Geometrie 1

U4

(Paschův axiom) Jsou-li A, B, C tři body, které neleží v přímce, a p přímka roviny určené body A, B, C, která neprochází žádným z bodů A, B, C a která obsahuje jistý bod D ležící mezi body A, B, potom obsahuje přímka p buď jistý bod E ležící mezi body B, C, nebo jistý bod F ležící mezi body C, A.

Lomená čára

A0A1A2...An, (n > 1), rozumíme sjednocení všech úseček A0A1, A1A2,..., An-1An konečné posloupnosti úseček, z nichž žádná neleží v přímce, která obsahuje přecházející (následující) úsečku této posloupnosti.

Vnitřní bod

Bod A se nazývá vnitřní bod útvaru U v množině M právě tehdy, když existuje alespoň jedno jeho okolí v množině M, jehož každý bod je bodem útvaru U.

Vnější bod

Bod B se nazývá vnějšíí bod útvaru U v množině M právě tehdy, když existuje alespoň jedno jeho okolí v množině M, jehož žádný bod nepatří do útvaru U.

Hraniční bod

Bod C se nazývá hraniční bod útvaru U v množině M právě tehdy, když každé jeho okolí v množině M obsahuje jak body, které patří útvaru U, tak body, které nepatří útvaru U.

Vedlejší úhly

Dva styčné úhly, jejichž sjednocením je přímý úhel, nazýváme vedlejší úhly.

Věta o vzájemné poloze dvou přímek

Dvě přímky v prostoru mají právě jednu z těchto čtyř vzájemných poloh: A. přímky splývají B. přímky mají jeden společný bod C. přímky nemají společný bod a leží v téže rovině D. přímky nemají společný bod a neleží v žádné rovině. Přímky z případů A. a C. nazýváme rovnoběžné, z případu B. různoběžné a z případu D. mimoběžné.

Kolmost rovin

Dvě roviny jsou k sobě kolmé právě tehdy, když v jedné z těchto dvou rovin existuje přímka, která je kolmá ke druhé z těchto rovin.

Věta o vzájemné poloze dvou rovin

Dvě roviny mají právě jednu z těchto tří vzájemných poloh: A. obě roviny splývají B. roviny mají společnou právě jednu přímku C. roviny nemají společný žádný bod Dvě roviny v případech A. a C. nazýváme rovnoběžné, v případě B. různoběžné. Společná přímka v případě B. se nazývá průsečnice rovin.

Kolmé různoběžky

Dvě různoběžky nazýváme kolmé právě tehdy, když úhel APB je pravý.

I3

Existuje aspoň jedna trojice bodů, která neinciduje se žádnou přímkou.

I8

Existuje aspoň jedna čtveřice bodů, která neinciduje v žádnou rovinu.

Eukleidovská geometrie

Geometrie absolutní + axiom rovnoběžnosti, formulovaný původně jako V. Eukleidův postulát.

Absolutní geometrie

Geometrie vybudovaná jen z uvedených čtyř skupin axiomů (incidence, uspořádání, shodnosti a spojitosti).

Neeukleidovská geometrie / geometrie Lobačevského

Geometrie, která k prvním čtyřem skupinám axiomů přidává negaci axiomu rovnoběžnosti. (Tj. v axiomu rovnoběžnosti nahradí tvrzení "existuje právě jedna", buď tvrzením "neexistuje žádná" nebo "existují alespoň dvě".)

I7

Incidují-li dvě různé roviny s týmž bodem, pak existuje alespoň jeden další bod, se kterým obě tyto roviny incidují.

S3

Je-li AB ≅ CD a CD ≅ EF, pak je AB ≅ EF.

S1

Je-li AB ≅ CD, je A ≠ B a C ≠ D. Pro každé dva různé body A, B platí AB ≅ BA.

Kriterium kolmosti přímky a roviny

Je-li přímka p kolmá ke dvěma různoběžkám a, b roviny σ, pak je kolmá k rovině σ.

Kritétium rovnoběžnosti přímky a roviny

Je-li přímka p rovnoběžná alespoň s jednou přímkou roviny ρ, je přímka p s rovinou ρ rovnoběžná.

