Apibrėžimai

8. Disjunktas C išvedamas iš disjunktų aibės S

(S |- C) Disjunktas C yra išvedamas iš disjunktų aibės S, jei galima parašyti tokią disjunktų seką, kur kiekvienas disjunktas: - arba iš aibės S (prielaida), - arba gautas pagal atkirtos taisyklę iš jau parašytų ir kuri (seka) baigiasi disjunktu C.

40. Iteracijos operatorius PR 1-argumento funkcijoms

1-arg funkcija f(x) yra gauta pagal iteracijos operatorių iš 1-arg funkcijos h(x), jei teisinga: f(0) = 0 f(y+1) = h(f(y))

19. Aibė A išsprendžiama su Turingo mašina

Aibė A išsprendžiama su TM, jei yra tokia TM M, kurios kalba yra A.

29. Rekursyvi aibė

Aibė A yra rekursyvi aibė, jei jos charakteringoji funkcija yra visur apibrėžta algoritmiškai apskaičiuojama funkcija

45. Rekursyviai skaiti aibė (DR funkcijos apibrėžimo sritis) (Rekursyvių ir rekursyviai skaičių aibių palyginimas)

Aibė A yra rekursyviai skaiti, jei sutampa su kažkurios DR funkcijos apibrėžimo sritimi.

28. Aibės A charakteringoji funkcija

Aibės A charakteringoji funkcija yra: χA(x) = 1, jei x ∈ A χA(x) = 0, jei x ∉ A

10. Intuityvus algoritmas (pagrindinės savybės, formalizavimo būdai)

Algoritmas - veiksmų seka, kuri leidžia spręsti kažkokį uždavinį. Pagrindinės algoritmo savybės: · DISKRETUMAS - algoritmas suskirstytas į atskirus žingsnius. Atlikus vieną, yra vykdomas kitas. · DETERMINUOTUMAS - atlikus žingsnį yra aišku, kokį kitą žingsnį vykdyti. · ŽINGSNIŲ ELEMENTARUMAS - žingsniai turi būti paprasti ir turi būti žinoma, kaip tą žingsnį vykdyti. · MASIŠKUMAS - algoritmas skirtas spręsti uždavinius iš kažkokios uždavinių klasės, o ne vieną konkretų uždavinį. Algoritmų formalizavimo būdai: 1. Kurti idealizuotas matematines mašinas (Turingo mašinos, RAM mašinos, etc.) 2. Apibrėžti funkcijų klasę, kuri sutaptų su algoritmiškai apskaičiuojamų funkcijų aibe [Apibrėžti rekursyvių funkcijų aibę] (Dalinai rekursyvios funkcijos, λ - skaičiavimas, etc.)

23. Baigtinio automato kalba

Baigtinio automato kalba - aibė žodžių, su kuriais automatas baigia darbą galutinėje būsenoje.

22. Baigtinis automatas

Baigtinis automatas - vienajuostė determinuota Turiningo mašina, kurios perėjimų funkcija yra δ(qi, a) = (qj, a, D) ir kuri (TM) baigia darbą tada, kai pasiekia pirmąją tuščią ląstelę.(i gali būti = j)

27. Baigtinumo problema

Baigtinumo problema. Ar egzistuoja toks algoritmas, kuriam padavus N skaičių porą (m, n), jis nustatytų, ar TM su numeriu m (Tm) ir pradiniais duomenimis n yra apibrėžta (baigia darbą) ar neapibrėžta (dirba be galo)?

43. BR funkcijų aibė

Bendrai rekursyvių funkcijų aibė (BR) yra visur apibrėžtų DR funkcijų aibė.

7. Atkirtos taisyklė

C V p D V ¬p ------------------ (AT) C V D

25. Cantaro funkcijos αn(x1, x2, . . . , xn), π i n (k)

Cantaro funkcijos yra: αn(x1, x2, ... , xn) = α2(x1, αn-1(x2, x3, ... , xn)) - rinkinio x1, x2, ... , xn numeris Cantaro numeracijoje. πvn^i(k) - k-ojo rinkinio iš n elementų i-oji koordinatė (i-asis narys).

42. DR funkcijų aibė

Dalinai rekursyviųjų funkcijų aibė (DR) yra funkcijų aibė, kuriai priklauso bazinės funkcijos 0, s(x), prin(x1, x2, ... , xn) ir kuri yra uždara kompozicijos, primityviosios rekursijos ir minimizacijos operatorių atžvilgiu.

