Wooclap

un sous ensemble d'un ensemble récursivement énumérable est récursivement énumérable (J)

Faux, Kbar ⊆N. N est récursivement énumérable, Kbar n'est pas récursivement énumérable.

Une Machine de Turing universelle nécessite l'utilisation d'au moins 3 rubans (J)

Faux, L'ajout de rubans est seulement une question de facilité; il est toujours possible de revenir à un seul ruban.

La calculabilité est une discipline née après l'apparition des ordinateurs (J)

Faux, La calculabilité et ses principaux résultats sont antérieurs à l'informatique.

si le domaine d'une fonction est infini, alors cette fonction est non calculable (J)

Faux, La fonction constante "+1" a un domaine infini mais elle est calculable

Un problème qui peut être résolu par un algorithme (de complexité) exponentiel est pratiquement infaisable

Faux : Il peut très bien être réalisable à la fois par un algorithme exponentiel ET un algorithme polynomial.

Si SAT ≤a A et A ∈ P, alors SAT ∈ P.

Faux : On a besoin de la réduction polynomiale et pas la réduction algorithmique (cette dernière sert uniquement à la calculabilité, alors que la réduction polynomiale dit combien de fois on utilise l'algorithme!)

Si A peut être décidé par un algorithme polynomial et si B est f-réductible à A, alors B peut être décidé par un algorithme polynomial.

Faux : Parce que ce que la f-réductibilité veut dire : on peut décider B en donnant f(x) (on veut décider si x est dans B) à A. Mais calculer f(x) peut être avoir une complexité exponentielle.

Si A appartient à NP et A <p SAT alors A est NP-Complet

Faux A pourrait appartenir à P : Comme SAT est NP complet, n'importe quel A qui est dans NP convient. Par exemple : le problème A qui consiste à déterminer si un nombre naturel donné est pair ou non (ce problème est dans P, donc dans NP).

un ensemble énumérable est récursif (J)

Faux ex : K

L'ensemble des sous-ensembles finis d'entiers (E/NE)

E : les ensembles de sous-ensembles de taille 2, 3, 4, 5, ... sont tous énumérables. On peut alors créer un tableau reprenant tous les sous-ensembles finis possibles et dans lequel la ligne n comprend tous les sous-ensembles de taille n. Ces ensembles sont en bijection avec les naturels (N).

l'ensemble des nombres pairs (E/NE)

E : on peut établir une bijection entre l'ensemble des nombre paire et N

l'ensemble des chaines finies de caractère sur un alphabet fini (E/NE)

Enumérable , on peut faire une bijection avec les naturels

l'ensemble des entiers Z (E/NE)

Enumérable : on peut avoir une bijection entre Z et N, ils peuvent être énumérés et on peut donner un numéro pour chaque élément

l'ensemble des paires d'entiers, des triplets,... (E/NE)

Enumérable, il exite une bijection avec N : on énumère les paires de somme 0, de somme 1, ...

Il existera des modèles de calculabilité, non encore inventés, qui seront plus puissants que les Machines de Turing

Faux

Si domaine infini alors fonction non calculable

Faux

l'ensemble des programmes java calculant une fonction f tel que f(10) = 10 est une ensemble récursif (J)

Faux (Rice)

le théorème du point fixe est une conséquence du théorème de Rice (J)

Faux (inverse)

Il existe une fonction totale calculable qui n'est l'extension d'aucune fonction partielle calculable

Faux : C'est très facile de créer une fonction partielle à partir d'une fonction totale. Il suffit de remplacer le retour d'une valeur par ⊥. La fonction totale serait alors extension de la fonction partielle.

