokončna in ima za osnovno ploskev pravilni večkotnik. 39.5 ∙ V = Sv ∙ P = 2S + pl (n ∙ av) 39.6 ∙ V = ((a^2 ∙ √3) / 4) ∙ a ∙ S = 3(a^2 ∙ √3) + 6a^2

4. MNOŽICE 4.1 Kdaj je množica A podmnožica množice B? 4.2 Kdaj sta dve množici enaki? 4.3 Kaj je presek dveh množic? Moč množice A je n, moč množice B pa m. Ocenite, kolikšna je lahko moč množice A ∩ B. 4.4 Kaj je unija dveh množic? Moč množice A je n, moč množice B pa m. Ocenite, kolikšna je lahko moč množice A ∪ B.

4.1 ∙ Kadar je vsak element množice A hkrati tudi element množice B. 4.2 ∙ Kadar obe vsebujeta enake elemente (A ⊆ B ∧ B ⊆ A). 4.3 ∙ Presek dveh množic je množica, ki vsebuje vse elemente, ki so v obeh množicah, v A in v B. Moč je lahko od 0 do moči najmanjše množice. 4.4 ∙ Unija dveh množic je množica, ki vsebuje vse elemente, ki so v množici A ali v množici B. ∙ m(A ∪ B) = m(A) + m(B) - m(A ∩ B)

40. VALJ 40.1 Definirajte pokončni valj. 40.2 Skicirajte mrežo valja. 40.3 Kaj je osni presek valja? 40.4 Navedite formuli za izračun površine in prostornine pokončnega valja. 40.5 Izrazite prostornino enakostraničnega valja s polmerom osnovne ploskve r.

40.1 ∙ Valj je okroglo telo, ki ga omejujejo skladna vzporedna kroga (osnovni ploskvi) in plašč, ki ga opiše zveznica dveh točk na robu krogov. Zveznica teh dveh točk je vzporedna zveznici središč obeh krogov. ∙ Valj je pokončen, če je njegova os pravokotna na osnovno ploskev. Valj je poševen, če ni pokončen. 40.3 ∙ Osni presek valja je paralelogram, ki ga dobimo, če valj presekamo z ravnino, ki vsebuje os valja. 40.4 ∙ V = 𝜋r^2 ∙ v ∙ P = 2 ∙ 𝜋r^2 + 2𝜋r ∙ v 40.5 ∙ V = 𝜋r^2 ∙ 2r

41. PIRAMIDA 41.1 Definirajte piramido. 41.2 Kdaj je piramida enakoroba. 41.3 Kdaj je piramida n-strana. 41.4 Kdaj je piramida pravilna. 41.5 Navedite formulo za izračun površine in prostornine pravilne piramide. 41.6 Izrazite prostornino pravilne enakorobe tristrane piramide z robom a.

41.1 ∙ Piramida je oglato geometrijsko telo, ki ima za osnovno ploskev večkotnik, za stranske ploskve pa trikotnike, ki se stikajo v skupni točki. 41.2 ∙ Enakoroba piramida je piramida, ki ima vse robove enako dolge. 41.3 ∙ Piramida, ki ima za osnovno ploskev n-kotnik. 41.4 ∙ Pravilna piramida je pokončna piramida, ki ima za osnovno ploskev pravilni n-kotnik. 41.5 ∙ P = S + pl ∙ V = (S * v) / 3 41.6 ∙ V = (a^3 ∙ √6) / 3

42. STOŽEC 42.1 Definirajte pokončni stožec. 42.2 Skicirajte mrežo stožca. 42.3 Opišite presek stožca z ravnino, vzporedno osnovni ploskvi. 42.4 Opišite presek stožca z ravnino, ki vsebuje os stožca. 42.5 Navedite formulo za površino in prostornino stožca. 42.6 Izrazite površino enakostraničnega stožca s polmerom r.

42.1 ∙ Pokončni stožec je okroglo geometrijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli ene od katet za 360°. 42.2 ∙ Osnovna ploskev je krog, plašč je krožni izsek. 42.3 ∙ Pokončni stožec: krog. 42.4 ∙ Osni presek pokončnega stožca je enakokraki trikotnik. ∙ Osni presek poševnega stožca je raznostranični trikotnik. ∙ Osni presek enakostraničnega stožca je enakostranični trikotnik. 42.5 ∙ P = 𝜋r^2 + 𝜋rs ∙ V = (𝜋r^2 * v) / 3 42.6 P = 2𝜋r^2 + 𝜋rs = 4𝜋r^2

43. VEKTORJI 43.1 Kaj je vektor? 43.2 Definirajte seštevanje vektorjev. 43.3 Definirajte ničelni vektor in nasprotni vektor danega vektorja. 43.4 Povejte vsaj dve lastnosti seštevanja vektorjev in vsaj eno izmed njih dokažite.

43.1 ∙ Vektorje"usmerjena daljica", ki je natanko določena s svojo začetno in končno točko. Vsebuje naslednje podatke: a) dolžino (ali velikost daljice AB), in jo označimo b) smer določa nosilka- premica skozi A in B c) usmerjenost vektorja je določena z izborom začetne in končne točke. 43.2 ∙ Vektorja 𝘢 in 𝘣 seštejemo tako, da ju najprej vzporedno premaknemo v takšno lego, da je končna točka prvega vektorja hkrati začetna točka drugega, nato pa narišemo vsoto 𝘢 + 𝘣, ki poteka od začetne točke prvega do končne točke drugega vektorja. 43.3 ∙ Ničelni vektor - vektor, ki ima dolžino enako 0 in nima smeri. ∙ Nasprotni vektor danega vektorja je vektor, ki je enako dolg in vzporeden danemu vektorju, ima pa nasprotno orientacijo. 43.5 ∙ Komutativnost a + b = b + a ∙ Asociativnost a + (b + c) = (a + b) + c ∙ Zakon o nevralnem elementu a + 0 = a ∙ Zakon o inverznem elementu a + (-a) = 0

45. VEKTORJI 45.1 Opišite pravokotni koordinatni sistem v prostoru R3. 45.2 Naj bosta A in B točki v prostoru R3. Izrazite vektor AB s koordinatami točk A in B in odgovor utemeljite. 45.3 Izrazite koordinate razpolovišča S daljice AB s koordinatami krajišč točk A in B. Formulo izpeljite.