47. DR funkcijos grafikas

Dalinės funkcijos f(x1, x2, ... , xn) grafikas yra aibė G = { (x1, x2, ... , xn, y), kur f(x1, x2, ... , xn) = y }

14. Determinuota daugiajuostė Turingo mašina

Determinuota m-juostė TM yra ketvertas < Σ, Q, F, δ >, kur: • Σ - baigtinė aibė - abėcėlė. • Q - baigtinė būsenų aibė. • F - galutinių būsenų aibė (F ⊆ Q). • δ - perėjimų funkcija. (δ : Q × | Σ × Σ × · · · × Σ |→ Q × | Σ × Σ × · · · × Σ | × | {K, D, N} × {K, D, N} × ··· × {K, D, N}) | | m kartų |

11. Determinuota vienajuostė Turingo mašina

Determinuota vienajuostė Turingo mašina M yra ketvertas < Σ, Q, F, δ >, kur: • Σ - baigtinė (simbolių) aibė - abėcėlė. (Jei nepaminėta kitaip: Σ = {0, 1, b}.) • Q - baigtinė aibė - būsenų aibė. (Q = {q0, q1, . . . , qn}, kur q0 - pradinė būsena.) • F - galutinių būsenų aibė (F ⊆ Q). • δ - perėjimų funkcija. (δ : Q × Σ → Q × Σ × {K, D, N})

6. Disjunktas

Disjunktas - literų disjunkcija. { Litera (atominė formulė) - kintamasis arba kintamasis su neigimu }

9. Formulių aibių prieštara

Formulių aibė S yra prieštaringa, jei su bet kuria interpretacija bent viena formulė aibėje S yra klaidinga.

44. Funkcija f(x) mažoruojama funkcijos h(x)

Funkcija f(x) yra mažoruojama funkcijos h(x), jei yra toks n0 ∈ N, kad f(x) < h(x) su visais x > n0.

41. Minimizacijos operatorius (kada f-ja gali būti neapibrėžta)

Funkcija f(x1, x2, ... , xn) gauta iš funkcijos g(x1, x2, ... , xn) pagal minimizacijos operatorių, jei teisinga: • Jei g(x1, x2, ... , xn-1, i) ≠ xn (i = 0, 1, 2, ..., y-1) ir g(x1, x2, ... , xn-1, y) = xn, tada f(x1, x2, ... , xn) = y. • Jei g(x1, x2, ... , xn-1, i) ≠ xn (i ∈ N) arba g(x1, x2, ... , xn-1, j) = ∞ ir g(x1, x2, ... , xn-1, k) = xn (k = 0, 1, ... , j-1), tada f(x1, x2, ... , xn) = ∞. Žymėjimas: f(x1, x2, ... , xn-1 , xn) = µy(g(x1, x2, ... , xn-1, y) = xn) Reikšmė yra mažiausias y (y ∈ N), su kuriuo lygybė g(x1, x2, ... , xn-1, y) = xn yra teisinga. Jei tokio nėra, reikšmė yra ∞.

37. Kompozicijos operatorius

Funkcija f(x1, x2, ... , xn) yra gauta pagal kompozicijos operatorių iš funkcijų h(x1, x2, ... , xm) ir g1(x1, x2, ... , xn), g2(x1, x2, ... , xn), ... , gm(x1, x2, ... , xn), jei teisinga: f(x1, x2, ... , xn) = h( g1(x1, x2, ... , xn), g2(x1, x2, ... , xn), ... , gm(x1, x2, ... , xn) )

1. Hilberto tipo teiginių skaičiavimas

Hilberto tipo teiginių skaičiavimas yra skaičiavimas su aksiomomis (1.1 - 4.3) ir modus ponens taisykle.

33. Normalinis termas. Nenormalizuojamas termas

Normalinis termas - termas be redeksų. Nenormalizuojamas termas - termas, kurio β-redukcija yra begalinė.

24. Poros (x, y) numeris Cantaro numeracijoje; kairiojo ir dešiniojo nario funkcijos

Poros (x, y) numeris Cantaro numeracijoje yra funkcija α2(x, y). πv2^1(k) - k-osios poros pirmas elementas (kairiojo nario funkcija) πv2^2(k) - k-osios poros antras elementas (dešiniojo nario funkcija)

39. PR funkcijų aibė

Primityviai rekursyviųjų funkcijų aibė (PR) yra funkcijų aibė, kuriai priklauso bazinės funkcijos 0, s(x), pr^ivn(x1, x2, ... , xn) ir kuri yra uždara kompozicijos ir primityviosios rekursijos operatorių atžvilgiu.