Polokružnice

Je-li tětiva AB průměrem, nazýváme oblouky s krajními body A, B polokružnice. Není-li AB průměr, pak oblouk, který leží v polorovině ABS nazýváme větší oblouk a oblouk v polorovině opačné k polorovině ABS nazýváme menší oblouk s krajními body A, B.

I6

Jestliže dva navzájem různé body přímky incidují s rovinou, pak s touto rovinou incidují všechny body této přímky.

U2

Jsou-li A, B dva různé body, pak na přímce procházející body A, B existuje aspoň jeden bod C takový, že bod B leží mezi body A, C.

Tětiva

Jsou-li body A, B dva různé body kružnice k, pak úsečka AB se nazývá tětiva kružnice k.

Geometrický útvar

Každá neprázdná množina bodů prostoru. Bude-li podmnožinou jisté roviny, budeme ho nazývat rovinný geometrický útvar. Nebude-li podmnožinou žádné roviny, budeme ho nazývat prostorový geometrický útvar.

I2

Každá přímka inciduje alespoň se dvěma různými body.

I5

Každá rovina inciduje aspoň s jedním bodem.

I1

Každé dva navzájem různé body incidují s jedinou přímkou.

Shodnost úhlů konvexních

Konvexní úhel AV B je shodný s konvexním úhlem CU D právě tehdy, když na polopřímkách UC, UD existují takové body A', B', že platí: UA' ≅ VA, UB' ≅ VB a A'B' ≅ AB

U1

Leží-li bod B mezi body A, C, jsou A, B, C tři různé body přímky a platí též, že bod B leží mezi body C, A.

S4

Leží-li bod C mezi body A, B, bod C' mezi body A', B' a platí-li AC ≅ A'C', BC ≅ B'C', pak platí AB ≅ A'B'.

Jednoduchá lomená čára

Lomená čára, jejíž každé dvě nesousední strany jsou disjunktní - tzn. žádné dvě nesousední strany nemají společný bod.

Kolmost mimoběžek

Mimoběžné přímky a, b jsou kolmé právě tehdy, když existuje taková přímka a', a' II a, že přímky a', b jsou kolmé různoběžky.

Konvexní mnohoúhelník

Mnohoúhelník, který je konvexní množinou bodů.

Mnohoúhelník

Mnohoúhelníkem A1A1...An nazýváme sjednocení jednoduché uzavřené lomené čáry A0A1A2...An (A0 = An) s její vnitřní oblastí.

Konvexní množina bodů

Množina bodů se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva její body X, Y platí, že úsečka XY je její podmnožinou. Prázdnou množinu a jednobodové množiny považujeme také za konvexní. M je konvexní množina ⇔ (∀X, Y ∈ M)[XY ⊂ M ∨ M = ∅ ∨ M = {X}]

Nekonvexní množina bodů

Množina bodů, která není konvexní se nazývá nekonvexní. U je nekonvexní množina bodů ⇔ (∃ X, Y ∈ U)[XY * U]

Polopřímka opačná k polopřímce AB

Množina všech bodů prostoru, která obsahuje bod A a dále všechny takové body X, pro které platí, že bod A leží mezi body X, B. |→ AB = {X ∈ Z; X ∈ AB ∨ AµXB}. Bod A nazýváme počátek polopřímky opačné k polopřímce AB.

Úsečka AB

Množina všech bodů prostoru, která obsahuje body A, B a dále všechny body, které leží mezi body A, B. AB = {X ∈ Z; X = A ∨ X = B ∨ XµAB}.

Polopřímka AB

Množina všech bodů prostoru, která obsahuje všechny body úsečky AB a dále všechny takové body X, pro které platí, že bod B leží mezi body A, X. |→ AB = {X ∈ Z; X ∈ AB ∨ BµAX}. Bod A nazýváme počátek polopřímky AB.

Prostor

Množina všech bodů.

Hranice

Množina všech hraničních bodů útvaru U se nazývá hranice útvaru U.

Vnitřek

Množina všech vnitřních bodů útvaru U se nazývá vnitřek útvaru U.

Vnějšek

Množina všech vnějších bodů útvaru U se nazývá vnějšek útvaru U.

