STA 202 - Einfache Anwendungen der Statistik (Lerneinheit 2) - Verhältniszahlen, Zeitreihen, Bestandsanalyse

Zeitreihen: Wozu?

- Berechnung eines vorhandenen Trends, einer Entwicklungstendenz - Aus Vergangenheitswerten auf Zukunftswerte schliessen (Prognose durchführen)

wesentliche Grundeigenschaften von Beziehungszahlen

- Eine Art Mittelwert wird berechnet ("Der Durchschnittsdeutsche konsumiert ... pro Kopf."). - Es wird nicht für einzelne Personen ein Mittelwert gerechnet (Stichprobe), sondern zwei hochaggregierte Grössen werden verwendet, die auf völlig unterschiedliche Weisen bestimmt wurden (z.B. Jahreswerte bezogen auf D). - Das Ergebnis hat i.d.R. eine Masseinheit, z.B. l/Kopf und ist nicht auf einen Bereich beschränkt (z.B. zwischen 0 und 1).

Sauberes Vorgehen zur Berechnung von Quoten

- Exaktes Definieren und Abgrenzen, welche Teil- und welche Gesamtmenge betrachtet werden. Teilmengen müssen überlappungsfrei sein. Es wird festgelegt, ob Mengen (z.B. Absatzzahlen) oder Werte (z.B. Umsätze) betrachtet werden. - Der Zähler ist zu bestimmen. Z.B. eigener Marktanteil. - Der Nenner ist zu bestimmen. Häufig schwierig, weil z.B. die Verkaufszahlen der Gesamtbranche nicht bekannt sind.

Welche Problematiken stellen sich bei Beziehungszahlen am Bsp. des Alkoholkonsums pro Kopf?

- Gesamtmenge Alkohol geteilt durch Gesamtzahl der Bevölkerung: unsinnig, Kinder eingerechnet. Altersgrenze 16 J. ist auch +/- willkürlich. - Der in D konsumierte Alk wird ausschliesslich in D gekauft oder offiziell eingeführt. Alk, der z.B. als Urlaubssouvenir gekauft wurde, fehlt in der Berechnung. Ebenso fehlt der Alk, den Dt. im Ausland konsumieren (Zechtouren). - Der in D verkaufte Alk wird nur von der dt. Bevölkerung getrunken (nicht von Touristen). - Illegale Quellen bleiben aussen vor. Länder mit hoher Restriktionspolitik werden eine offizielle Zahl und eine "geschätzte Dunkelziffer" haben.

Je grösser α in der Formel für geglättete Werte, ...

... desto geringer die Glättung und desto schneller folgt die geglättete Zeitreihe den tatsächlichen Werten.

Exponentielle Glättung 2. Ordnung (Vorgehensweise)

1. Schritt: exponentielle Glättung erster Ordnung 2. Schritt: Auf die ermittelten Werte wird erneut eine exponentielle Glättung angewendet. Werte nach der einer Glättung mit 1 Dach, Werte nach zwei Glättungen mit 2 Dächern darstellen.

In der Praxis lässt sich oft nicht mit vertretbarem Aufwand ermitteln, wann genau Zu- und Abgänge erfolgt sind, z.B. Kaufvorgänge in einem Supermarkt. Welche zwei Modelle kommen deshalb zur Anwendung?

1. alle Zu- und Abgänge finden gleichverteilt während der jeweiligen Periode statt 2. alle Zu- und Abgänge konzentrieren sich exakt auf das Periodenende

Bestandsermittlung: Wie?

1. mittels Inventur (durch Zählen oder Messen an einem Stichtag) 2. wenn für jedes einzelne Element Aufzeichnungen zum individuellen Zu- und Abgang existieren 3. kontinuierliche Bestandsfortschreibung

3 naive Prognoseverfahren für das Bsp. x1 = 200, x2 = 200, x*3 = ?

1. à la Wettervorhersage: Morgen wird das Wetter gleich wie heute. x*3 = x2 = 210 2. Fortschreibung der letzten absoluten Änderung. x*3 = x2 + (x2 - x1) = 210+10= 220 3. Fortschreibung der letzten relativen Änderung. x*3 = x2 mal x2 geteilt durch x1 = 210 mal 210:200 = 220.5

Endwert mittels variabler Wachstumsrate (Formel)

Anfangswert mal Wachstumsfaktor 1 mal Wachstumsfaktor 2 mal Wachstumsfaktor 3 mal ... etc.