2. Sekvencija (ir jos antecedentas ir sukcedentas)

Sekvencija - reiškinys pavidalo A1, A2, ..., An |- B1, B2, ..., Bm, Ai, Bj - formulės, n + m > 0, seka Ai (i = 1, ..., n) - sekvencijos antecedentas, seka Bj (j = 1, ..., m) - sekvencijos sukcedentas

5. Sekvencinio skaičiavimo taisyklė apverčiama

Sekvencinio skaičiavimo taisyklė yra apverčiama, jei taisyklės išvada (apačia) išvedama tada ir tik tada, kai išvedamos visos taisyklės prielaidos (viršus).

3. Sekvencinis skaičiavimas G

Sekvencinis skaičiavimas G (Genzeno) - skaičiavimas su aksioma: Γ1, A, Γ2 |- ∆1, A, ∆2 ir taisyklėmis

4. Sekvencinis skaičiavimas intuicionistinei logikai

Sekvencinis skaičiavimas intuicionistinei logikai (In) - skaičiavimas su aksioma A |- A ir taisyklėmis:

26. Standartinė Turingo mašina (visas galima sunumeruoti)

Standartinė TM yra 1-juostė determinuota TM, kuriai teisinga: 1. Σ = {0, 1, b} 2. |F| = 1 (yra 1 galutinė būsena) 3. Kai baigia darbą galutinėje būsenoje, juostoje yra tik TM darbo rezultatas (skaitymo galvutė žiūri į pirmą iš kairės netuščią simbolį)

20. Sudėtingumo klasės DTIME(f(n)), NTIME(f(n)), DSPACE(f(n)), NSPACE(f(n))

Sudėtingumo klasės: • DTIME(f(n)) - sudėtingumo klasė, kuriai priklauso visi uždaviniai, kuriems egzistuoja juos sprendžianti daugiajuostė determinuota TM, kurios sudėtingumas laiko atžvilgiu yra f(n). (TM(n) = f(n)) • NTIME(f(n)) - sudėtingumo klasė, kuriai priklauso visi uždaviniai, kuriems egzistuoja juos sprendžianti daugiajuostė nedeterminuota TM, kurios sudėtingumas laiko atžvilgiu yra f(n). (TM(n) = f(n)) • DSPACE(f(n)) - sudėtingumo klasė, kuriai priklauso visi uždaviniai, kuriems egzistuoja juos sprendžianti daugiajuostė determinuota TM, kurios sudėtingumas atminties atžvilgiu yra f(n). (SM(n) = f(n)) • NSPACE(f(n)) - sudėtingumo klasė, kuriai priklauso visi uždaviniai, kuriems egzistuoja juos sprendžianti daugiajuostė nedeterminuota TM, kurios sudėtingumas atminties atžvilgiu yra f(n). (SM(n) = f(n))

21. Sudėtingumo klasės L, NL, P, NP, PSPACE, EXP

Sudėtingumo klasės: • L = DSPACE(log n) • NL = NSPACE(log n) • P = DTIME(n^k), kur k - konstanta. • NP = NTIME(n^k), kur k - konstanta. • PSPACE = DSPACE(n^k), kur k - konstanta. • EXP = DTIME(2^(n^k)), kur k - konstanta.

36. Termas definuoja dalinę funkciją

Termas E definuoja (apibrėžia) dalinę funkciją f(x1, x2, ... , xn), jei teisinga: 1) Jei f(k1, k2, ... , kn) = k, tai termas (...(((E)k1)k2)...)kn redukuojamas (β-redukcijoje) į termą k. 2) Jei f(k1, k2, ... , kn) = ∞, tai termas (...(((E)k1)k2)...)kn yra nenormalizuojamas (β-redukcija - begalinė).

31. Termo redeksas ir jo santrauka

Termo redeksas ir jo santrauka Redeksas - termas pavidalo (λx.E)Y, kur E ir Y - termai. Redekso (λx.E)Y santrauka yra termas E, kuriame: • Jei terme Y nėra laisvų z, tokių, kurie yra suvaržyti terme E, tada santrauka yra termas E, kuriame visos laisvos x įeitys pakeistos termu Y. • Jei terme Y yra laisvų z, tokių, kurie yra suvaržyti terme E su z, tai termas E1 gaunamas iš termo E, visus λz.D pakeičiant į λw.D1, α-ekvivalentus (w - naujas kintamasis). Tada santrauka yra termas E1, kuriame visos laisvos x įeitys terme E1 pakeičiamos termu Y.