S6

Nechť A, B, C a A', B', C' jsou dvě trojice bodů neležících v přímce a nechť platí AB ≅ A'B', BC ≅ B'C' a CA≅ C'A'. Leží-li bod P mezi body A, B, bod P' mezi body A', B' a platí-li, že AP ≅ A'P', je CP ≅ C'P'.

S5

Nechť A, B, C a A', B', K jsou dvě trojice bodů neležících v přímce a nechť AB ≅ A'B'. Pak existuje jediný bod C' poloroviny A'B'K, pro který platí AC ≅ A'C' a BC ≅ B'C'.

Trojúhelník ABC

Nechť A, B, C jsou tři libovolné body neležící v přímce. Trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, ACB, BCA. trojúhelník ABC = |→ ABC ∩ |→ ACB ∩ |→ BCA. Trojúhelník je konvexní útvar, neboť je definován jako průnik polorovin, což jsou konvexní množiny.

Trojúhelník ABC (2. definice)

Nechť A, B, C jsou tři libovolné navzájem různé body neležící v přímce. Trojúhelníkem ABC nazveme množinu všech bodů X prostoru, které patří všem úsečkám AY, kde Y patří úsečce BC. trojúhelník ABC = {X ∈ Z; X ∈ AY ∧ Y ∈ BC}

Čtyřstěn ABCD (2. definice)

Nechť A, B, C, D jsou čtyři body neležící v jedné rovině. Čtyřstěnem ABCD nazveme množinu všech bodů X prostoru, které patří všem úsečkám AY , kde Y patří trojúhelníku BCD. čtyřstěn ABCD = {X ∈ Z; X ∈ AY ∧ Y ∈ trojúhelník BCD}.

Čtyřstěn ABCD

Nechť A, B, C, D jsou čtyři body neležící v jedné rovině. Čtyřstěnem ABCD nazveme průnik poloprostorů ABCD, ABDC, ACDB, CDBA. čtyřstěn ABCD = |→ ABCD ∩ |→ ABDC ∩ |→ ACDB ∩ |→ CDBA.

Čtyřúhelník

Nechť A, B, C, D jsou čtyři body v téže rovině, z nichž žádné tři neleží v přímce. Sjednocení trojúhelníků ABD a BDC nazveme čtyřúhelníkem ABCD právě tehdy, když průnikem těchto trojúhelníků je úsečka BD. Součet vnitřních úhlů čtyřúhelníka je roven 360°.

Nekonvexní úhel AVB

Nechť A, V , B jsou tři body, které neleží v přímce. Potom sjednocení doplňku konvexního úhlu AVB v rovině AVB a polopřímek VA a VB nazýváme nekonvexním úhlem AVB.

Konvexní úhel AVB

Nechť A, V, B jsou tři libovolné navzájem různé body. a) Průnik polorovnin AV B a BV A v případě, že body A, V , B neleží v přímce. b) Leží-li body A, V , B v přímce a bod V leží mezi body A, B, lze za množinu všech bodů konvexního úhlu AVB považovat každou polorovinu s hraniční přímkou AB. c) Leží-li body A, V , B v přímce a bod V neleží mezi body A, B, lze za množinu všech bodů konvexního úhlu AVB považovat každou rovinu obsahující přímku AB i každou polopřímku VA. Vrcholem konvexního úhlu AVB nazýváme ve všech případech bod V, rameny konvexního úhlu nazýváme ve všech případech polopřímky VA, VB. Konvexní úhel AVB, který je definován v případě a), tj. úhel dutý, jehož ramena leží v různoběžných přímkách, lze definovat také takto: Neleží-li body A, V , B v přímce, nazýváme konvexním úhlem AVB množinu všech bodů X roviny AVB, k nimž existuje bod Y úsečky AB takový, že X patří polopřímce VY.

S2

Nechť AB je úsečka, CD polopřímka. Pak existuje jediný bod E polopřímky CD, pro který platí AB ≅ CE.

Tětivový čtyřúhelník

Nechť ABCD je čtyřúhelník. Existuje-li kružnice, která prochází body A, B, C, D nazýváme tento čtyřúhelník tětivový. Součet velikostí každých dvou protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníka je roven 180°.

Tečnový čtyřúhelník

Nechť ABCD je čtyřúhelník. Existuje-li kružnice, která se dotýká všech jeho stran, nazýváme tento čtyřúhelník tečnový. Součty velikostí protějších stran tečnového čtyřúhelníka jsou si rovny.