45.1 ∙ Koordinatni sistem v prostoru tvorijo tri med seboj pravokotne premice, ki se sekajo v isti točki. Premice imenujemo abcisna (x), ordinatna (y) in aplikativna (z) os. Na vsaki osi si izberemo enoto. Vsaki točki prostora lahko tako enolično določimo urejeno trojico števil (x,y,z). 45.2 ∙ AB = (b₁ - a₁, b₂ - a₂, b₃- a₃) 45.3 rs = ra + 0.5AB

46. SKALARNI PRODUKT 46.1 Kako izračunamo skalarni produkt dveh vektorjev, če poznamo njuni dolžini in kot med njima? 46.2 Naštejte vsaj dve lastnosti skalarnega produkta in vsaj eno izmed njih dokažite. 46.3 Kako s skalarnim produktom ugotovimo, ali sta dana vektorja pravokotna? 46.4 Kako s skalarnim produktom ugotovimo, ali sta dana vektorja vzporedna?

46.1 ∙ Kot produkt njunih dolžin in kosinusa kota med njima. 46.2 ∙ Komutativnost ∙ Homogenost a ∙ (mb) = (ma) ⋅ b = m ∙ (ab) ∙ Distributivnost a(b + c) = ab + ac 46.3 ∙ Če je skalarni produkt vektorjev enak 0 sta ta vektorja pravokotna. 46.4 Skalarni produkt je produkt dolžin. (i guess)

47. SKALARNI PRODUKT V STANDARDNI OB 47.1 Kako izračunamo skalarni produkt dveh vektorjev v standardni ortonormirani bazi? Odgovor utemeljite. 47.2 Kako izračunamo dolžino vektorja v standardni ortonormirani bazi? Odgovor utemeljite. 47.3 Kako izračunamo kot med vektorjema v standardni ortonormirani bazi? 47.4 Ponazorite izračun kota med vektorjema s primerom.

47.1 ∙ Skalarni produkt: b1 ∙ a1 + b2 ∙ a2 + b3 ∙ a3 47.2 ∙ Dožina: |a| = √(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) 47.3 ∙ Kot = arccos(ab/|a||b|)

48. KOORDINATNI SISTEM V RAVNINI 48.1 Definirajte pravokotni koordinatni sistem v ravnini R2. 48.2 Izpeljite formulo za računanje razdalje med dvema točkama. 48.3 Povejte koordinati razpolovišča daljice z danima krajiščema. 48.4 Točko T(x, y) prezrcalite čez premico y=x. Povejte koordinati tako dobljene točke.

48.1 ∙ Koordinatni sistem v ravnini je sestavljen iz dveh med seboj pravokotnih premic, ki ju imenujemo abscisna os (vodoravna os, koordinatna os x) in ordinatna os (navpična os, koordinatna os y). Točkam na koordinatnih oseh priredimo realna števila. 48.2 ∙ Narišeš 2 točki, narediš pitagorov izrek. 48.3 ∙ T(|x1- x2| / 2, |y1 - y2| / 2) 48.4 ∙ T(y, x)

49. FUNKCIJE 49.1 Definirajte pojem funkcije (preslikave) iz množice A v množico B. 49.2 Kdaj je funkcija injektivna, kdaj surjektivna in kdaj bijektivna? 49.3 Skicirajte graf ali povejte predpis funkcije, ki ni surjektivna. 49.4 Skicirajte graf ali povejte predpis funkcije, ki ni injektivna.

49.1 ∙ Funkcija f : A → B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis, ki danemu podatku x ∈ A priredi funkcijsko vrednost f(x) ∈ B. 49.2 ∙ Funkcija je injektivna, če vsak par originalov preslika v različni sliki. ∙ Funkcija je surjektivna, če element Zf slika vsaj enega originala. ∙ Funkcija je bijektivna natanko takrat, ko je injektivna in surjektivna hkrati. 49.3 ∙ f(x) = x^(-1) 49.4 ∙ f(x) = x^2

5. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 5.1 Opišite množici ℕ in ℤ in ju predstavite na številski premici. 5.2 Navedite vsaj štiri lastnosti računskih operacij v množicah ℕ in ℤ. 5.3 Kaj je matematična (popolna) indukcija? Razložite na primeru.

5.1 ∙ Množica ℕ, je množica števil s katerimi štejemo (cela pozitivna števila ℕ = {1,2,3,4...}) ∙ Množica ℤ, je množica ℕ števil, ki ji dodamo 0 in nasprotne vrednosti vseh ℕ števil ℤ = {..-2, -1, 0, 1,2,3,4...} 5.2 komutativnost seštevanja; a + b = b + a asociativnost seštevanja; (a + b) + 𝘤 = a + (b + c) komutativnost množenja ab = ba asociativnost množenja (ab)c = a(bc) zakon o nevtralnem elementu pri množenju a * 1 = a zakon o nevtralnem elementu pri seštevanju a + 0 = a distributivnostni zakon a(b + c) = ab + bc 5.3 Je metoda dokaza, ki se običajno uporablja za dokazovanje ali je dana trditev ali izrek resničen za vsa naravna števila ali za vse člene neskončnega zaporedja. Primer: 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) / 2

50. LASTNOSTI FUNKCIJ 50.1 Kdaj je funkcija na intervalu naraščajoča in kdaj padajoča? 50.2 Skicirajte graf ali povejte predpis funkcije, ki ni niti naraščajoča niti padajoča. 50.3 Kdaj je funkcija f omejena? 50.4 Definirajte natančno zgornjo mejo in natančno spodnjo mejo omejene funkcije f.

50.1 Padajoča ko: x1 < x2 => f(x1) > f(x2) Naraščajoča: x1 < x2 => f(x1) < f(x2) 50.2 y = 1 50.3 Če je omejena navzgor in navzdol. (m <= f(x) <= M) 50.4 ?