13. Turingo mašina apskaičiuoja funkciją

Turingo mašina M apskaičiuoja dalinę funkciją f(x1, x2, ... , xn), jei egzistuoja toks argumentų ir rezultato kodavimas abėcėlės Σ simboliais cod(x1, x2, ... , xn) = ˜x, kuriam teisinga: 1. jei f(a1, a2, ... , an) = b (funkcija apibrėžta), tada TM M su pradiniais duomenimis žodžiu cod(a1, a2, ... , an) yra apibrėžta ir jos darbo rezultatas yra žodis cod(b). 2. jei f(a1, a2, ... , an) = ∞ (neapibrėžta), tada TM M su pradiniais duomenimis žodžiu cod(a1, a2, ... , an) irgi yra neapibrėžta (dirba be galo).

12. Turingo mašina apibrėžta

Turingo mašina M su pradiniais duomenimis žodžiu X yra apibrėžta, jei pradžioje į duomenų juostą įrašius žodį X, TM M baigia darbą būdama galutinėje būsenoje.

18. Turingo mašinos kalba

Turingo mašinos M kalba yra žodžių aibė, su kuriais TM M baigia darbą galutinėje būsenoje (yra apibrėžta).

17. Turingo mašinos sudėtingumas atminties atžvilgiu (i(v) ir s(v))

Turingo mašinos M sudėtingumas atminties atžvilgiu yra funkcija: SM(n) = max { s(v) : i(v) = n }. [Kiek daugiausiai atminties gali prireikti TM] i(v) - žodžio v ilgis. s(v) - panaudotų ląstelių kiekis, kurį sunaudojo TM, jei pradinių duomenų juostoje buvo žodis v.

16. Turingo mašinos sudėtingumas laiko atžvilgiu (i(v) ir t(v))

Turingo mašinos M sudėtingumas laiko atžvilgiu yra funkcija: TM(n) = max { t(v) : i(v) = n }. [Kiek daugiausiai laiko gali prireikti TM] i(v) - žodžio v ilgis. t(v) - žingsnių kiekis, kurį atlieka TM, jei pradinių duomenų juostoje žodis yra v.

15. Nedeterminuota Turingo mašina

m-juostė nedeterminuota Turingo mašina M yra tokia Turingo mašina, kurios perėjimų funkcija yra daugiareikšmė funkcija (atitiktis).

38. Primityviosios rekursijos operatorius

n argumentų funkcija f(x1, x2, ... , xn) yra gauta pagal primityviosios rekursijos operatorių iš (n-1) argumento funkcijos g(x1, x2, ... , xn-1) ir (n+1) argumento funkcijos h(x1, x2, ... , xn-1, xn, xn+1), jei teisingos lygybės: • f(x1, x2, ... , xn-1, 0) = g(x1, x2, ... , xn-1) • f(x1, x2, ... , xn-1, y+1) = h(x1, x2, ... , xn-1, y, f(x1, x2, ... , xn-1, y))

46. Universalioji funkcija

n-argumentų funkcijų aibės A universalioji funkcija yra (n+1)-argumentų funkcija F(x0, x1, ... , xn), kuriai teisinga: 1) Jei i0 ∈ N, tai funkcija F(i0, x1, x2, ... , xn) = δ(x1, x2, ... , xn) ∈ A. 2) Jei g(x1, x2, ... , xn) ∈ A, tai bus toks i1 ∈ A, kad F(i1, x1, x2, ... , xn) = g(x1, x2, ... , xn)

34. λ-skaičiavimo loginės konstantos

λ-skaičiavimo loginės konstantos: 0 - λx.λy.y (klaidinga) 1 - λx.λy.x (teisinga)

35. λ-skaičiavimo natūralusis skaičius

λ-skaičiavimo natūralusis skaičius k = λf.λx.(fkx), kur fkx = f(f( ... f(fx). . .)). (k kartų)

32. Termo β-redukcija

λ-skaičiavimo termo E β-redukcija yra termų seka E1 ▷ E2 ▷ E3 ▷ E4 ▷ ... ▷ En, kur: • E1 = E • En yra gautas iš termo En-1, jame pirmą iš kairės redeksą pakeičiant į jo santrauka.

30. λ-skaičiavimo termas

λ-skaičiavimo termo apibrėžimas: 1) Jei u - kintamasis, tai u yra termas 2) Jei E1 ir E2 - termai, tada (E1E2) - irgi termas. 3) Jei E - termas, o x - kintamasis, tai ir (λx.E) irgi yra termas. (E yra λx. Veikimo sritis)