Indexzahlen (Definition)

Bei Indexzahlen fliesst - im Gegensatz zu Messzahlen - nicht nur die Entwicklung einer einzigen Grösse in die Berechnung ein, sondern die Entwicklung mehrerer, unterschiedlicher Grössen, die sich mehr oder weniger unabhängig voneinander ändern. Indexzahlen zeigen die Gesamtentwicklung mehrere Werte über die Zeit. Sie entsprechen dabei einem gewichteten Mittel der einbezogenen Einzelwerte.

Rate (Definition)

Bei Verursachungszahlen: Wenn eine Ereignismasse durch eine Bestandsmasse geteilt wird (z.B. Geburtenrate).

Verhältniszahl (allg. Formel)

Berichtsgrösse : Basisgrösse

Wobei hilft einem eine Verhältniszahl?

Dabei, absolute Angaben einzuordnen. Ist 1 Mio. Umsatz viel oder wenig? Ist 1 mm Abweichung viel oder wenig? Eine Verhältniszahl hilft dabei, eine solche Information einzuordnen. Es braucht nebst dieser absoluten Angabe auch eine Bezugsgrösse.

Welche Gefahr besteht beim Berechnen der durchschnittlichen Wachstumsrate?

Dass die Perioden falsch gezählt werden. Bei 4 Werten, zu 4 Zeitpunkten, ist mit t=3 zu rechnen, 3 Veränderungen = 3 Wachstumsperioden. Der vierte (bzw. erste) ist der Ausgangswert.

exponentielle Glättung und Prognoseverfahren: Wie?

Der Glättungswert x Dach t (für die Periode t) kann unmittelbar als Prognosewert x* t+1 (für die Periode t+1) verwendet werden. Man geht vereinfacht gesagt davon aus, dass der bisherige Wert auch in der nächsten Periode zutrifft. Findet nun z.B. eine Erhöhung statt, kann man entweder den neuen Wert als künftiges Niveau annehmen oder die Veränderung als eher einmaligen Vorgang betrachten, der für die Zukunft nicht von Belang ist. Je nachdem, welche dieser beiden Einstellungen überwiegt, wird man über den Gewichtungsfaktor α den bisherigen oder den neuen Wert mehr berücksichtigen.

Wodurch unterscheidet sich der Preisindex nach Paasche vom Preisindex nach Laspeyres?

Der Preisindex nach Paasche verwendet als Gewichtungsfaktoren nicht die Mengen der Basisperiode (q i,0), sondern diejenigen der aktuellen Periode (q i,t).

Prognosewert vs. geglätteter Wert (Definition)

Der Prognosewert (x*) für die kommende Periode (t+1) ist gleich dem geglätteten Wert (x Dach) für die aktuelle Periode (t). Der Prognosewert (x*) für die heutige Periode ist gleich dem geglätteten Wert (x Dach) für die Vorperiode (t-1).

Trendextrapolation (Definition)

Der Trend, den man zuvor mit geeigneten Methoden ermittelt hat, wird in die Zukunft fortgeschrieben. I.d.R. wird die Methode der kleinsten Quadrate verwendet (die Methode der gleitenden Durchschnitte könnte auch verwendet werden). Es wird die Formel angewendet, die man mittels Methode der kleinsten Quadrate ermittelt hat. x* (tiefgestellt) t+1 = f(t+1)

Verkettung von Indizes: Warum und wie?

Der Warenkorb, der einem Index zugrunde liegt, muss in regelmässigen Abständen angepasst werden. Es entsteht ein neuer Warenkorb, der mit 100% beginnt. Preisveränderungen über eine längere Zeit können nur mittels Verkettung von Indizes über eine solche Zeit hinaus berechnet werden. Bsp: 1985: 100% 1988: 101.4% 1994: 110.6% 1991: 110.7%, neuer Index > 110.7% ist neu 100% 1995: 112.5%, neuer Index > 112.5% ist neu 100% etc.

Prognosewert (Formel)

Der Wert x t (für die aktuelle Periode) wird (mittels α gewichtet) addiert zu: 1. x Dach der Vorperiode (ebenfalls gewichtet) 2. x* der aktuellen Periode (ebenfalls gewichtet) (denn x Dach der Vorperiode = x* der aktuellen Periode)

Wie rechnet sich die kontinuierliche Bestandsfortschreibung?