51. LASTNOSTI FUNKCIJ 51.1 Kdaj je funkcija f liha in kdaj soda? 51.2 Kako iz grafa funkcije f ugotovimo, ali je funkcija f soda oziroma liha? 51.3 Skicirajte graf ali povejte predpis funkcije, ki je hkrati soda in liha. 51.4 Skicirajte graf ali povejte predpis neomejene padajoče lihe funkcije. 51.5 Skicirajte graf ali povejte predpis sode funkcije, ki ima zalogo vrednosti enako Z = [2, 4] .

51.1 ∙ Liha: f(-x) = -f(x) ∙ Soda: f(-x) = f(x) 51.2 ∙ Liha: če je simetrična glede na koordinatno izhodišče. ∙ Soda: če je simetrična glede na ordinatno os 51.3 ∙ f(x) = 0 51.4 ∙ f(x) = -x 51.4 f(x) = sin(x) + 3

52. LINEARNA FUNKCIJA 52.1 Definirajte linearno funkcijo in povejte, kaj je njen graf. 52.2 V odvisnosti od diferenčnega količnika k preučite naraščanje in padanje linearne funkcije f. 52.3 Za koliko se spremeni vrednost funkcije f, če vrednost neodvisne spremenljivke povečamo za a? 52.4 Naj bo f strogo naraščajoča linearna funkcija s pozitivno začetno vrednostjo. Kakšen je predznak ničle funkcije f ?

52.1 ∙ Linearna funkcija je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f(x) = kx + n, kjer sta koeficienta k in n poljubni realni števili. 52.2 ∙ k < 0 - pada ∙ k > 0 - narašča ∙ k = 0 - konstantna 52.3 ∙ f(x) = k(x+a) + n, za a*k 52.4 ∙ Negativen

53. ENAČBA PREMICE 53.1 Kaj je eksplicitna oblika enačbe premice? Enačbe katerih premic lahko zapišemo v tej obliki? 53.2 Kaj je implicitna oblika enačbe premice? Enačbe katerih premic lahko zapišemo v tej obliki? 53.3 Naj ima premica v ravnini enačbo ax + by + c = 0. Kaj mora veljati za realna števila a b , in c, da lahko enačbo premice zapišemo v odsekovni obliki?

53.1 ∙ Eksplicitna oblika enačbe premice je enačba oblike y = kx + n. ∙ Z njo lahko zapišemo enačbe vseh premic, ki niso vzporedne ordinatni osi. 53.2 ∙ Implicitna oblika enačbe premice je enačba oblike 0 = ax + by + c. ∙ Z njo lahko zapišemo enačbo katerikoli premice. 53.3 ∙ Z odsekovno obliko lahko zapišemo enačbe vseh premic, ki niso vzporedne koordinatnima osema in ne potekajo skozi koordinatno izhodišče. a, b in c ne smejo biti 0

54. PREMICE V RAVNINI 54.1 Definirajte naklonski kot premice v ravnini ter razložite zvezo med naklonskim kotom in smernim koeficientom dane premice (če ta obstaja). 54.2 Kaj velja za smerna koeficienta vzporednih premic? 54.3 Kaj velja za smerna koeficienta pravokotnih premic? 54.4 Izpeljite formulo za kot med premicama s smernima koeficientoma k1 in k2.

54.1 ∙ Naklonski kot premice je kot med pozitivnim poltrakom abcisne osi in premico, merjen v pozitivni smeri. Je tangens smernega koeficienta premice. 54.3 ∙ k1 = k2 54.4 ∙ k1 = -1/k2 54.5 Dokažeš, da iščeš kot φ=180°−β−(180°−α)=α−β tanφ = tan(α−β) = tanα−tanβ / 1 + tanα⋅tanβ = k1−k2 / 1 + k1⋅k2

55. LINEARNE NEENAČBE 55.1 Na primeru opišite reševanje linearnih neenačb z eno neznanko. 55.3 Naj bosta a in b realni števili. Obravnavajte linearno neenačbo ax + b < 0. 55.4 Za vsako od množic [2, ∞) in R povejte primer linearne neenačbe z eno neznanko, katere množica rešitev je dana množica

55.1 ∙ Je neenačba oblike ax + b <(>...) = 0, kjer sta a in b elementa realnih števil in a ni enak 0. ∙ x - 5 < 2 ∙ x - 5 + 5 < 2 + 5 enačbi na obeh straneh prištejemo 5 ∙ x < 7 55.3 Preoblikuješ v ax < b Potem primeri: a < 0 a = 0 a > 0 55.4 [2, ∞): x >= 2 R: 2 > 0 (i guess)

56. POTENČNA FUNKCIJA 56.1 Definirajte potenčno funkcijo z negativnim celim eksponentom. 56.2 Narišite grafa potenčnih funkcij, ki imata eksponenta -1 in -2. 56.3 Primerjajte lastnosti potenčnih funkcij s sodim in potenčnih funkcij z lihim negativnim celim eksponentom.

56.1 ∙ Je funkcija oblike f(x) = x^(-n), n ∈ ℕ = 1/x^n 56.3 ∙ Napišeš razpredelnico, potenčna z neg. in poz. sodim ter potenčna z neg. in poz. lihim eksponentom. 56.4 Naraščanje, padanje, sodost, lihost, Df, Zf

57. KORENSKA FUNKCIJA 57.1 Za poljubno naravno število n definirajte korensko funkcijo f s predpisom f(x) = (n)√x. 57.2 V isti koordinatni sistem narišite grafe korenskih funkcij za n = 2, n = 3 in n = 4 57.3 Povejte definicijsko območje in zalogo vrednosti poljubne korenske funkcije.