Osa úhlu

Nechť AV B je úhel, který není plný ani nulový. Pak osou úhlu AV B nazýváme přímku VX právě tehdy, když bod X leží v téže rovině jako úhel AV B a platí, že konvexní úhel AV X je shodný s konvexním úhlem BV X. Osou plného nebo nulového úhlu AV B rozumíme přímku VA, resp. VB.

Vzdálenost geometrických útvarů

Nechť M je množina všech bodů, přímek a rovin. Vzdáleností geometrických útvarů U1, U2 ∈ M rozumíme délku nejmenší úsečky XY, kde X ∈ U1 a Y ∈ U2. Značíme |U1U2|.

Vzdálenost uzavřených geometrických útvarů

Nechť M je množina všech geometrických útvarů v rovině (prostoru). Vzdáleností uzavřených geometrických útvarů U1, U2 ∈ M rozumíme délku nejmenší úsečky XY, kde X ∈ U1 a Y ∈ U2. Značíme |U1U2|.

Sférické okolí bodu

Nechť N je bodová množina (rovina, prostor, popř. jiná bodová množina), A je bod, A ∈ N, δ ∈ R+. Množina bodů Oₙ(A, δ) = {X ∈ N: |AX| < δ} se nazývá sférické okolí bodu A v množině M.

Středový úhel

Nechť S je střed kružnice k a AB její tětiva, která není průměrem. Pak úhel <ASB nazýváme středový úhel příslušný menšímu oblouku kružnice k s krajními body A, B. Úhel⊂<ASB nazýváme středový úhel příslušný většímu oblouku kružnice k s krajními body A, B. Je-li úsečka AB průměrem kružnice k, vzniknou dva přímé úhly ASB, které též nazýváme úhly středové, z nichž každý přísluší té polokružnici s krajními body A, B, která je jeho podmnožinou.

Přenášení úhlů

Nechť je dán <AVB a polorovina KLM. Na polopřímce KL sestrojíme bod A' tak, že KA' ≅ VA. V polorovině KLM sestrojíme bod B' tak, že KB' ≅ VB a AB ≅ A'B'.

Koule

Nechť je dán bod S a úsečka r. Koulí κ o středu S a poloměru r nazýváme sjednocení všech úseček SX v prostoru, které jsou shodné s úsečkou SX. Nechť je dán bod S a reálné číslo r > 0. Koulí κ o středu S a poloměru r se nazývá množina všech bodů X v prostoru, jejichž vzdálenost od středu S je nejvýše rovna r. κ(S, r) = {X ∈ Z; |SX| ≤ r}, r ∈ R+

Kulová plocha

Nechť je dán bod S a úsečka r. Množina všech bodů X prostoru, pro která platí, že úsečka SX je shodná s úsečkou r, se nazývá kulová plocha κ se středem S a poloměrem r. κ(S, r) = {X ∈ Z; SX ≅ r} Nechť je dán bod S a reálné číslo r > 0. Množina všech bodů X prostoru, jejichž vzdálenost od bodu S je rovna r, se nazývá kulová plocha κ se středem S a poloměrem r. κ(S, r) = {X ∈ Z; |SX| ≅ r}, r ∈ R+

Kruh

Nechť je dán bod S ležící v rovině α a úsečka r. Kruhem K o středu S a poloměru r nazýváme sjednocení všech úseček SX, pro které platí SX ≅ r a SX ⊂ α. Nechť je dán bod S ležící v rovině α a reálné číslo r > 0. Kruhem K o středu S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny α, jejichž vzdálenost od středu S je nejvýše rovna r. K(S, r) = {X ∈ α; |SX| ≤ r}, r ∈ R+

Kružnice

Nechť je dán bod S ležící v rovině α a úsečka r. Kružnicí k o středu S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny α, pro která platí, že úsečka SX je shodná s úsečkou r. k(S, r) = {X ∈ α; SX ≅ r} Nechť je dán bod S ležící v rovině α a reálné číslo r > 0. Kružnicí k o středu S a poloměru r se nazývá množina všech takových bodů X roviny α, které mají od středu S vzdálenost r. k(S, r) = {X ∈ α; |SX| ≅ r}, r ∈ R+

Obvodový úhel

Nechť je dána kružnice k a na ní tři různé body A, B, X. Konvexní úhel <AXB se nazývá obvodový úhel příslušný tomu oblouku kružnice k, který leží v polorovině opačné k polorovině ABX. Středový úhel ASB, který přísluší k tomuto oblouku AB se nazývá středový úhel příslušný k obvodovému úhlu <AXB. Velikost středového úhlu v kružnici k je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku kružnice k jako daný středový úhel. Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku kružnice jsou navzájem shodné.