Il existe une fonction partielle calculable telle qu'aucune fonction totale calculable n'est une extension de cette fonction partielle

Vrai : Considérons le tableau avec à la ligne i, φi(0),φi(1),.... Prenons la diagonale diag(k) = φk(k). Considérons diag_mod(k) = φk(k)+1. S'il existe un extension totale calculable dm, soit p le numéro d'un programme qui la calcule. Alors, on a un soucis en d,d. Si diag(d) = ⊥, φd(d) 6= ⊥ car d est totale et donc diag(d)6= φd(d). Si diag(d)6=⊥, φd(d)=diag(d)+1!=diag(d).

toute propriété relative au programme est non calculable (J)

faux (Rice), Certaines propriétés concernant le programme (comme sa longueur ou sa syntaxe) sont calculables.

une fonction dont la table est infinie ne peut être décrite de manière finie (J)

faux : R→R : f(x)= x²

Si un transformateur alors il existe P1 et P2 tel que f(P1)=f(P2) et P1 et P2 calculent la même fonction totale (J)

faux, Si f remplace l'input par un programme qui fait juste une boucle, son output est toujours le même programme. Ce programme output tout le temps ⊥ et ne peut donc pas être total.

toute fonction totale est surjective (J)

faux, f: R → R : f(x) = x² n'est pas surjective car image(f) = R+, les réels positifs mais dom(f)= R.

l'ensemble R (E/NE)

non énumérable

tout ensemble infini de chaines infinies de char (E/NE) (J)

non énumérable S'il y a k symbole, la bijection avec les réels entre [0,1] est immédiate si on considère la représentation des décimales de ces réels en base k.

si la table d'une fonction peut être définie de manière finie, cette fonction est-elle nécessairement calculable

non, exemple halt

l'ensemble des rationnels est récursivement énumérable (J)

vrai, On sait énumérer les rationels avec un programme (tableau puis zigzag).

une fonction constante est calculable (J)

vrai, Par exemple "print 1, print 2, print 3, ..."

l'ensemble des fonctions calculables est énumérable (J)

vrai, Pour chaque fonction calculable, il existe un programme qui la calcule. Un programme ne calcule pas 2 fonctions différentes mais 2 programmes différents peuvent calculer une même fonction. Il n'y a donc pas plus de fonctions calculables que de programmes. Comme le nombre de programme est énumérable, il y a donc un nombre énumérable de fonction calculables.

Tout ensemble ND-récursivement énumérable est récursif (J)

Faux, Il est récursivement énumérable mais pas spécialement récursif. Par exemple, K est récursivement énumérable et donc ND-récursivement énumérable mais n'est pas récursif.

Tout problème calculable est au moins dans EXPTIME (J)

Faux, Il existe pire comme la fonction d'Ackerman

Si A est dans NTIMES(n2), alors A est dans DTIME(n2) (J)

Faux, Il faut au moins que A ∈ DTIME(cn2). n2 est la profondeur maximale de l'arbre. Si on simule le ND, alors on doit faire un bfs dans un arbre de profondeur n2.

La propriété S-m-n affirme que tout numéro de programme calculable peut être transformé en un numéro équivalent mais avec moins de paramètre (J)

Faux, Il n'est pas équivalent, il ne marche que pour m paramètres avec des valeurs précises.

Un problème intrinsèquement complexe est dans EXPTIME (J)

Faux, Il y a des complexités pire qu'exponentielle.

le complément d'un ensemble récursivement énumérable est récursivement énumérable (J)

Faux, K

Sachant que N est récursif tout ensemble de N est récursif (J)

Faux, K appartient à N et n'est pas récursif

un sous ensemble infini d'un ensemble récursif est récursif (J)

Faux, K est un sous ensemble de N. N est récursif mais K n'est pas récursif.

Un ensemble est a-réductible à son complément (J)

True, Dire que A est a-réductible à B signifie que l'algorithme pouvant décider B nous permet de décider A. Ici, décider le complément permet bien évidemment de décider l'ensemble initial, il suffit d'inverser la réponse.

Tout ensemble récursivement énumérable est a-réductible à HALT (J)

True, Halt est le "plus difficile". Pour tout ensemble récursivement énumérable A, il existe un programme P qui renvoie 1 si x est dans A. Pour décider si x ∈ A, on demande à HALT si P termine avec l'input x. Si oui, alors on renvoit P(x), sinon on renvoit que x n'appartient pas à A.

Si A est dans DTIME(n2), alors A est dans DSPACE(n2) (J)

True, Il faut au moins n2 instructions pour accéder à n2 cases.