57.1 Korenska funkcija je inverzna funkciji z naravnim eksponentom 57.3 ∙ n = 2 - Df = [0, ∞) - Zf = [0, ∞) ∙ n = 3 - Df = ℝ - Zf = ℝ

58. KVADRATNA FUNKCIJA 58.1 Definirajte kvadratno funkcijo. 58.2 Naštejte vsaj štiri lastnosti kvadratne funkcije. 58.3 Ali obstaja kvadratna funkcija, ki je liha? Poiščite vse sode kvadratne funkcije. 58.4 Povejte primer navzdol omejene sode kvadratne funkcije

58. 1 ∙ Je funkcija, ki jo lahko zapišemo z enačbo oblike f(x) = ax^2 + bx + c, kjer so a, b, c ∈ ℝ in a ≠ 0. 58.2 ∙ Njen graf je parabola. ∙ Df = ℝ Njena zaloga vrednosti je odvisna od ordinate temena in sicer: ∙ če je a > 0, je Zf = [q, ∞) ∙ če je a < 0, je Zf = (−∞, q] ∙ Ima nič, eno ali dve ničli ∙ Začetna vrednost je enaka prostemu členu c, ki določa presečišče grafa z osjo y ∙ Narišeš graf in razlagaš 58.3 Ne. f(x) = ax^2 + bx + c 58.4 ∙ f(x) = x^2

59. TEME GRAFA KVADRATNE FUNKCIJE 59.1 Kaj je teme grafa kvadratne funkcije? Kako ga izračunamo? 59.2 Izpeljite temensko obliko predpisa kvadratne funkcije. 59.3 Povejte primer navzgor omejene kvadratne funkcije, katere graf ima teme v prvem kvadrantu.

59.1 ∙ Je presečišče parabole in njene simetrale. ∙ Teme: T(p, q) ∙ p = -b / 2a ∙ q = (4ac - b^2) / 4a 59.2 To se mi honestly tko ful ne da. 59.3 ∙ f(x) = -(x - 2)^2 + 2

6. LIHA IN SODA ŠTEVILA 6.1 Definirajte soda in liha števila. 6.2 Pokažite, da je vsota dveh lihih števil sodo število. 6.3 Pokažite, da je kvadrat lihega števila liho število. 6.4 Pokažite, da je vsota dveh zaporednih lihih števil deljiva s 4.

6.1 ∙ Soda števila so tista števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 0. ∙ Liha števila so tista števila, ki dajo pri deljenju z 2 ostanek 1. 6.2 Naj bo: a = 2m - 1; m ∈ ℕ b = 2n - 1; n ∈ ℕ a + b = 2m - 1 + 2n - 1 = 2(m + n) (večkratnik števila 2) 6.3 Naj bo a = 2m - 1; m ∈ ℕ a^2 = 2m^2 - 4m + 1 = 2(m^2 - 2m) + 1 6.4 2n + 1 + 2n + 3 = 4(n + 1); n ∈ ℕ

60. NIČLE KVADRATNE FUNKCIJE 60.1 Definirajte ničlo funkcije in povejte ničelno obliko predpisa kvadratne funkcije. 60.2 Kaj je diskriminanta kvadratne funkcije? 60.3 Razložite pomen diskriminante kvadratne funkcije pri iskanju njenih ničel. 60.4 Razložite zvezo med ničlami kvadratne funkcije in absciso temena njenega grafa.

60.1 ∙ Je tisto število x, ki reši enačbo f(x) = 0. ∙ f(x) = a(x - x1)(x - x2) ∙ x1 in x2 sta ničli kvadratne funkcije 60.2 ∙ D = b^2 - 4ac in f(x) = ax^2 + bx + c 60.3 ∙ Diskriminanta kvadratne funkcije nam pove koliko ničel ima dana funkcija: - D = 0, funkcija ima dvojno ničlo (enaki ničli); graf se v ničli obrne (dotakne osi x, torej je ničla teme) - D < 0, funkcija nima realnih ničel; graf leži nad ali pod osjo x - D > 0, funkcija ima 2 različni realni ničli; graf seka os x v 2 različnih točkah 60.4 Abcisa temena je (x1 + x2) / 2.

61. KVADRATNA ENAČBA 61.1 Kaj je kvadratna enačba? Kako jo rešimo? 61.2 Kako je z rešljivostjo kvadratne enačbe v množici realnih števil in kako v množici kompleksnih števil? 61.3 Povejte Vietovi formuli za kvadratno enačbo. 61.4 Dokažite Vietovi formuli za kvadratno enačbo.

61.1 ∙ Kvadratna enačba je vsaka enačba, ki jo lahko zapišemo v obliki ax^2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna realna števila in je vodilni koeficient a različen od 0. ∙ Uporabimo identične metode kot pri iskanju ničel kvadratne funkcije - ali enačbo razcepimo ali pa uporabimo formulo za izračun ničel: x_1,2 = (-b +- √(b^2 - 4ac)) / 2a 61.2 ∙ V kompleksnih številih je kvadratna enačba vedno rešljiva. V množici realnih števil pa le, če je determinanta ≥ 0. 61.3 x1 + x2 = - b / a x1 * x2 = c / a 61.4 x1 in x2 zamenjaš z (-b +- √D) / 2a a(x - x1)(x - x2) = a(x^2 - x(x1 + x2) + x1*x2) vstaviš x2 + x2 = -b/a, isto za x1*x2

63. EKSPONENTNA FUNKCIJA 63.1 Naj bo a > 1. Skicirajte graf funkcije s predpisom f(x) = a^x. 63.2 Naj bo 0 < a < 1. Skicirajte graf funkcije s predpisom f(x) = a^x. 63.3 Povejte vsaj štiri lastnosti eksponentne funkcije. 63.4 V odvisnosti od realnega parametra c obravnavajte enačbo f(x) = c, kjer je f eksponentna funkcija.

63.3 ∙ Df = ℝ ∙ Zf = ℝ+ ∙ Ima vodoravno asimptoto y = 0 ∙ Če je 0 < a < 1, pada na celotnem Df. ∙ Če je a > 1, narašča na celotnem Df. ∙ Začetna vrednost je enaka 1. ∙ Nima ničel. 64.4 Če je c > 0, ima enačba eno rešitev Če je c=0 ali c < 0 enačba nima rešitve

64. LOGARITEMSKA FUNKCIJA 64.1 Naj bo a pozitivno realno število. Definirajte logaritemsko funkcijo z osnovo a. 64.2 Naj bo a > 1. Skicirajte graf logaritemske funkcije z osnovo a. 64.3 Naj bo 0 < a < 1. Skicirajte graf logaritemske funkcije z osnovo a. 64.4 Povejte vsaj 4 lastnosti logaritemske funkcije. 64.4 Naj bo a pozitivno realno število, a != 1. Razložite zvezo med funkcijama s predpisoma f(x) = logₐ(x) in g(x) = log₁/ₐ(x).