Der aktuelle Bestand entspricht dem Bestand der Vorperiode plus Zugänge minus Abgänge der aktuellen Periode. Sind die Gesamtzu- und -abgänge eines Bestandes seit Beginn bekannt, kann man auch vom Anfangsbestand ausgehen.

Was macht die Definition der exponentiellen Glättung zu einer rekursiven Definition?

Der geglättete Wert der Vorperiode muss irgendwoher bekannt sein. Er berechnet sich wiederum aus der vorletzten Periode, dieser wiederum aus der vorvorletzten Periode, dieser wiederum aus der vorvorvorletzten Periode, usw. > In der Praxis (und in Prüfungen) muss deshalb ein Wert für die erste betrachtete Periode bekanntgegeben werden.

Unterschied Prozent vs. Prozentpunkte

Die ABSOLUTE Veränderung von Prozentwerten - berechnet durch die Differenz der Werte - wird nicht in der Einheit % angegeben, sondern in ProzentPUNKTEN (manchmal auch kurz "PUNKTEN"). Es ist grundsätzlich eine Angabe der relativen Veränderung in % möglich. Bei Werten unter 100% ist die relative Änderung immer > die absolute Änderung. Achtung: Missverständnisse vorprogrammiert, denn es wird häufig von Prozentpunkten ausgegangen, aber Prozent gesagt!

Was ist und wozu dient die sog. Zeitmengenfläche?

Die Fläche zwischen der Bestandskurve und der Nulllinie. Die Zeitmengenfläche F 0,m braucht es für die Berechnung des Durchschnittbestands sowie weiterer Kennzahlen der Bestandsanalyse.

Regel für Quoten

Die Teilmenge im Zähler der Quote ist IMMER auch Teil der Gesamtmenge im Nenner.

Wozu eine exponentielle Glättung zweiter Ordnung?

Ein Nachteil der exponentiellen Glättung ist, dass die berechneten Werte einem vorhandenen Trend hinterherlaufen (unabhängig vom Startwert). Die exp. Glättung 2. Ordnung löst dieses Problem.

Wodurch unterscheidet sich ein Mengenindex von einem Preisindex?

Ein Preisindex beschreibt die Änderung der Kosten bei konstanten Mengen aufgrund von Preisänderungen. Ein Mengenindex beschreibt hingegen, welche Änderungen der Ausgaben auftreten würden, wenn die Preise konstant bleiben, aber die Mengenänderungen berücksichtigt werden. Bsp. Aufgrund der veränderten (Konsum-)mengen hätte man ca. 3% weniger ausgegeben, wenn die Preise konstant geblieben wären.

Unterschied Prozent vs. Prozentpunkte (Bsp.)

Eine Grösse erhöht sich von 10 auf 15. > Steigerung von 50%. Eine Partei steigert ihr Wahlergebnis von 10% Wähleranteil auf 15% Wähleranteil. > Steigerung von 50%. Meistens interessiert aber eher der absolute Anstieg, hier 5 ProzentPUNKTE.

Wann wird welche Ordnung gewählt für die Berechnung der gleitenden Durchschnitte?

Eine höhere Ordnung verringert den Einfluss der Zufallskomponente und einmaliger Einflüsse. Bei unterjährigen steht das Eliminieren der Saisonkomponente im Fokus: die Ordnung k muss zwingend der Anz. der beobachteten Perioden innerhalb eines Jahres entsprechen. Bei Quartalswerten also k=4, bei Monatswerten k=12.

Zeitreihe (Definition)

Eine i.d.R. metrische Grösse bzw. eine Merkmalsausprägung eines bestimmten Merkmalsträgers wird zu verschiedenen Zeitpunkten bzw. Zeiträumen erfasst.

Periodendauer (Formel)

Ende des Zeitraums minus Beginn des Zeitraums geteilt durch Anzahl Perioden

Endwert mittels konstanter Wachstumsrate (Formel)

Endwert bzw. Wert heute (x t) ist Anfangswert (x 0) mal (1 + Wachstumsrate) hoch Anz. Perioden (t)

Gleitende Durchschnitte (Definition)

Es wird das arithm. Mittel gebildet für eine Anz. k unmittelbar aufeinanderfolgende Werte > gleitender Durchschnitt k-ter Ordnung (z.B. 4. Ordnung). Die errechneten Werte bilden selbst eine Zeitreihe.