Si A appartient NDTIME(n3) alors A appartient NP (J)

True, n³ est polynomial donc c'est non-déterministe polynomial.

NP est inclut ou égal a EXPTIME

Vrai

Un problème qui peut être résolu par un algorithme (de complexité) polynomial est pratiquement faisable.

Vrai

un problème NP-complet peut-être résolu par un algorithme non déterministe de complexité temporelle polynomiale

Vrai

il existe un langage de programmation (non-trivial) dans lequel halt est calculable (J)

Vrai (BLOOP, MiniJava)

Si un problème est intrinsèquement complexe en MT alors il est aussi intrinsèquement complexe pour le langage Java.

Vrai : Le choix du modèle de calculabilité impacte la complexité temporelle. Néanmoins, la différence de complexité est tout au plus polynomiale entre tous les modèles de calcul déterministes. Or, la composition de fonctions polynomiales reste polynomiale!

L'énumérabilité des programmes Java et la non énumérabilité des fonctions de N vers N est une preuve de l'existence de fonctions non calculables

Vrai : On peut définir une surjection des programmes vers les fonctions calculables qu'ils calculent. C'est une fonction car un programme calcule une seule fonction et c'est surjectif car toutes les fonctions calculables ont au moins un programme qui les calcule. On conclut qu'il y a un nombre énumérable de fonction calculable, c'est moins que le nombre de fonctions de N dans N qui est non calculable, il y a donc des fonctions non calculables.

SA, CD et S sont suffisantes pour que D soit un modèle complet de la calculabilité

Vrai : SA ⇒ SD, SA∧CD ⇒ U et CD∧S ⇒ CA.

Si la complexité temporelle d'un algorithme est O(n²), alors elle est aussi O(n³)

Vrai : n² appartient à O(n³)

Les langages non déterministes permettent d'écrire des algorithmes plus efficaces

Vrai et Faux

La classe P est strictement incluse dans la classe EXPTIME (J)

Vrai, Aucun problème polynomial n'est plus dur qu'un problème exponentiel.

l'ensemble HALT est récursivement énumérable (J)

Vrai, Avec l'input n,x on exécute n sur x avec l'intepréteur universelle. S'il termine on renvoie 1 sinon on ne termine pas mais ce n'est pas grave car on ne veut pas que le programme soit récursif.

Soit A un ensemble récursivement énumérable mais non récursif. Une Machine de Turing avec A comme oracle est plus puissante qu'une Machine de Turing sans oracle (J)

Vrai, Car A devient récursif.

Si A <=_p B, alors A<=_a B (J)

Vrai, Car la réduction polynomiale, en plus d'avoir une réduction algorithmique, on a aussi une information sur la complexité et même si on ne sait pas si P est strictement inclus dans NP on connait des algorithm exponentiels non-polynomials.

Il existe des ensembles récursifs ne pouvant être décidés par un automate fini (J)

Vrai, Dans un automate fini, tout s'arrête toujours. C'est donc toujours limité (Hoare-Allison)

Les fonctions primitives récursives sont toujours des fonctions totales (J)

Vrai, Elles sont équivalents aux fonctions calculées par le language BLOOP/Mini-Java

Le langage BLOOP ne permet de programmer que des fonctions totales. Il existe donc des fonctions totales calculables qui ne peuvent être programmées dans ce langage

Vrai, Hoare-Allison

Il existe des fonctions totales calculables qui ne sont pas primitives récursives (J)

Vrai, Hoare-Allison, l'interpréteur

une fonction calculable peut être calculée par une infinité de programmes (J)

Vrai, Il suffit de rajouter des lignes inutiles.

Si une fonction est calculable par une Machine de Turing, alors cette fonction est calculable par un programme java (J)

Vrai, Ils sont tous les deux des modèles complets

il existe des ensemble non récursivement énumérable (J)

Vrai, K barre

Un problème NP-complet peut être résolu par un algorithme non déterministe de complexité spaciale polynomiale

Vrai, La complexité spatiale est toujours bornée par la complexité temporelle.