64.1 ∙ f(x) = loga(x) ∙ loga(x) = y ⇔ a^x = y a != 1 64.4 ∙ Df = ℝ+ ∙ Zf = ℝ ∙ Ima navpično asimptoto x = 0 ∙ Če je 0 < a < 1, pada na celotnem Df. ∙ Če je a > 1, narašča na celotnem Df. ∙ Ima ničlo pri x = 1. 64.5 Prezrcaljena čez x os.

66. POLINOMI 66.1 Definirajte polinom (polinomsko funkcijo). Kaj so stopnja, vodilni koeficient in prosti člen polinoma? 66.2 Kako seštevamo polinome? Kakšna je stopnja vsote dveh polinomov? 66.3 Povejte osnovni izrek o deljenju polinomov. 66.4 Razložite deljenje poljubnega polinoma p s polinomom q s predpisom q(x) = x - c, kjer je c poljubno realno število.

66.1 ∙ Polinom je funkcija oblike a_n ∙ x^n + a_(n - 1) ∙ x^(n - 1) + ... + a_1 ∙ x + a_0 a_(n) != 0 ∙ Koeficienti a_n... a_1, a_0 so poljublja realna števila, koeficient a_n pa more biti različen od 0. ∙ Vodilni koeficient polinoma je število a_n (koeficient pri najvišji potenci, ki nastopa v polinomu) ∙ Prosti člen polinoma je koeficient a_0 ∙ Stopnja polinoma je eksponent najvišje potence, ki nastopa v polinomu. 66.2 ∙ Polinome seštevamo tako, da seštejemo člene iste stopnje. ∙ Stopnja vsote polinomov je največja stopnja obeh polinomov. 66.3 ∙ p(x) = k(x) ∙ q(x) + r(x) ∙ st(r(x)) < st(q(x)) ∙ q(x) je poljuben neničelen polinom 66.4

67. NIČLE POLINOMOV 67.1 Koliko realnih ničel ima lahko polinom stopnje n? 67.2 Polinom p stopnje n naj ima n paroma različnih ničel. Kako lahko zapišemo predpis polinoma p, da bodo iz njega razvidne vse njegove ničle? 67.3 Koliko realnih ničel ima lahko polinom tretje in koliko polinom četrte stopnje? Navedite vse možnosti. 67.4 Opišite metodo bisekcije za iskanje ničel polinomov.

67.1 ∙ Polinom stopnje n ima n realnih ničel. 67.2 ∙ V ničelni obliki: p(x) = A(x - a_1)(x - a_2)∙∙∙(x - a_n) ∙ kjer je A vodilni člen polinoma in so števila a_1, a_2, ... , a_n ničle polinoma 67.3 Tretje: 1 ali 3 Četrte: 0, 2 ali 4 67.4 Binary search, kinda

68. RACIONALNA FUNKCIJA 68.1 Naj bo x_0 ničla racionalne funkcije f. Razložite obnašanje funkcije f v dovolj majhni okolici ničle x_0. Navedite vse možnosti. 68.2 Naj bo x_0 pol racionalne funkcije f. Razložite obnašanje funkcije f v dovolj majhni okolici pola x_0. Navedite vse možnosti. 68.3 Opišite, kako rešujemo racionalno neenačbo.

68.1 ∙ Če je x_0 ničla sode stopnje, se bo graf funkcije zgolj dotaknil osi x in spremenil smer (če je naraščal na intervalu (x_0 - a, x_0) potem na intervalu (x_0, x_0 + a) pada in obratno). ∙ Če je x_0 ničla lihe stopnje, graf funkcije spremeni predznak (če je bil negativen na intervalu (x_0 - a, x_0) je potem na intervalu (x_0, x_0 + a) pozitiven in obratno). 68.2 ∙ Graf funkcije se v okolici pola približuje navpični asimptoti. ∙ Če je x_0 ničla sode stopnje se predznak ohrani. ∙ Če je x_0 ničla lihe stopnje se predznak spremeni. 68.3 ∙ Preoblikuješ v r(x) < 0 (> <=, >=) ∙ Poiščeš ničle ∙ Poiščeš pole ∙ Napišš kakšni so predznaki

7. PRAŠTEVILA 7.1 Definirajte praštevilo in sestavljeno število. Naštejte tri praštevila in tri sestavljena števila. 7.2 Kaj je razcep naravnega števila na prafaktorje? Ali je razcep na prafaktorje enoličen? 7.3 Dokažite, da je praštevil neskončno mnogo.

7.1 ∙ Praštevilo je število, ki ima natanko 2 delitelja - 1 in samega sebe, najmanjše praštevilo je 2. ∙ Sestavljeno število, je število, ki ima najmanj 3 delitelje. 1 ni ne praštevilo, ne sestavljeno število. 7.2 ∙ Razcep ℕ števila na prafaktorje je enoličen zapis števila, kot produkt potenc praštevil. 7.3 Predpostaviš da je n največje praštevilo. Q = 2 * 3 * 5 * ... * n + 1 Q ne deli nobeno praštevilo do n, zato največje praštevilo ne obstaja in jih je neskončno.

70. FUNKCIJA SINUS 70.1 Definirajte funkcijo sinus. 70.2 Koliko je osnovna perioda funkcije sinus? Povejte vse ničle funkcije sinus. 70.3 Narišite graf funkcije sinus. 70.4 Za katere a ∈ R premica z enačbo y = a seka graf funkcije sinus? V primerih, ko imata dana premica in graf funkcije sinus neprazen presek, povejte vsa njuna presečišča.