Trendbestimmung (Definition)

Es wird die grundlegende Tendenz einer Zeitreihe ermittelt. Dazu werden kurzfristige Schwankungen (insb. Saison) und nichtsystematische Einflüsse eliminiert. Auch der Anteil der Konjunktur kann bei bestimmten Verfahren weitgehend herausgerechnet werden.

Wie unterscheiden sich Beziehungszahlen von Quoten (Gliederungszahlen)?

Es wird nicht eine Teilmenge in Bezug auf eine Gesamtmenge betrachtet, sondern es werden zwei getrennte Mengen in Beziehung zueinander gesetzt. Die beiden Mengen sollten aber einen inhaltlichen Zus.hang aufweisen.

Wachstumsfaktor (Definition)

Gibt an, mit welchem Faktor man den Ursprungswert multiplizieren muss, um den neuen Wert zu erhalten.

Preisindex nach Laspeyres (Definition)

Gibt an, wie viel man in der Periode t im Vergleich zur Periode 0 ausgeben muss, wenn man die n Güter in den gleichen Mengen kaufen möchte.

2 Verfahren zur Trendbestimmung

Gleitende Durchschnitte Methode der Kleinsten Quadrate

Quote (Formel, Blick auf Anzahl)

Grösse (Anzahl) hi der betrachteten i-ten Teilmenge in Bezug zur Gesamtzahl n

Messzahlen (Definition)

Im Gegensatz zu Verhältniszahlen, bei denen zwei unterschiedliche Grössen in Bezug gesetzt werden, handelt es sich bei Messzahlen um eine einzige Grösse, die jedoch zu verschiedenen Zeitpunkten erhoben wird.

Was zeigt sich am Bsp. "Liter pro 100km" vs. "Miles per Gallon"?

In Beziehungszahlen lassen sich grundsätzlich Zähler und Nenner vertauschen.

Gleitende Durchschnitte: Welcher Periode wird der mittels arithm. Mittel errechnete Wert zugeordnet?

In der Statistik: immer der mittleren der k Perioden. > zentrierter gleitender Durchschnitt In Chart-Analysen von Aktienkursen, in der Marktforschung und in Excel: meist der letzen der k Perioden > nicht zentrierter gleitender Durchschnitt

Wie kann man feststellen, ob die Berechnung einer Quote stimmen kann? Stimmt z.B. die folgende Berechnung der Arbeitslosenquote? Anz. der Arbeitslosen geteilt durch diejenigen, die Arbeit haben

Indem man sie mit extremen Werten durchspielt. Bsp. Arbeitslosenquote: Hätte die Hälfte der betrachteten Personen Arbeit und die andere nicht, so länge die Quote bei 100%. Wird 1 weitere Person arbeitslos, liegt die Quote gar über 100%. Das ist offensichtlich unsinnig.

Messzahl Querschnittsanalyse (Formel)

Index t aus der allg. Formel durch Index i ersetzt. Der Index 0 steht hier für das Bezugsland (i.d.R. das eigene), x0 ist die Ausprägung der Grösse in diesem (eigenen) Land.

Welche Masseinheit hat eine Quote?

Keine, sie ist immer dimensionslos. Das Ergebnis ist immer ein Wert zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0% und 100% (ohne Einheit wie Stück o.ä.).

Längsschnittanalyse vs. Querschnittsanalyse

Längs: Messzahlen einer bestimmten Grösse werden über die Zeit betrachtet. Quer: Messzahlen für verschiedene Grössen werden für denselben Zeitpunkt bzw. Zeitraum betrachtet, z.B. werden verschiedene Länder verglichen.

Bsp für Quoten

Marktanteile, Einschaltquoten, Prozentwerte von Parteien bei einer Wahl

Quote (Formel, Blick auf Umsatz)

Merkmalssummen (z.B. Umsätze) Si im Verhältnis zur Gesamtsumme S (z.B. Gesamtsumme einer Branche)

Methode der kleinsten Quadrate (Definition)

Mit der Methode d. kl. Qu. kann man eine Gerade (oder eine andere Funktion) berechnen, die möglichst gut den Verlauf der Zeitreihe repräsentiert. Es ist eine Funktion x Dach = f(t) zu finden. x Dach = Schätzwert, den die Funktion für ein bestimmtes t liefert. Häufig ist die Funktion linear x Dach = a + b mal t, manchmal auch exponenziell x Dach = a mal b hoch t.