Úsekový úhel

Nechť je dána kružnice k(S, r) a dva její různé body A, B. V bodě A je sestrojena tečna AC kružnice k. Potom úhel <BAC nazýváme úsekový úhel příslušný k tomu oblouku AB kružnice k, který v tomto úhlu leží. Středový úhel <ASB, který k tomuto oblouku přísluší, se nazývá středový úhel příslušný k úsekovému úhlu <BAC. Velikost úsekového úhlu v kružnici v kružnici k je rovna polovině velikosti k němu příslušného středového úhlu.

Archimedův axiom

Nechť jsou dány dvě úsečky AB, CD. Na polopřímce AB sestrojíme navzájem různé body P1, P2, P3,... tak, že AP1 ≅ P1P2 ≅ P2P3 ≅ ... ≅ CD. Potom existuje takové přirozené číslo n, že bod Pn už nepatří úsečce AB.

Polorovina pA

Nechť p je přímka a A bod, který na ní neleží. Množina všech bodů X roviny pA, pro které platí, že mezi body A, X neleží žádný bod přímky p. |→ pA = {X ∈ ↔ pA; AX ∩ p = ∅ ∨ AX ∩ p = {X}} Přímku p nazýváme hraniční přímka poloroviny pA, někdy též počátek poloroviny pA.

Axiom rovnoběžnosti

Nechť p je přímka a A bod, který na ní neleží. Pak v rovině určené přímkou p a bodem A existuje právě jedna přímka procházející bodem A, která nemá s přímkou p žádný společný bod. Přímka procházející bodem A, o níž se hovoří v axiomu R, se nazývá rovnoběžka s přímkou p

Sférický axiom

Nechť p je přímka a A bod, který na ní neleží. Pak v rovině určené přímkou p a bodem A neexistuje žádná přímka vedená bodem A, která neprotíná p.

Hyperbolický axiom

Nechť p je přímka a A bod, který na ní neleží. Pak v rovině určené přímkou p a bodem A existují nejméně dvě různé přímky vedené bodem A, které neprotínají p.

Tranzitivnost rovnoběžnosti

Nechť p, q, r jsou tři libovolné přímky. Platí-li že p II q a q II r, pak je též p II r.

Poloprostor αA

Nechť α je rovina a A bod, který v ní neleží. Množina všech bodů X prostoru, pro které platí, že mezi body A, X neleží žádný bod roviny α. |→ αA = {X ∈ Z; AX ∩ α = ∅ ∨ AX ∩ α = {X}} Rovinu α nazýváme hraniční rovinou poloprostoru αA.

Shodnost úhlů nekonvexních

Nekonvexní úhel AV B je shodný s nekonvexním úhlem CU D právě tehdy, jsou-li shodné konvexní úhly AV B a CU D.

Kritétium rovnoběžnosti dvou rovin

Obsahuje-li rovina ρ dvě různoběžky, z nichž každá je rovnoběžná s rovinou σ, je rovina ρ rovnoběžná s rovinou σ. (a ∦ b ∧ a ⊂ ρ ∧ b ⊂ ρ ∧ a II σ ∧ b II σ) ⇒ ρ II σ

Osy stran trojúhelníku

Osami stran trojúhelníka ABC nazýváme osy úseček AB, BC a AC.

Střed kružnice opsané

Osy stran trojúhelníka se protínají v jediném bodě, který je středem kružnice trojúhelníku opsané.

Střed kružnice vepsané

Osy vnitřních úhlů trojúhelníka se protínají v jediném bodě, který je středem kružnice trojúhelníku vepsané.