70.1 ∙ Sinus kota je ordinata točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico. 70.2 ∙ Osnova perioda: 2π. ∙ Ničle: x = kπ; k ∈ ℤ 70.4 Za a < -1 ali a > 1 ni rešitve. Drugače: x ∈ arcsin(x) + 2kπ x ∈ π - arcsin(x) + 2kπ

71. FUNKCIJA KOSINUS 71.1 Definirajte funkcijo kosinus. 71.2 Koliko je osnovna perioda funkcije kosinus? Povejte vse ničle funkcije kosinus. 71.3 Narišite graf funkcije kosinus. 71.4 Za katere a ∈ R premica z enačbo y = a seka graf funkcije kosinus? V primerih, ko imata dana premica in graf funkcije sinus neprazen presek, povejte vsa njuna presečišča.

71.1 ∙ Sinus kota je abcisa točke T, v kateri gibljivi krak kota seka enotsko krožnico. 71.2 ∙ Osnova perioda: 2π. ∙ Ničle: x = π/2 + kπ; k ∈ ℤ 71.4 Za a < -1 ali a > 1 ni rešitve. Drugače: x ∈ +-arccos(x) + 2kπ

72. FUNKCIJA TANGENS 72.1 Definirajte funkcijo tangens. 72.2 Povejte definicijsko območje funkcije tangens. 72.3 Povejte vse ničle funkcije tangens. 72.4 Narišite graf funkcije tangens. 72.5 Za katere a ∈ R premica z enačbo y = a seka graf funkcije tangens? V primerih, ko imata dana premica in graf funkcije sinus neprazen presek, povejte vsa njuna presečišča.

72.1 ∙ Tangens kota je kvocient sinusa in kosinusa tega kota. 72.2 ∙ Df = ℝ - {π/2 + kπ; k ∈ ℤ} 72.3 ∙ Ničle: x = kπ; k ∈ ℤ 72.5 (arctan(a) + kπ, a)

74. KOTNE FUNKCIJE V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU 74.1 Naj bo α ostri kot v danem pravokotnem trikotniku. Definirajte sinus, kosinus, tangens in kotangens kota α. 74.2 Naj bo α poljuben kot, 0 < α < π/2. Povejte osnovno zvezo med sinα in cosα ter jo dokažite. 74.3 Povejte še vsaj štiri zveze med kotnimi funkcijami v pravokotnem trikotniku in eno med njimi dokažite.

74.1 ∙ Naj bosta a in b kateti ter c hipotenuza pravokotnega trikotnika. ∙ sin(α) = a / c ∙ cos(α) = b / c ∙ tg(α) = a / b ∙ ctg(α) = b / a 74.2 ∙ sin^2(α) + cos^2(α) = 1 ∙ a^2 / c^2 + b^2 / c^2 = 1 ∙ a^2 + b^2 = c^2 74.3 ∙ tg^2(x) = 1 / cos^2(x) ∙ ctg^2(x) = 1 / sin^2(x)

75. KOTNE FUNKCIJE * 75.1 Povejte adicijska izreka za funkciji sinus in kosinus. 75.2 Izrazite sin(2x) in cos(2x) s sinx in cosx. Eno od formul dokažite. 75.3 Izrazite tan 2x s tan? Dokažite.

75.1 ∙ sin(x + y) = sin(x) ∙ cos(y) + cos(x) ∙ sin(y) ∙ cos(x + y) = cos(x) ∙ cos(y) − sin(x) ∙ sin(y) 75.2 ∙ sin(2x) = sin(x + x) = sin(x) ∙ cos(x) + cos(x) ∙ sin(x) = 2 ∙ sin(x) ∙ cos(x) ∙ cos(2x) = cos(x + x) = cos(x) ∙ cos(x) − sin(x) ∙ sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x) 75.3

77. KROŽNICA 77.1 Povejte geometrijsko definicijo krožnice in izpeljite enačbo krožnice s polmerom r in s središčem v točki S(p, q). 77.2 Naj bodo A, D, E in F realna števila in naj bo A ≠ 0. Povejte, katere množice točk v ravnini lahko predstavlja enačba Ax^2 + Ay^2 + Dx + Ey + F = 0. 77.3 Analizirajte, za katera realna števila a in b enačba x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 4 predstavlja krožnico.

77.1 ∙ Je množica točk, ki so za natanko r oddaljene od točke S (središča). ∙ (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2 77.2 77.3 ∙ Krožnico, točko ali prazno množico Preoblikuj v (x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2 + b^2 - 4

8. DELJIVOST 8.1 Kdaj je naravno število a večkratnik naravnega števila b? 8.2 Definirajte relacijo deljivosti v množici N. 8.3 Opišite vsaj 3 lastnosti relacije deljivosti. 8.4 Dokažite, da je relacija deljivosti tranzitivna.

8.1 ∙ Ko je ostanek pri deljenju števila a z b enak 0. 8.2 ∙ Število a deli število b natanko takrat, ko obstaja tako naravno število k, da velja b = k ∙ a 8.3 ∙ Refleksivnost: a | a, velja ker a ∙ 1 = a ∙ Tranzitivnost: (a | b) ∧ (b | c) ⇒ a | c ∙ Če a deli b in c, potem deli tudi njuno vsoto in razliko. (a | b) ∧ (a | c) ⇒ a | (b + c) ∧ a ∣ (b − c) Posledica: Če a deli vsoto b + c in enega od členov, deli tudi drugega. a ∣ (b + c) ∧ (a ∣ b) ⇒ (a ∣ b) ∙ Antisimetričnost: (a | b ) ∧ (b | a) ⇒ a = b 8.4 Tranzitivnost: (a | b) ∧ (b | c) ⇒ a | c b = k*a c = j*b = j*k*a j, k ∈ ℤ

81. ZAPOREDJA 81.1 Definirajte zaporedje. Kaj je graf zaporedja? 81.2 Kdaj je zaporedje monotono in kdaj omejeno? 81.3 Kdaj je zaporedje konvergentno in kdaj divergentno? 81.4 Povejte primer konvergentnega in primer divergentnega zaporedja.