Zeigt der amtliche Preisindex für die Lebenshaltung (der nach der Formel von Laspeyres berechnet wird) die Veränderung der Lebenshaltungskosten?

Nein, denn er überschätzt aufgrund der Substitionseffekte systematisch die tatsächliche Preissteigerungsrate, wie sie sich beim Verbraucher auswirkt. Das Statistische Bundesamt hat deshalb klargestellt, dass der Preisindex für die Lebenshaltung NICHT dazu dient, die Veränderung der LebenshaltungsKOSTEN zu messen, auch wenn das häufig so dargestellt werde.

Zeitmengenfläche (Formel bei Bestandsänderungen am Periodenende)

Periodenlänge mal Summe aller Bestände t m = Ende der Zeitperiode t 0 = Anfang der Zeitperiode m = Anz. Perioden B j = aktueller Bestand ▲ = Periodenlänge

Wofür steht p i,0 in der Formel für den Preisindex nach Laspeyres?

Preis für das i-te Produkt in der Ausgangsperiode 0

Wofür steht p i,t in der Formel für den Preisindex nach Laspeyres?

Preis für das i-te Produkt in der Periode t

Unterschiede Quote vs. Rate

Quote: ist immer dimensionslos, zwischen 0% und 100%. Definiert einen Anteil an einer Gesamtmenge. Rate: hat eine Dimension, ist eine Beziehungszahl, bei der Ereignisse in Relation zu einem Bestand betrachtet werden.

Welche Eigenschaft muss die Teilmenge einer Quote zwingend haben?

Sie muss überlappungsfrei sein (disjunkt). Teilmengen dürfen sich nicht überschneiden. Das betrachtete Merkmal darf nicht häufbar sein.

Beziehungszahl (allg. Formel)

Umfang Menge 1 : Umfang Menge 2

Bestand (Definition)

Umfang der Bestandsmasse zu einem Zeitpunkt t, Symbol B t. Als Einheit kommen z.B. Stk., kg, Liter, etc. in Frage.

Quote (Gliederungszahl, Formel)

Umfang der betrachteten Teilmenge : Umfang der Gesamtmenge

Wie lange dauern die Ereignismassen Zu- und Abgänge?

Unendlich kurz. Sie weisen keine Lebensdauer auf.

Unterschiedliche Arten von Verhältniszahlen

Vergleiche von Massen (Querschnittsdaten ohne Zeitbezug): - Quoten (Gliederungszahlen) - Beziehungszahlen --- Verursachungszahlen --- Entsprechungszahlen Zeitreihen: - Messzahlen und Indexzahlen (feste Basis) - Wachstumsraten und -faktoren (variable Basis)

Weitere Problematiken bei Beziehungszahlen am Bsp. des Zigarettenkonsums?

Verkaufte Zigaretten durch Bevölkerungszahl ab 16 Jahren. Raucher und Nichtraucher werden gleichermassen gerechnet. Erlaubt zwar einem Tabakkonzern, die potenziellen Absatzzahlen zu rechnen. Zur Intensität des Tabakkonsums sagt das aber nichts aus, den 2/3 der erwachsenen Bevölkerung in D sind Nichtraucher. Besser also nur die rauchende Bevölkerung einrechnen, für eine Aussage wie "Der durchschnittl. dt. Raucher konsumiert am Tag im Schnitt x Zigartetten.".

Wachstumsrate (Definition)

Veränderung einer Grösse über die Zeit: Der Wert (x t) einer Periode t wird mit dem Wert (x t-1) der Vorperiode (t-1) verglichen. Die Wachstumsrate wird üblicherweise in Prozent angegeben. Die Wachstumsrate kann auch negativ sein (wenn der neue Wert kleiner ist als der bisherige).

Vor- und Nachteile der Tatsache, dass der Preisindex nach Laspeyres die Mengen in der Basisperiode (Ausgangsperiode) als Gewichtungsfaktoren verwendet (Index 0 im Gewichtungsfaktor q i,0)?