Si 2 programmes P1 et P2 calcul la même fonction il existe un transformateur f de programme tel que f(P1) = P2 (J)

Vrai, La fonction constante P2 peut servir de f.

Le problème du voyageur de commerce est NP-complet (J)

Vrai, Le problème du cycle Hamiltonien est réductible au TSP [2, Theorem 34.14] et Richard M. Karp a montré en 1972 que le problème du cycle Hamiltonien est NP-complet [2, Theorem 34.13].

Toute fonction calculable peut être calculée par une fonction récursive (J)

Vrai, Modèle complet grâce à la minimisation

soit la fonction f(i)=1 si phi(i) est différent de bottom, f(i) = 0 sinon. f est récursif (J)

Vrai, Nous travaillons avec un entier en input et en output, donc la fonction est N → N. Le domaine est les input tels que l'output n'est pas ⊥. Or f ne renvoit jamais ⊥ donc son domaine est N qui est récursif.

si le domaine d'une fonction est fini, alors cette fonction est calculable (J)

Vrai, On peut hardcoder toute les image dans le programme et détermine laquelle on prend avec un "case" sur l'input.

Une Machine de Turing dont les seuls mouvements de la tête de lecture serait à droite ne serait pas un modèle complet de la calculabilité (J)

Vrai, On serait pas lire ce qu'on écrit donc ça ne sert à rien d'écrire. Du coup ça revient à l'automate fini.

L'ensemble des sous ensembles récursivement énumérable de N est énumérable (J)

Vrai, Pour chaque sous-ensemble, il existe au moins un programme Java qui l'énumère et l'ensemble des programmes Java est énumérable.

Tout automate fini non déterministe peut être transformé en un automate fini déterministe équivalent (J)

Vrai, Pour le faire, on regroupe les différents états où on pourrait être en un seul état. Un état contient donc plusieurs état.

Un problème de décision dans P, alors le problème consistant à calculer une solution est également dans P (J)

Vrai, Pourquoi la complexité ferait des choses qui ne servent à rien? Si on se focalise sur un problème de décision, c'est pcq c'est plus facile à traiter d'un point de vue théorique mais dans la pratique ça ne change rien! Donner la réponse si on sait qu'elle existe ça ne change rien.

si SAT appartient à P, alors P = NP (J)

Vrai, SAT est NP-complet, tout problème NP est polynomialement réductible à lui.

un ensemble fini est récursif (J)

Vrai, Si l'ensemble est fini, on peut créer un programme de taille finie qui gère l'entièreté des cas et donc dire s'il est ou non dans l'ensemble (⇒ récursif)

Un sous ensemble fini d'un ensemble énumérable est récursivement énumérable (J)

Vrai, Un ensemble fini est récursif donc récursivement énumérable.

un algorithme donné ne calcule qu'une et une seule fonction (J)

Vrai, Un programme output toujours la même output pour le même input et détermine une seule et unique fonction.

l'ensemble des fonctions de {0,1} vers N est énumérable (J)

Vrai, Une fonction de{0,1}vers N peut être représentée par deux couples de deux entiers, donc es un quadruple. L'ensemble des fonctions de {0,1} vers N est équivalent à l'ensemble des quadruples et est donc énumérable.

Toutes les fonctions calculables par les programmes du langage BLOOP sont totales (J)

Vrai, bloop se termine toujours

Un problème NP-complet peut toujours être décidé par un programme non déterministe de complexité polynomiale (J)

Vrai, c'est la définition de NP

Soit une MT T qui reçoit en entrée une représentation d'une MT et qui fournit (toujours) comme résultat une représentation d'une MT. Il existe deux MT T1 et T2 tel que (1) l'exécution de T sur la représentation de T2 donne pour résultat T2, (2) T1 et T2 calculent la même fonction (J)

Vrai, point fixe

Toure fonction T-calculables est calculable(J)

Vrai, À ce jour, on ne connait rien d'implémentable qui calcule plus que ce qui est effectivement calculable.