Cantorův axiom

Průnik posloupností úseček do sebe zařazených je neprázdný.

Přenesení úsečky

Přenést úsečku znamená sestrojit úsečku s ní shodnou.

Porovnávání úseček

Při porovnávání úseček AB a CD postupujeme takto: Na polopřímce CD sestrojíme bod E tak, že CE ≅ AB. Leží-li bod E mezi body C, D, říkáme, že úsečka AB je menší než úsečka CD a píšeme AB < CD. Je-li E = D, je AB ≅ CD. Leží-li bod D mezi body C, E, říkáme, že úsečka AB je větší než úsečka CD a píšeme AB > CD.

Věta o vzájemné poloze přímky a roviny

Přímka a rovina mají právě jednu z těchto tří vzájemných poloh: A. přímka leží v rovině B. přímka má s rovinou jeden společný bod C. přímky nemá s rovinou žádný společný bod V případě B. říkáme, že přímka je různoběžná s rovinou, resp. že rovina je různoběžná s přímkou, resp. že přímka a rovina jsou různoběžné. V případě C. říkáme, že přímka a rovina jsou rovnoběžné, resp. že přímka je rovnoběžná s rovinou, resp. že rovina je rovnoběžná s přímkou. Také v případě A. říkáme, že přímka a rovina jsou rovnoběžné.

Kolmost roviny a přímky

Přímka p a rovina σ se nazývají navzájem kolmé, jestliže je přímka p kolmá ke všem přímkám roviny σ.

Rovnoběžnost přímky se 2 různoběžnými rovinami

Přímka p je rovnoběžná se dvěma různoběžnými rovinami právě tehdy, když je rovnoběžná s jejich průsečnicí. (α ∦ β ∧ p II α ∧ p II β) ⇔ (α ∩ β = r ∧ p II r)

Osa úsečky

Přímku o nazýváme osa úsečky AB (A ≠ B) právě tehdy, když jsou přímky AB a o navzájem kolmé a přímka o prochází středem úsečky AB. o je osa úsečky AB <=> A ≠ B ∧ o⊥AB ∧ o ∩ AB = (S) ∧ SA ≅ BS.

Rovnoběžné přímky

Rovnoběžnými nazýváme takové dvě přímky, které leží v jedné rovině a nemají společný bod, nebo dvě splývající přímky. Vztah rovnoběžnosti přímek je zřejmě reflexivní a symetrický a též tranzitivní.

Jednoduchá uzavřená lomená čára

Rozumíme jednoduchou lomenou čáru A0A1A2...An, kde A0 = An. Jednoduchá uzavřená lomená čára rozděluje body roviny, které jí nepatří, do dvou neprázdných podmnožin takových, že mezi každými dvěma body patřícími různým podmnožinám leží alespoň jeden bod lomené čáry. Pro každé dva různé body téže podmnožiny pak platí, že je lze spojit úsečkou nebo jednoduchou lomenou čárou, přičemž tyto útvary leží v této podmnožině. Tyto dvě podmnožiny se nazývají vnitřní a vnější oblast jednoduché lomené čáry.

Množina všech úhlů

Sjednocením množiny všech konvexních a množiny všech nekonvexních úhlů.

Trojúhelníková nerovnost

Součet velikostí kterýchkoliv dvou stran trojúhelníka je větší než velikost strany třetí.

Věta o součtu velikostí všech vnitřních úhlů trojúhelníku

Součet velikostí všech vnitřních úhlů trojúhelníka je vždy 180°.

Těžnice trojúhelníku

Spojnice středu strany a příslušného vrcholu.

Střed úsečky

Středem S úsečky AB nazýváme takový bod úsečky AB, pro který platí AS ≅ SB.

Shodnost trojúhelníků

Trojúhelníky ABC, A'B'C' se nazývají shodné, jestliže platí AB ≅ A'B', BC ≅ B'C', CA ≅ C'A'.

Průměr

Tětiva, která obsahuje střed S kružnice k.

Těžiště trojúhelníku

Těžnice trojúhelníka ABC procházejí týmž bodem T, zvaným těžiště trojúhelníka. Těžiště T dělí každou těžnici na dvě úsečky, z nichž ta část, která obsahuje vrchol trojúhelníka, je dvojnásobkem druhé části.