Vorteil: - Der einmal festgelegte Warenkorb kann über mehrere Perioden beibehalten werden, z.B. 5 Jahre. Aufwand und Kosten für eine jährliche Neugewichtung werden eingespart. Nachteile: - Normale Änderungen der Konsumgewohnheiten sowie neue Güter werden nicht bzw. nicht in angemessenem Mass berücksichtigt (z.B. Handys, etc.). Die Repräsentativität des Index nimmt mit wachsendem Abstand vom Basisjahr ab. - Substitutionseffekte sind nicht abgebildet. Solche treten bei Preiserhöhungen einzelner, bestimmter Produkte ein, dass z.B. billigere Margarine gekauft wird, weil Butter massiv teurer wird.

Warum ist bei einer geschlossenen Bestandsmasse der Zusammenhang Z 0,m = A 0,m = n gegeben?

Weil Anfangs- und Endbestand gleich 0 sind. Die Summe der Zu- und der Abgänge muss gleich sein und der Anzahl aller Elemente entsprechen (n), die im betrachteten Zeitraum in der Bestandsmasse enthalten waren.

Bei geschlossenen Bestandsmassen reicht eine Formel. Warum?

Weil B0 = Bm = 0. Weil also von B0 und von Bm je die Hälfte in die Formel einfliesst (also wiederum 0), können beide Teile weggelassen werden. Es bleibt dann bei Periodenlänge mal Summe aller Bestände von t0 bis t m-1.

zentrierter gleitender Durchschnitt ungerader Ordnung (z.B. 4. Ordnung, 6. Ordnung, etc.) (Formel)

Weil der zentrale Wert zwischen 2 Perioden liegen würde, wird mit k+1 Perioden gerechnet, die äussersten zwei Perioden aber nur zu 1/2. In einem Bsp. mit k=4 werden 5 Werte einbezogen, aber der erste und der letzte nur zu 1/2.

Warum können statt des Integrals vereinfachte Formeln verwendet werden?

Weil die verwendeten Modelle relativ einfache Formen der Bestandsänderungen aufweisen.

Bestandsanalyse: Warum kann der Bestand i.d.R. nicht negativ werden?

Weil von physischen Gütern ausgegangen wird.

Verursachungszahlen (Definition)

Wenn die Zählermasse in irgendeiner Form von der Nennermasse "verursacht" wird. Z.B. Geburtenrate (Lebendgeborene durch Wohnbevölkerung, Geburten pro 1000 Einwohner): Die Wohnbevölkerung hat die Geburten "verursacht".

Entsprechungszahlen (Definition)

Wenn keine Kausalbeziehung zwischen Zahl im Nenner und im Zähler vorliegt. Z.B. Bevölkerungsdichte (Einwohner pro km2): Die Fläche hat wohl kaum die Einwohner verursacht.

geschlossene Bestandsmasse (Definition)

Wenn sowohl Anfangs- (B0) wie auch Endbestand (Bm) gleich 0 sind.

Durchschnittliche Wachstumsrate mit Anfangs- und Endwert (Formel)

Wert heute (nach allen Wachstumsperioden = Veränderungen) geteilt durch Anfangswert. Davon die sovielte Wurzel wie Perioden vorliegen. Minus 1.

Wachstumsfaktor (Formel)

Wert heute geteilt durch Wert Vorperiode

Wachstumsrate (Formel und Bsp)

Wert heute minus Wert Vorperiode geteilt durch Wert Vorperiode

Exponentielle Glättung (Definition)

Wird in der Praxis relativ häufig angewendet. Eignet sich - für das Glätten von Zeitreihen, um kurzfristige Schwankungen auszugleichen - für Prognosen. Grundidee: Für die Prognose der nächsten Periode wird nicht nur der aktuelle Wert verwendet, sondern auch alle früheren Werte, wobei das Gewicht der älteren Werte mit steigendem Abstand immer geringer wird. Es wird unterschieden zwischen geglättetem Wert x Dach und Prognosewert x*.

Zu welchen Zeitpunkten wird der Bestand bestimmt?

Zu diskreten, äquidistanten Zeitpunkten (t j, mit j = 0, 1, 2, ..., m). Der Bestand zu einem best. Zeitpunkt tj wird als Bj bezeichnet.

Welche Ereignismassen stehen der Bestandsmasse gegenüber?