Le choix d'un modèle de calculabilité n'influence pas les classes P et NP (J)

Vrai, Ça n'influence pas les classes (indépendante des langages).

en même temps halt et l'interpréteur dans un langage non trivial (J)

faux (Hoare-Allison)

fi(i) dénote la fonction numéro i

faux : i est un numéro de programme

tout ensemble non énumérable peut être mis en bijection avec l'ensemble des réels (J)

faux, Il existe des ensembles plus grands que l'ensembles des réels (cfr. Prof. Deville qui escalade chaises et bancs en CM).

l'ensemble des fonctions non calculable est énumérable (J)

faux, L'union de deux ensembles énumérables est énumérables. Seulement, l'union de l'ensemble des fonctions calculables et non-calculables est l'ensemble des fonctions de N dans N qui est non énumérable. Comme l'ensemble des fonctions calculables est énumérable, l'ensemble des fonctions non calculables ne peut pas être énumérable.

il n'existe pas de langage de programmation dans lequel toutes les fonctions calculées sont totales (J)

faux, La version mini-Java en est la preuve.

l'ensemble des fonctions de N dans N est énumérable (J)

faux, On peut faire une diagonalisation. Chaque fonction est représentée dans une ligne par f(0),f(1),f(2),.... On modifie simplement la diagonale en faisant +1 tel que d(k)= fk(k)+1. On a ainsi une fonction d(x)qui ne se trouve pas dans le tableau.

il n'existe pas de langage de programmation qui ne permettrait de calculer toute les fonctions totales calculable (J)

vrai (Hoare-Allison)

l'ensemble des programmes java calculant une fonction f tel que f(10) = 10 est une ensemble récursivement énumérable (J)

vrai, C'est vrai mais ce n'est pas un théorème, on lance le programme avec input 10. Si ça termine et que le résultat est 10, on renvoie 1. Ça n'a aucun lien avec Rice

le point fixe permet de démontrer que la fonction halt est non calculable (J)

vrai, Il peut tout démontrer : K est non récursif, HALT est non récursif

le complément d'un ensemble récursif est récursif (J)

vrai, Il suffit d'appeler le programme de l'ensemble de départ et d'inverser la réponse.

Tous les langages de programmations satisfont la propriété Smn (J)

vrai, Il suffit de spécialiser des paramètres, on sait faire ça dans tous les langages.

toute fonction bijective est injective (J)

vrai, Injectif : Ensemble d'arrivée n'est pas la cible de deux éléments de l'ensemble de départ; Bijectif : tous élément est cible de 1 et 1 seul.

programme java est énumérable (J)

vrai, Le code Java est une chaine finie sur un alphabet fini

toute extension d'une fonction surjective est surjective (J)

vrai, Tout ce qu'on fait c'est parfois changer l'output lorsqu'elle était ⊥. On a donc au moins toutes les mêmes output qu'avant.

Si un transformateur alors il existe P1 et P2 tel que f(P1)=f(P2) et P1 et P2 calculent la même fonction (J)

vrai, point fixe

soit la fonction f(i)=1 si phi(i) est différent de bottom, f(i) = 0 sinon. l'image de f est un ensemble récursif (J)

vrai, {0,1} ne contient que deux entiers et est donc récursif

sous-ensemble infini d'un ensemble énumérable (E/NE) (J)

énumérable C'est un sous-ensemble donc il ne peut pas avoir plus d'éléments

rationnel (énumérable/non-énumérable) (J)

énumérable On peut les mettre dans un tableau 2D et les parcourir en zigzag. Comme tout rationnel peut s'écrire sous la forme d'un numérateur et d'un dénominateur, un rationnel est équivalent à une paire d'entier

tout ensemble infini de chaines finies de char (E/NE) (J)

énumérable S'il y a k symbole, la bijection avec les entiers est immédiate si on considère la représentation de ces entiers en base k. (C'est un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les chaînes finies de caractères, qui est énumérable)

tout langage (alphabet fini) (E/NE) (J)

énumérable en informatique car les chaines sont finies

Tout ensemble est récursivement énumérable ou co-récursivement énumérable

Faux : Chaque ensemble récursivement énumérable a un programme qui la décide donc il y a un nombre énumérable d'ensembles énumérables. Il y a au plus 2 fois plus d'ensembles récursivement énumérables ou co-récursivement énumérables que d'ensemble énumérables donc il y a un nombre énumérables d'ensemble récursivement énumérable ou co-récursivement énumérable. Hors il y a un un nombre non-énumérable de sous ensembles de N.