81.1 ∙ Zaporedje je funkcija, ki slika iz množice naravnih števil v množico realnih števil. ∙ Graf zaporedja je množica diskretnih točk. ∙ Graf zaporedja f s splošnim členom a_n = f(n) je množica vseh urejenih parov (n, a_n), kjer je n naravno število: G={(n, a_n); n ∈ N} 81.2 Zaporedje je monotono, če je ali naraščajoče ali padajoče. Zaporedje je omejeno, če obstajata taki števili , da za vsak velja: m <= an <= M 81.3 Zaporedje je konvergentno, ko ima limito, drugače je divergentno. 81.4 Konvergentno: 1/n Divergentno: n

82. ARITMETIČNO ZAPOREDJE 82.1 Definirajte aritmetično zaporedje in povejte njegov splošni člen. 82.2 Predstavite primer padajočega aritmetičnega zaporedja. 82.3 Kako izračunamo vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja, če poznamo prvi člen in diferenco? Trditev dokažite. 82.4 Dokažite, da je zaporedje aₖ aritmetično natanko tedaj, ko je za poljubno naravno število n aritmetična sredina členov aₙ in aₙ₊₂ enaka aₙ₊₁.

82.1 ∙ Aritmetično zaporedje je zaporedje, v katerem je razlika dveh zaporednih členov konstantna. 82.2 ∙ 18, 14, 10, 6,... d = -4 82.3 ∙ s = n/2(a_1 + a_n) 82.4 ∙ Uporabiš formulo za splošni člen...

83. GEOMETRIJSKO ZAPOREDJE 83.1 Definirajte geometrijsko zaporedje in povejte njegov splošni člen. 83.2 Predstavite primer padajočega geometrijskega zaporedja. 83.3 Kako izračunamo vsoto prvih n členov geometrijskega zaporedja, če poznamo prvi člen in količnik? Kako izračunamo to vsoto, če je količnik enak 1? 83.4 Pokažite, da je v geometrijskem zaporedju s pozitivnimi členi geometrijska sredina členov a_n in a_(n+2) enaka a_(n+1).

83.1 ∙ Geometrijsko zaporedje je zaporedje, v katerem je kvocient dveh zaporednih členov konstanten. ∙ a_n = a_1 ∙ k^(n - 1) 83.2 ∙ 4 ∙ (1/2)^n 83.3 ∙ s_n = a_1 ∙ (k_n - 1) / (k - 1) ∙ s_n = a_1 ∙ n 83.4 ∙

84. GEOMETRIJSKA VRSTA 84.1 Kaj je vrsta? Kdaj je vrsta konvergentna in kdaj divergentna? Kaj je vsota konvergentne vrste? 84.2 Definirajte geometrijsko vrsto. Kako ugotovimo, ali je geometrijska vrsta konvergentna? 84.3 Kako izračunamo vsoto konvergentne geometrijske vrste, če poznamo prvi člen in količnik? Trditev dokažite.

84.1 Vrsta ali števílska vrsta v matematiki pomeni vsoto zaporedja njenih členov. Vrsta je konvergentna, če ima limita od Sn končno število. Če limita ne obstaja je divergentno. 84.2 Geometrijska vrsta je vrsta, ki ima konstanten količnik. Je konvergentna, če |k| < 0. 84.3 a1 / (1 - k)

86. ODVOD 86.1 Definirajte odvod funkcije v dani točki in opišite njegov geometrijski pomen. 86.2 Podajte primer funkcije in točke, v kateri je funkcija odvedljiva, in po definiciji odvoda izračunajte njen odvod v izbrani točki 86.3 Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x_0 in naj bo f'(x) ≠ 0. Kako izračunamo enačbo tangente na graf funkcije f v točki x_0? 86.4 Naj bo funkcija f odvedljiva v točki x_0 in naj bo f'(x) ≠ 0. Kako izračunamo enačbo normale na graf funkcije f v točki x_0?

86.1 ∙ Naj bo funkcija f definirana v okolici točke x_0. Če obstaja limia ko gre h kadarkoli proti 0, pravimo, da je funkcija odvedljiva v točki x_0, njena vrednost pa je odvod funkcije v točki x_0. ∙ lim(h -> 0) ((f(x_0 + h) - f(x_0)) / h ∙ Geometrijski pomen: odvod funkcije f v točki x_0 je enak smernemu koeficientu tangente na graf funkcije f v točki z absciso x_0 oziroma tangensu naklonskega kokta tangente v tej točki. 86.2 f(x) = x f'(x) = 1 86.3 ∙ Izračunamo najprej odvod funkcije f, uporabimo formulo: y - y_0 = k ∙ (x - x_0), kjer je k enak - 1 / f'(x_0), y_0 pa je enak vrednosti funkcije f v točki x_0.

87. LOKALNI EXTREMI 87.1 Definirajte lokalni maksimum in lokalni minimum funkcije. 87.2 87.3

87.1 - Lokalni minimum ali relativni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost v neki (majhni) okolici. - Lokalni maksimum ali relativni maksimum je točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost v neki (majhni) okolici. 87.2

9. VEČKRATNIKI IN DELITELJI 9.1 Definirajte največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh naravnih števil. Razložite vsaj eno metodo za izračun najmanjšega skupnega večkratnika dveh naravnih števil. 9.2 Povejte zvezo med m n v(m, n) in D(m, n). 9.3 Kdaj sta si dve naravni števili tuji? 9.4 Na primeru razložite Evklidov algoritem.

9.1 ∙ Največji skupni delitelj danih števil je največje število, ki deli vsa dana števila. ∙ Izračunamo ju lahko s pomočjo razcepa na praštevila. 9.2 m * n = v(m, n) * D(m, n) 9.3 Ko velja D(a, b) = 1 9.4 D(96, 78) 96 = 1 * 78 + 18 78 = 4 * 18 + 6 16 = 3 * 6 + 0 Največji delitelj je 6.