Zu- und Abgänge

Verweildauer (d i) (Definition)

bezeichnet die Länge der Zeitspanne, die ein einzelnes, bestimmtes Element der Bestandsmasse angehört hat

Zeitmengenfläche (Formel, Integral)

das bestimmte Integral zwischen t 0 und t m

Was bezeichnet zj?

die Summe aller Zugänge im Zeitintervall (t j-1;tj], also alle Zugänge vom Zeitpunkt j-1 bis zum Zeitpunkt j, wobei ( bedeutet, dass die Klassengrenze nicht eingerechnet ist, ] aber schon

Was bezeichnet Z 0,j?

die Summe aller Zugänge im Zeitintervall (t0; tj]

Wofür steht p 0,t in der Formel für den Preisindex nach Laspeyres?

durchschnittlicher Preis in der Periode t relativ zur Ausgangsperiode 0

Welche Werte für t eingesetzt in der Formel in der Methode der kleinsten Quadrate?

entweder Periodenzahlen 1, 2, 3, etc. oder konkrete Jahreszahlen (2001, 2002, 2003, etc.)

Berechnung Verhältnis zweier Indizes

erhobener Wert für ein bestimmes Jahr mal 100 geteilt durch Wert nach altem Index Bsp: P (1995,94) = 110.6 x 100 : 112.5 = 98.3 P (1995,88) = 101.4 x 100 : 110,7 x 100 : 112.5 = 81.4

Durchschnittliche Wachstumsrate (Formel)

geometrisches Mittel der Wachstumsfaktoren minus 1

zentrierter gleitender Durchschnitt ungerader Ordnung (z.B. 3. Ordnung, 5. Ordnung, etc.) (Formel)

k = 2p + 1 p = Anz. Perioden vor der zentralen Periode und Anz. Perioden nach der zentralen Periode. In einem Bsp. mit 9 Perioden stellt die 5. Periode die zentrale Periode t dar. p beträgt in diesem Fall 4.

nicht zentrierter gleitender Durchschnitt (Formel)

keine Unterscheidung zwischen gerader und ungerader Ordnung nötig

Messzahl (Formel)

m 0,t beschreibt die relative Veränderung der Grösse X in der Periode t im Vergleich zur Bezugsperiode 0. Die Messzahl ist dimensionslos.

Komponenten einer Zeitreihe

systematische Komponenten - Trend: langfristige Grundrichtung der betrachteten Grösse, z.B. ein steigender Trend, auch wenn häufig eine kurzfristige Veränderung zu beobachten ist. - Konjunktur: Die volkswirtschaftliche Entwicklung weist normalerweise +/- zyklische Schwankungen auf. - Saison: branchenabhängig gibt es Schwankungen abhängig von der Saison. Bei Periodendauer = 1 Jahr ist keine Saisonkomponente enthalten. nichtsystematische Komponenten - Kalenderunregelmässigkeiten: Anzahl der Tage in einem Monat, Feiertagstermine (unterschiedliche Wochentage, z.B. Weihnachten, unterschiedliche Monate, z.B. Ostern), Anz. Wochenenden in einem Monat - Zufallskomponente: Nahezu alle wirtschaftlich relevanten Grössen stellen die Summe einer grossen Anzahl von mehr oder weniger zufälligen Einzelereignissen dar (z.B. konkrete Kaufvorgänge), auf die zudem noch äussere Zufallseinflüsse (z.B. Wetter) wirken. einmalige Effekte: - Ausreisser: kurz andauernde Änderung in der Zeitreihe als Reaktion auf ein bestimmtes Ereignis (Lebensmittelskandal, Kriege, politische/militärische Ereignisse) - Strukturbruch: Ein Ereignis führt zu einer dauerhaften Änderung des Verlaufs (Trends) einer Zeitreihe (dt. Wiedervereinigung, erhöhte Energiepreise nach Ölkrise, etc.). Ein Strukturbruch beeinflusst eine Zeitreihe irreversibel!

geglätteter Wert (Formel)

x Dach t: geglätteter Wert für Periode t x t: tatsächlicher Wert Periode t x Dach t-minus-1: geglätteter Wert der Vorperiode α : Gewichtungsfaktor > Mittels α gewichtetes arithm. Mittel aus dem aktuellen Wert der Periode t und dem geglätteten Wert der letzten Periode

Schreibweise des Mittelwerts

x quer allg. für den Mittelwert 3 für 3. Ordnung 2 für die Periode, der der Wert zugeordnet wird