Un algorithme de complexité O(n²) est toujours plus rapide qu'un algorithme de complexité O(n³)

Faux : Déjà c'est juste des bornes, peut être que le deuxième estO(n). Aussi c'est une complexité de pire cas, sur certains input, le deuxième est peut être plus rapide mais si dans le pire cas il est plus lent. Il y a également la constante, peut être que devant le n3 il y a une petite constant, sur des petites inputs le deuxième est alors quand même plus rapide dans le pire cas.

Si A ∈ NTIME(f) alors A ∈ DTIME(f)

Faux : Il faut au moins que A ∈ DTIME(cf). f est la profondeur maximale de l'arbre. Si on simule le ND, alors on doit faire un bfs dans un arbre de profondeur f.

Soit D un nouveau modèle de calculabilité. Si toute fonction calculable est calculable dans D et si toute fonction calculable dans D est effectivement calculable, alors D est un modèle complet de la calculabilité.

Faux : Il manque l'aspect concret de réalisation. On a juste CD et SD mais pas U, S, CA ni SA.

l'ensemble des fonctions de N vers {0,1} est énumérable (J)

Faux, Considérons la chaine infinie créée par f(0)f(1)f(2)···. La bijection avec les réels entre [0,1] est immédiate si on considère leur représentation des décimales de ces réels en binaire.

l'union d'une infinité énumérable d'ensemble récursivement énumérable est récursivement énumérable

Faux, Contre-exemple : K barre, le complément de K, est un sous-ensemble infini de N et est donc énumérable. Notons k_i son i-ème élément. Alors K barre est égale à l'union pour i dans N des ensembles E_i = {k_i}, qui sont finis et donc tous récursivement énumérable.

Il existe des ensembles récursifs qui ne sont pas récursivement énumérable (J)

Faux, Etre récursif est plus "dur" que d'être récursivement énumérable

un sous ensemble infini d'un ensemble récursivement énumérable est récursivement énumérable (J)

Faux, Exemple : le complément de K qui est bien un sous-ensemble infini de N

Une Machine de Turing est un modèle abstrait ne pouvant pas être exécuté (J)

Faux, Il est aisé de faire un intepréteur de machine de Turing en Java.

Une Machine de Turing ne calcule que des fonctions totales (J)

Faux, Il est possible de boucler, ne fini pas toujours

Un ensemble est f-réductible à son complément (J)

Faux, La plupart du temps, il n'est pas possible de trouver une fonction qui transforme une instance d'un ensemble en une instance de son complément. Par exemple ensemble PAIRest f-réductible à IMPAIR. Il suffit de rajouter 1. Mais ce n'est pas nécessairement toujours possible... De plus si A ≤f B et B est récursivement énumérable alors A est récursivement énumérable. Si un ensemble est f-réductible à son complément ça voudrait donc dire que si A est récursivement énumérable son complément l'est aussi. Seulement si un ensemble et son complément sont récursivement énumérables alors il est récursif. Ça voudrait donc dire que tout ensemble récursivement énumérable est récursif et donc HALT est récursif, absurde tout ça non?

Le problème de la programmation linéaire est NP-complet (J)

Faux, La programmation linéaire est dans P (ensemble d'inéquations linéaire avec une fonction objectif linéaire qu'on veut optimiser). C'est résolu en temps polynomial par l'interior point method inventée par Yurii Nesterov (UCL) et Arkadi Nemirovski (Georgia Tech).

si la complexité spatiale d'un algorithme est O(n³), alors elle ne peut pas être O(n²)

Faux, O(n³) est une borne supérieure mais ça peut être moins!