94. KOMBINATORIKA 94.1 Povejte osnovni izrek kombinatorike. 94.2 Uporabo osnovnega izreka kombinatorike razložite na primeru. 94.3 Povejte pravilo vsote. 94.4 Uporabo pravila vsote razložite na primeru. 94.5 Kaj je kombinatorično drevo? 94.6 Prikažite primer kombinatoričnega drevesa.

94.1 ∙ Če imamo na voljo m možnosti iz prve skupine in n možnosti iz druge skupine, izbrati pa želimo eno možnost iz prve in hkrati eno iz druge skupine, potem imamo na izbiro skupno m n možnosti. - PRAVILO PRODUKTA 94.2 ∙ Na voljo imamo 3 različne majice in 2 različne hlače, koliko različnih kombinacij oblačil imamo na voljo? ∙ O: 3 ∙ 2 = 6, torej imamo na voljo 6 različnih kombinacij. 94.3 ∙ Če imamo na voljo m možnosti iz prve skupine in n možnosti iz druge skupine, izbrati pa želimo točno eno možnost iz prve ali iz druge skupine, potem imamo na izbiro skupno m + n možnosti. 94.4 ∙ Za kosilo imamo na voljo 3 juhe in 6 glavnih jedi, koliko različnih kombinacij imamo na voljo za kosilo, če pojemo le en hod? ∙ O: 3 + 6 = 9, torej imamo 9 načinov, da pojemo en hod. 94.5 ∙ Kombinatorično drevo je slikovni prikaz vseh možnosti v dani situaciji.

95. PERMUTACIJE 95.1 Kaj so permutacije brez ponavljanja in koliko jih je? 95.2 Povejte primer permutacije brez ponavljanja. 95.3 Kaj so permutacije s ponavljanjem in koliko jih je? 95.4 Povejte primer permutacije s ponavljanjem.

95.1 ∙ Permutacije brez ponavljanja so razvrstitve n različnih elementov na n mest. ∙ n!. 95.2 ∙ Koliko različnih 3-mestnih števil lahko sestavimo iz števk 1, 2 in 3? ∙ Na prvo mesto lahko postavimo 3 števke, na 2. 2 in na zadnje 1, torej lahko sestavimo 6 (3!) različnih števil. 95.3 ∙ Permutacije s ponavljanjem so razvrstitve elementov, pri čemer za vsak element vemo, kolikokrat se ponovi. ∙ n! / (k_1! ∙∙∙ k_n!) 95.4 ∙ Koliko različnih permutacij lahko tvorimo iz besede matematika? ∙ 10! / (2! ∙ 2! ∙ 3!) = 151 200

96. VARIACIJE * 96.1 Kaj so variacije brez ponavljanja in koliko jih je? 96.2 Povejte primer variacije brez ponavljanja. 96.3 Kaj so variacije s ponavljanjem in koliko jih je? 96.4 Povejte primer variacije s ponavljanjem.

96.1 ∙ Variacije brez ponavljanja so razporeditve n različnih elementov na r mest. ∙ n! / (n - r)! 96.2 ∙ Iz števk {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sestavimo vsa možna štirimestna števila brez ponavljanja števk. Koliko jih je? ∙ 7! / 3! = 840 96.3 ∙ Variacije s ponavljanjem so razporeditve, pri katerih poskušamo na r mest razporediti elemente n različnih vrst. Pri tem se lahko element določene vrste v razporeditvi pojavi poljubno mnogokrat. ∙ n^r 96.4 ∙

97. KOMBINACIJE 97.1 Kaj je binomski simbol in kako izračunamo njegovo vrednost? 97.2 Opišite vsaj tri lastnosti računanja z binomskimi simboli. 97.3 Kaj so kombinacije brez ponavljanja in koliko jih je? 97.4 Povejte primer kombinacije brez ponavljanja.

97.1 ∙ Binomski simbol (n r) nam označuje število izborov r elementov izmed n elementov, različnih med seboj. ∙ (n r) = n! / ((n - r)! ∙ r!) 97.2 ∙ (n 0) = 1 ∙ (n 1) = n ∙ (n n) = 1 ∙ (n n-r) = (n r) 97.3 ∙ Kombinacije brez ponavljanja so izbire r (različnih) elementov izmed n različnih elementov, ki so na voljo. ∙ rCn = (n r) = n! / ((n - r)! ∙ r!) 97.4 ∙ Trener izbira peterko izmed 7 igralcev, koliko je vseh možnih ekip? ∙ 7! / (2! ∙ 5!) = 21

99. VERJETNOSTNI RAČUN 99.1 Pojasnite osnovne pojme verjetnostnega računa: - poskus, - dogodek (slučajni dogodki, nemogoči in gotovi dogodki, elementarni dogodki, sestavljeni dogodki), - vzorčni prostor. 99.2 Povejte primer poskusa in navedite nekaj dogodkov v tem poskusu. Kateri med njimi so nemogoči, gotovi, elementarni in kateri sestavljeni dogodki?

99.1 ∙ Poskus je aktivnost, ki jo izvedemo vedno na enak način in pri enakih pogojih. V večini primerov je izid poskusa naključen. ∙ Dogodek je pojav, ki se pri danem poskusu zgodi ali pa ne. - Gotov dogodek je dogodek, ki se v vsaki ponovitvi poskusa gotovo zgodi. - Nemogoč dogodek je dogodek, ki se v nobeni ponovitvi poskusa ne more zgoditi. - Slučajni dogodek je dogodek, ki se v nekaterih ponovitvah poskusa zgodi, v nekaterih pa ne. - Elementarni dogodek je dogodek, ki ni sestavljen. - Sestavljeni dogodek, je dogodek, ki ga lahko izrazimo kot vsoto vsaj dveh med seboj nezdružljivih dogodkov od katerih noben ni nemogoč dogodek. ∙ Vzorčni prostor je množica vseh elementarnih dogodkov poskusa. 99.2 ∙ Mečemo pošteno igralno kocko. ∙ Elementarni dogodki: pade 1 ali 2 ali 3 ali ... pik ∙ Nemogoči dogodek: pade več kot 6 pik ∙ Gotovi dogodek: pade manj kot 7 pik ∙ Sestavljeni dogodek: pade liho število pik