I4

Tři body, které neincidují se žádnou přímkou, incidují s jedinou rovinou.

Věta o vzájemné poloze tří různých rovin

Tři různé roviny mají právě jednu z následjících pěti možných vzájemných poloh: A. každé dvě roviny z daných rovin jsou rovnoběžné B. dvě z daných rovin jsou rovnoběžné, třetí je protíná ve dvou rovnoběžných průsečnicích C. všechny tři roviny procházejí jednou přímkou D. každé dvě roviny se protínají, každé dvě průsečnice jsou různé rovnoběžky E. všechny tři roviny mají společný jediný bod Pro stručné vyjadřování zavedeme následující názvy: v případě C. budeme hovořit o svazku rovin, v případě B. o dvojsvazku rovin, v případě D. o trojsvazku a v případě E. o trsu rovin.

Střední příčky trojúhelníku

V trojúhelníku ABC označme po řadě A1, B1, C1 středy stran a, b, c. Úsečky A1B1, B1C1, C1A1 se nazývají střední příčky trojúhelníka ABC příslušné po řadě ke stranám c, a, b. Střední příčka trojúhelníka je rovnoběžná se stranou tohoto trojúhelníka, jejíž střed neobsahuje, a její velikost se rovná polovině velikosti této strany.

Výšky trojúhelníku

V trojúhelníku ABC označme po řadě va, vb, vc kolmice vedené vrcholy A, B, C trojúhelníka ABC k přímkám BC, AC, AB. Přímky va, vb, vc se nazývají výšky trojúhelníka ABC.

Polohové vlastnosti

Vlastnosti bodů, přímek a rovin, které jsou založeny na vztazích incidence, uspořádání a rovnoběžnosti.

Vnější úhel trojúhelníku

Vnějším úhlem trojúhelníka nazýváme úhel, který je vedlejší k jeho vnitřnímu úhlu. Velikost vnějšího úhlu trojúhelníka je rovna součtu velikostí jeho vnitřních úhlů, k nimž tento úhel není vedlejší. Vnější úhel trojúhelníka při daném vrcholu je větší než kterýkoliv jeho vnitřní úhel při zbývajícím vrcholu. Proti shodným stranám trojúhelníka leží shodné úhly. Proti větší ze dvou stran leží větší úhel.

Vzdálenost dvou bodů

Vzdáleností dvou bodů X, Y nazýváme délku úsečky XY.

Ortocentrum trojúhelníku

Výšky trojúhelníka ABC procházejí týmž bodem V, zvaným průsečík výšek nebo též ortocentrum trojúhelníka ABC.

U3

Ze tří různých bodů na přímce leží nejvýše jeden mezi zbývajícími dvěma.

Průnik dvou konvexních množin

je konvexní množina bodů.

Pravý úhel

Úhel, který je shodný s úhlem k němu vedlejším.

Styčné úhly

Úhly AVB, BVC nazýváme styčné právě tehdy, když jejich průnikem je polopřímka VB a zároveň leží oba v téže rovině

Omezený útvar v množině

Útvar U se nazývá omezený v množině N právě tehdy, když existuje takový bod A, A ∈ N a takové okolí Oₙ(A, δ), že útvar U je podmnožinou tohoto okolí. Útvar, který není omezený se nazývá neomezený.

Otevřený útvar

Útvar U se nazývá otevřený v množině M právě tehdy, když neobsahuje žádný svůj hraniční bod.

Uzavřený útvar

Útvar U se nazývá uzavřený v množině M právě tehdy, když obsahuje své hraniční body (vzhledem k množině M).

Dvojstředový čtyřúhelník

Čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici se nazývá čtyřúhelník dvojstředový.

Oblouk a jeho krajní body

Část kružnice k, která leží v jedné z polorovin s hraniční přímkou AB. Body A, B jsou krajní body oblouku.

Nepřekrývání útvarů

Říkáme, že útvary U1, U2 se nepřekrývají v množině M právě tehdy, když průnik útvarů U1, U2 je podmnožina průniku jejich hranic. Útvary U1, U2 se nepřekrývají v množině M právě tehdy, když jejich průnik neobsahuje žádný bod, který je vnitřním bodem alespoň jednoho z útvarů U1, U2.