Une Machine de Turing non déterministe permet de calculer plus de fonctions (J)

Faux, On peut simuler toutes les exécutions du programme non déterministe à l'aide d'une machine de Turing déterministe. On sera beaucoup plus lent bien entendu mais ça on s'en fout lorsqu'on parle de calculabilité. L'invention de machine non-déterministe ne changerait donc rien à la calculabilité.

si SAT appartient à P, alors P appartient à NP (J)

Faux, P appartient à NP pas de sens ça devrait être = ou inclut

Tout ensemble de paires d'entiers est récursif (J)

Faux, Par exemple l'ensemble {(n,x)|halt(n,x)=1} n'est pas récursif

S-m-n <=> S (J)

Faux, SMN -> S

Une Machine de Turing dont le ruban serait fini à gauche ne serait pas un modèle complet de la calculabilité (J)

Faux, Si les cases sont numérotées [...,−2,−1,0,1,2...] on peut les réaranger comme suit : [0,1,−1,2,−2,...]

soit la fonction f(i)=1 si phi(i) est différent de bottom, f(i) = 0 sinon. f est calculable (J)

Faux, Sinon, on pourrait décider HALT.

A sous ensemble récursif : toute fonction calculée par un programme de A est aussi calculée par un programme du complément de A (J)

Faux, Tous les programmes de + de 10 lignes n'ont pas un équivalent de moins de 10 lignes. Il y a une différence entre ∀ et ∃, il en existe un mais ce n'est pas pour tous.

il existe des ensembles récursifs qui ne sont pas énumérable (J)

Faux, Tout ensemble récursif est énumérable. En informatique, on ne gère que les input qui peuvent être définie de manière finie donc on ne gère pas les ensemble non-énumérables.

tout langage est récursif (J)

Faux, Un langage est un ensemble de mots finis. Tous les ensembles d'entiers ne sont pas récursifs, car il y a autant de sous-ensembles de N qu'il y a d'éléments dans R. Ils ne sont donc pas tous récursifs.

une fonction dont la table est infinie est non calculable (J)

Faux, f(x)= x²

un programme calcule une infinité de fonction (J)

Faux, il en calcul une seule

un programme java calcule une infinité de fonction (J)

Faux, il en calcul une seule

S'il existe un algorithme Java de complexité temporelle O(n³) décidant l'ensemble A, alors il existe une machine de Turing de complexité temporelle O(n³) décidant l'ensemble A (J)

Faux, java plus efficace qu'une machine de Turing, Pas de transfert de complexité entre formalismes. On peut seulement dire que la MT va résoudre le problème en un temps polynomial. On ne peut pas assurer O(n³)

Le choix d'un modèle de calculabilité n'influence pas la classe DTIME(n²)

Faux, n² en Java ne veut pas dire n² en MT, juste polynomial. si classe P n'influence pas

Pour déterminer si un problème A est NP-complet, il suffit de déterminer que A est polynomialement réductible un problème NP-complet connu

Faux, pas suffisant car pour être NP-complet, il faut aussi être dans l'ensemble NP

Si SAT <=a A et A appartient à P, alors SAT appartient à P (J)

Faux, réduction algorithmique (ne permet pas de déterminer des choses sur la complexité), il faut une réduction polynomiale pour être sur qu'on utilise une et une seule fois l'appartenance à A

l'ensemble des sous-ensembles de N, P(N) (E/NE)

NE : Rappelons nous tout d'abord que comme N est infini, ses sous-ensembles peuvent l'être aussi. Il est adéquat de visualiser un ensemble à l'aide d'un mot binaire où le bit i vaut 1 si le iième élément est pris dans le sous-ensemble. On voit maintenant la bijection entre les sous-ensembles de N et [0,1]. En effet, chaque suite m de 0 et de 1 peut être associée à l'écriture binaire 0.m, qui correspond à un réel dans [0,1]3. Par exemple, on associe l'ensemble des nombres au réel 0.101010101... = 2−1 +2−3 +2−5 + ... = 2/3.

Un problème NP-complet est intrinsèquement complexe

Ni vrai ni faux, VRAI SI P != NP et FAUX si P = NP.